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2024-2025 学年河南省天一大联考高二下学期 4 月期中测试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线 2 4 2 = 4 的离心率为( )
A. 5 B. 2 C. 5 D. 32 2
2.( 1 2
3)6的展开式的第 4 项为( )
A. 20 3 B. 20 3 C. 15 8 D. 15 8

3 +( 1).若随机变量 的分布列为 ( = ) = ( = 2,3,4)，则 =( )
A. 12 B. 10 C. 9 D. 8
4.已知圆心在 轴上的圆过点( 1, 3)且与 轴相切，则该圆的标准方程为( )
A. ( + 1)2 + 2 = 4 B. 2 + ( 2)2 = 4
C. ( + 2)2 + 2 = 4 D. ( 2)2 + 2 = 4
5 3.若随机变量 的所有可能取值为 2，4，且 ( = 2) = 4，则 ( ) =( )
A. 34 B.
3
2 C. 1 D.
5
2
6 { } .已知等差数列 的公差 ≠ 0，前 项和为 ，若 4 + 8 = 9 93，则 =( )9
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
7.2025 年 2 月深圳福田区推出基于 开发的 数智员工，并上线福田区政务大模型 2.0 版，该模型
能进一步驱动政务效能全面跃升.某地也准备推出 20 名 数智员工(假定这 20 名 数智员工没有区别)，分
别从事 ， ， 三个服务项目，若每个项目至少需要 5 名 数智员工，则不同的分配方法种数为( )
A. 21 B. 18 C. 15 D. 12
8.已知盒中装有 9 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有 3 个白球，6 个红球，每次从盒中随机抽取 1
个小球，观察颜色后再放回盒中，直到两种颜色的球都取到，且取到的一种颜色的球比另一种颜色的球恰
好多 2 个时停止取球，则停止取球时取球的次数为 6 的概率为( )
A. 20 40729 B. 243 C.
100 140
243 D. 729
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间直角坐标系 中，已知点 (2,1, 1)， ( , , )(与点 不重合)，则下列结论正确的是( )
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A.若点 ， 关于 平面对称，则 + + = 2
B.若点 ， 关于 轴对称，则 + + = 2
C.若 ⊥ ，则 2 + = 0
D.若 = = 1，则 2 + = 3
10.已知函数 ( ) = 3 + + 1( ∈ )的导函数为 ′( )，则( )
A. ′( )一定是偶函数
B. ( )一定有极值
C. ( )一定存在递增区间
D.对任意确定的 ，恒存在 > 0，使得| (sin )| ≤
11.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，点 从点 处出发，每次向上或向
右移动 1 个单位长度，直至到达点 时停止移动，则下列结论正确的是( )
A.移动的方法共有 252 种
B.仅有 4 次连续向上移动的方法有 30 种
C.经过点 的移动方法有 70 种
D.若对任意 ∈ {1,2,3} ( +1) ( +1)( +2)，从第 2 次到第 2 1 次的移动方向相同，则移动的方法有 2 种
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.某地高中生的肺活量 (单位： )服从正态分布 (3800, 5002)，若该地有 12000 名高中生，则其中肺
活量低于 2800 的高中生的人数约为 ．参考数据： ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.95．
13.若函数 ( ) = sin cos 的图象在 = 1处的切线与在 = 2处的切线互相垂直，则 1 2的一个值
为 ．
14.甲、乙、丙三人进行篮球传球训练，第 1 次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另
外两个人中的任何一人，则第 4 次传球传给乙的概率为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)经过点 (2,1)
2
，且 的离心率 = 2 ．
(Ⅰ)求 的方程;
(Ⅱ)若直线 经过点 且与 相切，求 的方程．
16.(本小题 15 分)
如图，在长方体 1 1 1 1中， = 1， = 2， 1 = 2， ⊥ 1D.
(Ⅰ)求证： ⊥平面 1 1 ;
(Ⅱ)求直线 1 与平面 所成角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
1
河南省是我国小麦产量第一大省，约占全国小麦产量的4 .小麦品种 是在河南省广泛种植的一个品种，某科
研基地在实验田种植的 品种小麦收获时，随机取 10 个该小麦的种子样本，每个样本均为 1000 粒，测得
每个样本的质量(称为千粒重，单位： )分别为 40，48，42，46，50，46，52，43，48，45，记这 10 个
数据的平均数为 ．
(Ⅰ)从这 10 个数据中随机选取 3 个，记这 3 个数据中大于 的个数为 ，求 的分布列;
(Ⅱ)用这 10 个样本中千粒重大于 的频率作为每个样本千粒重大于 的概率，从 品种小麦种子中随机抽
取 20 个样本，千粒重大于 的样本最有可能是几个
18.(本小题 17 分)
已知数列{ }满足 1 = 1
+1 2
， = 1． +1
(Ⅰ) 求证：{ + 1}是等比数列;
2
(Ⅱ) 若 = ，求数列{ }的前 项和 ;
(Ⅲ)判断是否存在 ∈ ，使得 ， +1， +2成等差数列，若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由．
19.(本小题 17 分)
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若函数 ( )在区间 上有意义，且存在 0 ∈ ，使得对任意的 ∈ ，当 < 0时， ( )单调递增，当 > 0
时， ( )单调递减，则称 ( )为 上的“抛物线型函数”，其中 ( 0)为 ( )在 上的峰值．
(Ⅰ)若函数 1( ) = ln( + 1) ( ≥ 1)，试判断 1( )是否是区间(1, + ∞)上的“抛物线型函数”;
(Ⅱ)若 3 22( ) = 3 是区间( 1, )上的“抛物线型函数”，求实数 的取值范围;
(Ⅲ)若函数 3( ) = (1 +1) + ln ，求证： 3( )是区间(0, + ∞)上的“抛物线型函数”，并求 3( )在区
间(0, + ∞)上的峰值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.300
13. 2
14. 516
2 2 = 2 , 2
15. 2 = 6,解：( )由题可得 2 解得
4 1 2
2 + 2 = 1,
= 3,
2 2
所以 的方程为 6 +

