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2025年江苏省苏州市中考数学模拟练习试卷（二）
本试卷共27小题，满分130分，考试时间120分钟；
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．2025年是春意盎然，生机勃勃的“双春年”，2025的相反数是（ ）
A． B． C．2025 D．
2．“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于采来拼装建造月球基地．如图，这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
根据某网站统计数据，截至至2025年1月，的总访问量达到了278000000次，
其中278000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．2025年春节档热映多部精彩电影．小明、小亮分别从如图所示的三部影片中随机选择一部观看，
则小明、小亮选择的影片相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
如图，在 ABCD中，∠DAB=60°，AB=8，AD=10，BE为∠ABC的平分线.利用尺规在 ABCD中作图，
作图痕迹如图所示，AF交BE于点F，连接FD，则FD的长为（ ）
A．3 B．3 C．5 D．2
如图，点B是正八边形的边上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射后到达边上一点E，
若，则（ ）
A． B． C． D．
8 . 抛物线（是常数，）经过两点，且．
点，在抛物线上，当且时，总有，
则的取值范围是（　 　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上．
9．要使二次根式有意义，则的取值范围是 ．
10．因式分解： ．
我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，
从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，
它的一个外角的大小为 °．
12 .为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛，
来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如表所示：
成绩/分 82 87 92 96 100
人数/人 2 4 9 10 5
这些成绩的中位数是 ．
如图，在中，垂直平分，点在上，连接，为的中点，连结，
若，则的长为 ．
14．如图，在中，，是上一点，以为圆心，长为半径的圆与相切，切点为，与相交于点．若，，则的长为 ．
15 . 如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，与直角边相交于点，
若的面积为6，则 .
如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，
若，则 ．
解答题：本大题共11小题，共82分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．
作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
17．计算：
(1)；
(2)解不等式组．
18．先化简再求值：，其中．
19如图，四边形中，点在上，连接、，，，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
20 .某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含创意设计比赛、科技竞赛两个项目．为了解学生的创意设计水平，从全校学生的创意设计比赛成绩中随机抽取部分学生的创意设计比赛成绩
（成绩为百分制，用x表示），并将其分成如下四组：
，，，．
下面给出了部分信息：
的成绩为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
根据以上信息解决下列问题：
(1)请补全频数分布直方图；
(2)所抽取学生的创意设计比赛成绩的中位数是________分；
(3)请估计全校1500名学生的创意设计比赛成绩不低于80分的人数；
(4)根据活动要求，学校将创意设计比赛成绩、科技竞赛成绩按2：3的比例确定这次活动各人的综合成绩．
某班甲、乙两位学生的创意设计比赛成绩与科技竞赛成绩（单位：分）如下：
创意设计比赛 科技竞赛
甲的成绩
乙的成绩
通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？
苏州马拉松活动于3月2日燃情而至，来自国内外余名跑者齐聚苏州，
用脚步丈量苏州的千年文脉，用心跳感受苏州的古韵今风．此次马拉松比赛分
为“全程马拉松”和“半程马拉松”两个项目，甲、乙、丙三人随机参加其中一个项目．
(1)甲参加“全程马拉松”的概率是________；
(2)求甲、乙、丙三人都参加“半程马拉松”的概率．
22．2025年蛇年春晚吉祥物形象“巳升升”已正式发布亮相，
它的整体造型巧妙借鉴中华传统文化中甲骨文的“巳”字，且以青绿色为主调，
象征春意盎然，勃勃生机．因其憨态可掬的眉眼与满满的中式美好寓意，
“巳升升”受到广大群众的喜爱．阳信县某中学为激励学生奋发向上，
决定购买一批“巳升升”来奖励学生，经调查后发现，
市场上有两种材质的吉祥物，已知使用材质生产的吉祥物比材质的吉祥物每个贵50元，
用3000元购买材质的吉祥物的数量是用1500元购买材质吉祥物数量的4倍．
(1)求购买一件材质和一件材质的吉祥物各需多少元？
(2)现在该学校准备用不超过3000元购买、两种材质的吉祥物共50个．
恰逢商家对两种吉祥物的价格进行了调整：使用材质的吉祥物的价格按原价的九折出售，
使用材质的吉祥物的价格比原价提高了，那么该学校此次最多可购买多少个材质的吉祥物？
23．（1）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点，
的顶点均在格点上．在的边上找到一点，连结，
使得的面积与的面积之比为，（请用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，
并保留作图迹）．
（2）如图，四边形为菱形，，点是边的中点，用尺规作图分别在边上找一点，在上找一点，使最小，（请用圆规和直尺完成作图，并保留作图迹．）
24．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图2，小丽坐在秋千的最低点F处，O，F，A共线.
