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2025年吉林省长春市绿园区九年级中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则“□”中应填写的运算符号是（ ）
A．＋ B．－ C．× D．÷
2．“陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为为（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． =±6 B．4﹣3=1 C．=6 D．=6
5．已知，则一定有，“”中应填的符号是( )
A． B． C． D．
6．如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从上的一点，取，，．要使点A、C、E在同一条直线上，那么开挖点离点的距离是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形中，，先以点A为圆心，长为半径画弧交边于点E；再以点D为圆心，长为半径画弧交边于点F；最后以点C为圆心，长为半径画弧交边于点G．求的长，只需要知道（ ）
A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长
8．如图：直线与x轴交于点A，与双曲线交于点P，过点P作轴于点C，且，则k的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
9．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，且它的顶点是原点，则这个二次函数的表达式为 ．
二、填空题
10．计算：3a 2a2= ．
11．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
12．已知一次函数y=(1－m)x＋m－2，当m 时，y随x的增大而增大．
13．如图，将△ABC沿射线AB的方向平移到△DEF的位置，点A、B、C的对应点分别为点D、E、F，若∠ABC＝75°，则∠CFE＝
14．如图，点在以为直径的半圆上，，，动点在线段上且不与、重合，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点．给出下面四个结论：①的长度为；②；③；④线段的最小值为．上述结论中，正确的结论的序号有 ．
三、解答题
15．先化简，再求值：，其中．
16．小红和小丁玩纸牌优秀，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也在、抽出一张,比较两人抽取的牌面上的数字，数字大者获胜，请用树状图或列表法求小红获胜的概率．
17．随着2025年第九届亚冬会圆满落幕，全国范围内再度掀起一股强劲的冰雪运动热潮．某地举办了青少年冰雪运动会，某校参加比赛的女生比男生多28人，男生全部获奖，女生有获奖，男、女生获奖共有42人．该校参加比赛的男、女生各有多少人？
18．如图所示，在中，E为的中点，是等边三角形，求证：是矩形．
19．为了培养青少年养成运动的良好习惯，同时也为体育中考做好准备，某中学对九年级的学生进行了一次体育模拟测试，获得了他们的成绩（百分制），并对成绩进行了整理、分析．下面是给出的部分信息：
①随机抽取男同学和女同学各名；
②男同学成绩的频数分布直方图如图所示（数据分为组：，，，）；
③男同学成绩在这一组的具体分数是：，，，，，，；女同学成绩在这一组的具体分数是：，，，，，；
④对男同学和女同学的成绩初步统计后的结果如下表：
性别 平均数 中位数 众数
女 82.1 88 89
男 83.5 84
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中的值是_____；
(2)下列描述中正确的有_____；
①因为抽取的名女同学的成绩的平均数是分，所以至少有名女同学成绩在分以下．
②抽取的名男同学中，成绩为分的一定少于人．
③在抽取的同学中，女同学超过分的人数比男同学多．
(3)成绩不低于分的学生成绩记为优秀，假设该校九年级有女学生人，男学生人，且所有学生都参加了模拟测试，估计该校九年级成绩记为优秀的学生的人数．
20．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1.线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．