3 = 1．
( )由题知直线 的斜率存在，设 的方程为 = ( 2) + 1，即 = 2 + 1．
= 2 + 1,
由 2 2 得(2 2 + 1) 2 + 4 (1 2 ) + 2(1 2 )2 6 = 0．
6 + 3 = 1,
因为 与 相切，
所以 = 16 2(1 2 )2 4(2 2 + 1)[2(1 2 )2 6] = 0，解得 = 1，
故 的方程为 = + 3．
16.解：(Ⅰ)因为 1 1 ⊥平面 1 1 ， 平面 1 1 ，所以 1 1 ⊥ ．
又 ⊥ 1 ， 1 1 ∩ 1 = 1， 1 1、 1 平面 1 1
所以 ⊥平面 1 1D.

(Ⅱ)由题易知△ ∽△ 1 ，所以 = ，解得 = 1．1
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以点 为坐标原点， ， ， 1所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (0, 2, 0)， (1, 2, 0)， (0, 2, 1)， 1(1,0,2)，
所以 = (1, 2, 0)， = (0, 2, 1)， 1 = ( 1, 2, 2)．
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 0, + 2 = 0,
则 令 = 1，
= 0, 2 + = 0,
得 = ( 2, 1, 2)为平面 的一个法向量．
设直线 1 与平面 所成的角为 ，

sin = 1 = | 2×( 1)+( 1)× 2+ 2×( 2)| = 4 70则 | || | 35 ，1 ( 2)2+( 1)2+( 2)2× ( 1)2+( 2)2+( 2)2
所以直线 1 与平面 所成角的正弦值为
4 70．
35
17. (Ⅰ) =40+48+42+46+50+46+52+43+48+45解： 10 =46,
10个数据中大于 46的有 4个,
所以 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,
3 1 2 2 1 3
P(X=0)= 6 13 =6,P(X=1)=
4 6=1,P(X=2)= 4 6 33 2 3 =10,P(X=3)=
4 1
3
= ,
10 10 10 10 30
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
1 1 3 1
P 6 2 10 30
(Ⅱ)从 A 品种小麦种子中随机抽取 20个样本,记千粒重大于 g 的样本数为 Y,
则 Y~B(20,25),
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2 +1 3 19
= +1 +1= 20
· 5 · 5 = 40 2 = , 2
20
· · 3 3 +320 5 5
因为 40-2n-(3n+3)=37-5n,
所以当 n≤7时,37-5n>0,P(Y=n+1)>P(Y=n),
当 n≥8时,37-5n<0,P(Y=n+1)< P(Y=n),
所以 P(Y=8)的概率最大,
所以千粒重大于 g 的样本最有可能是 8个.
18.(Ⅰ) +1 2 1证明：由条件得 = 1 + ， + 1 = 2， +1 1
+1
所以 + 1 = 2( + 1)． +1
{ 所以 + 1}是首项为 2，公比为 2 的等比数列;
2(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知， + 1 = 2
，所以 = 2
，即 = 2 ．