妈妈先将小丽拉到B处，然后用力一推，爸爸在C处接住她.
若秋千的长度为3米，，．
（参考数据：，，，）
(1)求B处到的距离的长度；
(2)若秋千最低点F到地面的距离为0.3米，则C处距地面的高度为多少
如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，
平分交于点，连结．
(1)求证：是的切线；
(2)当时，求的长．
【问题发现】
（1）如图1，矩形中，，，点是矩形内一点，
过点作，分别交，于点，，，．则：
①________；
②与的关系是________；
【类比探究】
如图2，点是矩形外一点，过点作，
分别交，反向延长线于点，②中结论还成立吗？若成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，在中，，
是外一点，，，，求的最小值．
27．二次函数的图象交轴于点，点，交轴于点，抛物线的顶点为点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，点是抛物线上的一点，设点的横坐标为，点在对称轴上，且，
若，请求出的值；
（3）如图2，将抛物线绕轴正半轴上一点旋转得到新抛物线交轴于，两点，
点的对应点为点，点的对应点为点．若，求旋转中心点的坐标．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2025年江苏省苏州市中考数学模拟练习试卷（二）解答
本试卷共27小题，满分130分，考试时间120分钟；
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．2025年是春意盎然，生机勃勃的“双春年”，2025的相反数是（ ）
A． B． C．2025 D．
【答案】A
【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的数互为相反数，进行作答即可．
【详解】解：2025的相反数是，
故选：A
2．“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于采来拼装建造月球基地．如图，这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了判断几何体的三视图（判断简单组合体的三视图），熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键．画出题中“月壤砖”的俯视图，与各选项中的视图进行对比即可得出答案．
【详解】
解：根据题中“月壤砖”的示意图，可知其俯视图为
故选：．
根据某网站统计数据，截至至2025年1月，的总访问量达到了278000000次，
其中278000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：278000000用科学记数法表示为．
故选：B．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项．根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项，分别计算即可判断．
【详解】解：A、，故本选项符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、和不是同类项，故本选项不符合题意；
故选：A．
5．2025年春节档热映多部精彩电影．小明、小亮分别从如图所示的三部影片中随机选择一部观看，
则小明、小亮选择的影片相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是正确解答此题的关键．
列表得出所有等可能的结果数以及小明和小亮选择的影片相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：将这三部春节档影片分别记为A，B，C，列表如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮选择的影片相同的结果有3种，
小明、小亮选择的影片相同的概率为，
故答案为：D．
如图，在 ABCD中，∠DAB=60°，AB=8，AD=10，BE为∠ABC的平分线.利用尺规在 ABCD中作图，
作图痕迹如图所示，AF交BE于点F，连接FD，则FD的长为（ ）
A．3 B．3 C．5 D．2
【答案】D
【分析】通过分析作图痕迹的除相应的作图，可分析出图中做的是角的角平分线，根据角平分线的性质，结合平行四边形的性质，三角函数，即可解决本题．
【详解】解：过点作于点，如题所示，
由作图痕迹可知，为的平分线，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵为的平分线，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，，且，
∴，
∴在中，，，
∴，
在中，，
故选D．
如图，点B是正八边形的边上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射后到达边上一点E，
若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正多边形的内角和、多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解题关键．设题中的正八边形为正八边形，过点作于点，先求出正八边形的每个内角的度数，再根据五边形的内角和可得的度数，从而可得的度数，同理可得的度数，最后根据五边形的内角和求解即可得．
【详解】解：如图，设题中的正八边形为正八边形，过点作于点，
∵八边形为正八边形，
∴正八边形的每个内角为，
∵，
∴在五边形中，，
由入射角等于反射角得：，
∴，即，
∴在五边形中，，
同理可得：，
∴在五边形中，，
故选：A．
8 . 抛物线（是常数，）经过两点，且．
点，在抛物线上，当且时，总有，
则的取值范围是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质，根据题意可知抛物线的对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，则函数值越小，离对称远，离对称近，则点一定在对称轴右侧，由，即，可知对称轴直线，即可求解．利用对称性求出对称轴从而得出对称轴直线是解题关键．
【详解】解：∵抛物线（是常数，）经过两点，
∴抛物线的对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，则函数值越小，
∵，总有，
∴离对称远，离对称近，则点一定在对称轴右侧，
又∵，即，
∴对称轴直线，可得，
∵，
∴，
故选：B．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上．