(1)在图①中以为边画一个等腰三角形，使它的三边长均是无理数；
(2)在图②中以为边画一个直角三角形，使它的直角边之比为；
(3)在图③中以为边画一个钝角三角形，使它的钝角为．
21．某游泳馆安装了智能温泉泳池系统，让用户享受四季泳池．泳池的排水系统在每次换水时将泳池的水先排完，然后再注入消杀后的水，水位到达水位线后，停止注水，水位线的高度为．在某次注水的整个过程中，水位的高度y（m）与注水时间x（h）之间的函数关系如图所示．根据下面图象，回答下列问题：
(1)求线段所表示的函数关系式；
(2)当x的值为多少时，恰好停止注水．
22．已知四边形是正方形，点为平面内一点，连结，将绕点顺时针旋转得到，连结，已知点为的中点，连结．
(1)如图①，若点为边上一点，易知线段和的数量关系为_____（不需要证明）．
(2)如图②，若点是正方形的内部一点，可证（1）中线段和的数量关系仍然成立，以下是小明的部分证明过程，请补充完整．
证明：延长到点，使，连结，如图③，
为的中点，
，
又，，
，
．．．．．．
(3)若点在以点为圆心，1为半径的圆上运动，连结，当时，线段的最大值为_____．
23．如图，在中，，，点是边上的一点，且，动点从点出发，沿折线运动，动点在上，且，连接．
(1)求的面积；
(2)当时，求线段的长；
(3)当时，求线段的长；
(4)当是直角三角形时，直接写出线段的长．
24．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点、是抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为、．
(1)求该抛物线的顶点坐标；
(2)当点恰好与该抛物线的顶点重合时，连结，设与轴交于点，过点作轴于点，求此时的值；
(3)已知直线是与轴平行的一条直线，当直线不经过点时，过点作于点，连结，以、为邻边构造平行四边形．
①若点恰好在直线上，当该抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围；
②若直线恰好经过该抛物线的顶点，设直线与直线相交于点，当直线分平行四边形的面积为两部分时，直接写出的值．
2025年吉林省长春市绿园区九年级中考一模数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A C D A C C D
1．A
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
2．A
【详解】解：从从正面看到的图形是一个等腰三角形，和一个矩形，并且矩形在等腰三角形的正中间，即看到的图形如下：
故选：A．
3．C
【详解】解：六边形是正六边形，
，
由对称性可知，
故选：C．
4．D
【详解】解： 故A错误，
故B错误，
故C错误，
故D正确，
故选D．
5．A
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
6．C
【详解】解：，
，
是直角三角形，
开挖点离点的距离：，
故选：C．
7．C
【详解】解：设，由作图可知：，，
四边形矩形，
，
，
，
，
，
求的长，只需要知道线段的长．
故选：C．
8．D
【详解】解：∵，
∴P点的纵坐标为2，
把代入得，
所以P点坐标为，
把代入得，
解得．
故k的值为．
故选：D．
9．
【详解】解：设该二次函数的解析式为，
将带入得：，
解得：，
该二次函数的表达式为：，
故答案为：．
10．6a3．
【详解】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可：3a 2a2=3×2a a2=6a3．
11．//
【详解】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4 k＞0，
解得．
故答案为：．
12．<1
【详解】试题解析：当1 m>0时，y随x的增大而增大，
所以m<1.
故答案为<1.
13．105°/105度
【详解】解：由平移可知∠DEF＝∠ABC＝75°，
∵BE∥CF，
∴∠EFC＝180°﹣∠DEF＝180﹣75＝105°
故答案是：105°．
14．①③/③①
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴
∵，
∴，
∴的长度为，故①正确；
连接，当时，如图所示．
∵是直径，
∴
∴
∵和关于对称
∴，
∵，
∴
∴
∵，
∴故②不正确；
连接，如图所示．
∵点与点关于对称，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，．
∴．
∴．
∴．故结论③正确．
④当时，取最小值，
∵是半圆的直径，
∴．
∵，，
∴，，．
∵，，
∴．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
点在线段上运动时，的最小值为．
∵，
∴．
∴线段的最小值为．故④错误。
故答案为：①③．
15．，．
【详解】解：原式
，
把代入上式中得
原式．
16．树状图见解析；．
【详解】画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中小红获胜的结果数为6，
所以小红获胜的概率．
17．参加比赛的男生有12人，女生有40人．
【详解】解：设参加比赛的男生有人，则参加比赛的女生有人，
由题意得，，
解得，
，
答：参加比赛的男生有12人，女生有40人．
18．证明见解析
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵E是边的中点，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴是矩形．
19．(1)；
(2)③
(3)该校九年级约有人的成绩记为优秀．
【详解】（1）解：男同学一共有名同学，在和共有人，
中位数是成绩数据由小到大排列后第，个数据在这一组的第，个数，分别为、
故中位数，
故答案为：；
（2）解：虽然抽取的名女同学的成绩的平均数是分，但是不一定有名女同学成绩在分以下，故①错误；
抽取的名男同学中，成绩为分的可能为人，故②错误；
由女生中位数为及女同学成绩在这一组的具体分数是：，，，，，可知，女生超过分的人数有人，
由男生处于的有人，在的有人多于分，可知男生超过分的人数有人，
∴女生女生超过分的人数多于男生，故③正确；
故答案为：③；
（3）解：女同学的中位数为分，而女同学成绩在这一组的具体分数是：，，，，，；
∵中位数是成绩数据由小到大排列后第，个数据，
∴第个数据是，
∴女同学的成绩不低于分的人数有人，
男同学的成绩不低于分的人数有人，
∴（人），
估计该校九年级约有人的成绩记为优秀．
20．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）如图所示：即为所求

（2）如图所示：即为所求；

（3）如图所示：即为所求；

21．(1)
(2)
【详解】（1）解：设线段所表示的函数关系式为，
则，
解得，
∴线段所表示的函数关系式为：．
（2）当时，，
解得．
答：当时，恰好停止注水．
22．(1)；
(2)见解析；
(3)．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵四边形是正方形，
，
∵将绕点顺时针旋转得到，
在上，，
∵，
，
，
为斜边的中点，
，
；
（2）解：（1）中线段和的数量关系仍然成立，理由如下：
延长到，使，连接，如图：
为的中点，
，
，
，
，
，
绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：取的中点，连接，如图：
为中点，
为的中位线，
，
，
，
在中，，
∴当共线时，最大，最大为，如图：

此时，
∴线段的最大值为，
故答案为：．
23．(1)；
(2)或；
(3)；
(4)或．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，
∵，，，
∴，，
∴
（2）解：当在上时，
∵，，
∴，
∴；
当在上时，如图，过点作于，过作于N，
由（）得，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴；
综上，线段的长为或；
（3）解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴即，
∴；
（4）解：如图，当时，
∵
∴
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当时，
∵
∴
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
24．(1)；
(2)；
(3)①或；②或或或．
【详解】（1）解：，
∴顶点坐标为；
（2）解：如图，
∵顶点坐标为，
∴点的横坐标为，
当时，，
∴，
∵，
∴，，
设直线为，
把，代入得，
解得，
∴直线为，
令得，解得，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①如图，
∵顶点坐标为，抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大，
∴，
解得；
如图，
∵顶点坐标为，抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大，
∴，
解得；
综上：或；
②如图，当在的左边时，
由题意得，，点的纵坐标为，
∴，，
∵直线分平行四边形的面积为两部分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴即，
解得
解得或．
如图，当在的右边时，
由题意得，，点的纵坐标为，
∴，，
∵直线分平行四边形的面积为两部分，
∴，
∴，
此时，，抛物线的顶点在同一直线上，
∴，
解得：或．
综上：或或或．

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