设 = 1 × 2 + 2 × 22 + 3 × 23 + + × 2 ，
则 2 = 1 × 22 + 2 × 23 + 3 × 24 + + × 2 +1，
两式相减，得 = 2 + 22 + 23 + + 2 × 2 +1

= 2(1 2 ) +1 +11 2 × 2 = (1 )2 2，
所以 = ( 1)2 +1 + 2，
= ( +1)
2
所以 2 = ( 1)2
+1 + 42 ．
(Ⅲ)解：由(Ⅱ) 知 + 1 = 2
，所以

= 2 1，
假设存在 ∈ ，使得 ， +1， +2成等差数列，
+ +2 = 2 +2 +2则2 1 2 +2 1 2 +1 + 1 = 2 +1 1 2 +1 1，
( 1 1 1所以 12 1 2 +1 1 ) = ( + 2)( 2 +1 1 2 +2 1 )，
2( +2)
即2 1 = 2 +2 1，即2
+1(2 ) = + 4，
当 ≥ 2 时，2 +1(2 ) ≤ 0， + 4 > 0，2 +1(2 ) ≠ + 4，
当 = 1 时，2 +1(2 ) ≠ + 4，
所以不存在 ∈ ，使得 ， +1， +2成等差数列．
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2
1 +1 19.解：( )因为 1( ) = ln( + 1) ，所以 1′( ) = +1 2 = 2 ，
设 ( ) = 2 +1 ，则当 ∈ (1, + ∞) ( ) =
1
时， ′ ( +1)2 < 0，
所以 ( )在区间(1, + ∞)上单调递减，且 ( ) < (1) = 1 ≤ 0，
所以 1′( ) < 0， 1( )在区间(1, + ∞)上单调递减，
故 1( )不是区间(1, + ∞)上的“抛物线型函数”．
( )因为 ( ) = 3 3 22 ，所以 2′( ) = 3 2 6 ．
当 = 0 时 2( ) = 3 2在区间( ∞,0)上单调递增，在区间(0, + ∞)上单调递减，
但区间( 1, )为( 1,0) 2( )在区间( 1,0)上单调递增，故不满足题意，
当 ≠ 0 时，令 2′( ) = 0，得 = 0 或 =
2
．
若 > 0，当 ∈ ( ∞,0)时， 2′( ) > 0， 2( )在区间( ∞,0)上单调递增，
∈ (0, 2当 )
2
时 2′( ) < 0, 2( )在区间(0, )上单调递减，
2
当 ∈ ( , + ∞)时 2′( ) > 0， 2( ) (
2
在区间 , + ∞)上单调递增，
2
若 2( )
≤ ,
是区间( 1, )上的“抛物线型函数”，则 解得 0 < < 1．
1 < 0,
若 < 0, 2( )
2 2
在区间( ∞, )上单调递减，在区间( , 0)上单调递增，
在区间(0, + ∞)上单调递减，不存在( 1, )，使得 2( )在区间( 1, )上先增后减，故不满足题意．
综上， 的取值范围是(0,1)．
(Ⅲ) ( ) = (1 +1) + ln ( ) = 1 + 1因为 ，所以 ′ ( + 1) +1 = ( + 1)( 1 +13 3 )
设 ( ) = 1 +1，则 ( ) 1在区间(0, + ∞)上单调递减，且 ( ) = 2 1+
1
2 2 > 0， (1) = 1
2 < 0，
1
所以存在 0 ∈ ( 2 , 1)，使得 ( 0) = 0，
当 ∈ (0, 0)时， ( ) > 0， 3′( ) > 0， 3( )单调递增，
当 ∈ ( 0, + ∞)时， ( ) < 0， 3′( ) < 0， 3( )单调递减，
所以 3( )是区间(0, + ∞)上的“抛物线型函数”
1 1
由 ( 0) = 0+1 = 0，得
0+1
= ，ln 0 = 0 1，0 0
所以 3( 0) = +10(1 0 ) + ln 0 = 0(1
1
) 0 1 = 2，0
即 3( )在区间(0, + ∞)上的蜂值为 2．
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