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2024-2025学年第二学期九年级第一次模拟考试数学试题
（全卷满分150分，考试时间为120分钟）
注意事项：1．等卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
第I卷（选择题共40分）
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记为零分．
1．-2025的相反数是（　　）
A.2025 B．-2025 C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
3.2025年春节档电影票房持续突破，其中《哪吒2》票房位列全球影史票房榜第五位，截至目前，《哪吒2》累计票房超过154亿．数据154亿用科学记数法表示为（　　）
A. B. C. D.
4．篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（　　）
A. B.
C. D.
5．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距的取值范围是（　　）
A. B． C. D．
7．如图，点、、、均为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦长时，发现点、点分别与刻度1和4对齐，则两点的距离是（　　）
A.2 B.2 C.3 D.6
8．关于的分式方程的解为正数，则的取值范围（　　）
A． B．且 C． D．且
9．如图，在中，，如下作图：以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点；分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点：作射线交于点．根据以上作图，判断下列结论正确的有（　　）
①是等腰三角形②③④
A．①② B.①②③ C.①②④ D．①②③④
10．小明测量一种玻璃球的体积，他的测量方法是：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出，根据这个现象，小明判断这样的一个玻璃球的体积可能是（　　）
A.70 B.65 C.55 D.50
第II卷 （非选择题共110分）
二、填空题：本大题共5小题，共记20分，只要求填写最后结果，每小题填对4分．
11．因式分解：___________．
12．若是方程的两根，则的值为___________．
13．一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号的小球，这些小球除元素符号外，无其他差别．从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“（一氧化氮）”的概率是___________．
14．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，取的中点的中点．则在旋转过程中，线段的最小值为___________．
15．如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，．．．，第个数记为，若，则的值为___________．
三、解答题：本大题共8小题，共记90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．
16．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中为的正整数．
17．如图，四边形的对角线与相交于点，有下列条件：．
（1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形：
（2）在（1）的条件下，若，求四边形的面积．
18．随着科技的发展，人工智能渐渐走进我们的生活．现对甲、乙两款人工智能软件进行评分，将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．抽取的对甲款人工智能软件的所有评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，
85.86，89.90，90.90，94.95，98.98，99.100．
抽取的对乙款人工智能软件的20条评分数据如图所示，其中组包含的所有数据：85，
抽取的对乙款人工智能软件的评分扇形统计图
抽取的对甲、乙两款人工智能软件的评分统计表
软件 平均数 中位数 众数 方型
甲 86 85.5 96.6
乙 86 88 69.8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：___________，___________，___________；
（2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若本次调查有600名用户对甲款人工智能软件进行了评分，有800名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意的用户总人数．
19．某体育用品店购进甲、乙两种足球．已知甲、乙两种足球进货单价之和为100元，店主第一批购买甲种足球20个、乙种足球30个一共花费2600元．
（1）问甲、乙两种足球的进货单价分别是多少元？
（2）若甲种足球每个获利30元，乙种足球每个获利40元，该体育用品店预备第二批购进甲、乙两种足球共60个，在费用不超过3200元的情况下，如何进货才能保证利润W最大，最大利润是多少？
课题 设计遮阳棚前挡板
模型抽象示意图 德百旅游小镇游客服务中心为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到2.29m宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图1，现在要计算所需前挡板的宽度．
测量数据 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳棚长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面高为．通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角约为，若加装前挡板后，此时服条窗口前恰好有宽的阴影，如图3．
任务1 求遮阳棚前端到墙面的距离．
任务2 当时，求线段的长度．
结果精确到，参考数据：
21．如图，在中，是直径，是弦，点是上一点，交于点，点为延长线上一点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径长．
22．定义：如图1、图2、图3，在中，将绕点顺时针旋转（）得到，将绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”．
（1）如图1，当为等边三角形时，与的数量关系为______；
（2）如图2，当时，求长；
（3）如图3，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．
23．已知二次函数的图象过点（2，-4），与轴交于点（4，0）（1）求二次函数的表达式；
（2）若，二次函数有最大值，最小值，求的取值范围；
（3）若将二次函数图象沿轴平移个单位，当时，二次函数的最小值为-3，求的值．
2024-2025学年第二学期九年级第一次模拟考试数学参考答案
一、选择题（每个题4分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C D A B C B D C
二、填空题（每个题4分，共20分）
11.3；
12.3；
13．；
14.2.5
15.45；
三、解答题（共8小题）
16．（1）原式
；
（2）原式
.
为的正整数，且和2
当x=3时，原式=41
17．（1）选择①，证明：，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
选择②，证明：，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，
，
，
四边形的面积.
18．（1）86.5、85、20；
（2）乙款人工智能软件更受用户欢迎，
由表知，甲、乙款软件评分的平均数相等，而乙款软件评分的中位数大于甲款，
所以乙款软件评分高的人数多于甲款，
所以乙款人工智能软件更受用户欢迎；
（3）（名），
答：估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的用户总人数为340名.
19．解：（1）设甲种足球的进货单价为元，乙种足球的进货单价为（100-x）元，
根据题意得：，
解得：，
，
甲种足球的进货单价为40元，乙种足球的进货单价为60元；也可以用二元一次方程组来解
（2）设购进甲种足球的数量为个，则购进乙种足球的数量为（60-m）个，
费用不超过3200元，
，
解得：，
根据题意得：，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值，最大值为元，
此时购进乙种足球：个；
当购进甲种足球20个，购进乙种足球40个时，获利最大，最大利润为2200元.1
20．解：任务1：过点作，垂足为，
在中，，
，
遮阳棚前端到墙面的距离约为；
（2）延长交于点，则，
由题意得：，
，
，
在Rt中，，
，
在Rt中，，
，
，
，
，
线段的长度约为.
21．（1）证明：，
，
，且，
，
，
是的半径，且，
是的切线.
（2）解：连接，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
的半径长为.
22．解：（1）
（2）是的“旋补三角形”，
，
在和中，
，
，
是的“旋补中线”，
（2）猜想．
证明：如图，延长至点使得，连接，
是的中线，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
.
23．解：（1）已知二次函数的图象经过点（2，-4），与轴交于点（4，0），将代入得：
解得，
二次函数的表达式为；
（2），
二次函数的开口向上，顶点坐标为，
当时，，
二次函数的对称轴为直线，
当或时，，
在范围内二次函数有最大值为，最小值为，
；
（3）由（2）可得的对称轴为直线，
且抛物线在范围内随的增大而增大，
抛物线在时有最小值为-4，
①向左平移个单位，即当时，存在与其对应的函数值的最小值-3，
，
将代入得：，
解得：或，
向左平移，
，
；
②向右平移个单位，当平移后对称轴在2左边时，即，函数在处取得最小值-3，
即，
解得：，都不符合题意，舍去；
当平移后对称轴在2到3之间时，在顶点处取到最小值，即最小值；
当平移后对称轴在3右边时，即时，函数在时，存在的最小值-3，
解得：（舍去），
，
综上所述，或.

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