9．要使二次根式有意义，则的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据题中二次根式列出不等式求解即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键．
【详解】解：要使二次根式有意义，
，解得，
故答案为：．
10．因式分解： ．
【答案】
【分析】先提出公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解．
本题考查了提公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【详解】
故答案为：．
我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，
从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，
它的一个外角的大小为 °．
【答案】
【分析】本题考查了多边形外角和定理，平面镶嵌等知识点，掌握外角和定理是解题的关键．
由多边形的外角和定理直接可求出结论．
【详解】∵正八边形的每一个外角都相等，外角和为，
∴它的一个外角．
故答案为：．
12 .为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛，
来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如表所示：
成绩/分 82 87 92 96 100
人数/人 2 4 9 10 5
这些成绩的中位数是 ．
【答案】94
【分析】根据中位数的定义，即可求解．
【详解】解：根据题意得：位于第15位和第16位的分别为92和96，
∴这些成绩的中位数是．
故答案为：94
如图，在中，垂直平分，点在上，连接，为的中点，连结，
若，则的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了垂直平分线的性质、三角形中位线定理，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．
先根据垂直平分线的性质得，点为中点，然后根据三角形中位线定理即可得，再根据线段的和差即可解答．
【详解】∵垂直平分，
∴，且为中点．
∵为的中点，，
∴是的中位线．
∴，
∵，
∴．
∵，
由，
∵，
∴．
14．如图，在中，，是上一点，以为圆心，长为半径的圆与相切，切点为，与相交于点．若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查解直角三角形的计算，平行线分线段成比例，切线的性质，勾股定理，作于点M，连接，由切线得到，利用勾股定理求出半径，再依次求出，，，的长，最后根据，得到，代入求值即可．
【详解】解：如图，作于点M，连接，
设圆的半径为r，则，
∵，，，
∴，
∴，
∵长为半径的圆与相切，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∵长为半径的圆与相切，切点为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15 . 如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，与直角边相交于点，
若的面积为6，则 .
【答案】4
【分析】过点作轴的垂线交轴于点，可得到四边形，和三角形的面积相等，通过面积转化，可求出的值．
【详解】解：过点作轴的垂线交轴于点，
的面积和的面积相等．
的面积和四边形的面积相等且为6．
设点的横坐标为，纵坐标就为，
为的中点．
，，
四边形的面积可表示为：
．
故答案为：4．
如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，
若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．利用矩形的性质和翻折的性质，得到，，，可得，从而证明，得到的长，同理可得，即可求得的长．
【详解】四边形是矩形，
，，
将矩形分别沿，翻折后点A，点C都落在点H上，
∴， ， ，，
，
，
，
，
，
，
即，
解得或（舍去），
同理可得，
，
即，
解得，
即．
故答案为：．
解答题：本大题共11小题，共82分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．
作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
17．计算：
(1)；
(2)解不等式组．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原式利用乘方、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可求出值；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及实数的运算，熟练掌握不等式组的解法及运算法则是解本题的关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：，
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为．
18．先化简再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式化简求值，先运算除法，再运算减法，化简得，然后把代入进行计算，即可作答．
【详解】解：
，
当时，原式．
19如图，四边形中，点在上，连接、，，，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）根据角的和与差得，然后利用即可证明结论；
（2）根据全等三角形的性质得，，然后利用勾股定理求得，然后利用线段的和差即可解答．
【详解】（1）证明：，
，
，
在和中
；
（2）解：
，
，
中，
．
20 .某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含创意设计比赛、科技竞赛两个项目．为了解学生的创意设计水平，从全校学生的创意设计比赛成绩中随机抽取部分学生的创意设计比赛成绩
（成绩为百分制，用x表示），并将其分成如下四组：
，，，．
下面给出了部分信息：
的成绩为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
根据以上信息解决下列问题：
(1)请补全频数分布直方图；
(2)所抽取学生的创意设计比赛成绩的中位数是________分；
(3)请估计全校1500名学生的创意设计比赛成绩不低于80分的人数；
(4)根据活动要求，学校将创意设计比赛成绩、科技竞赛成绩按2：3的比例确定这次活动各人的综合成绩．
某班甲、乙两位学生的创意设计比赛成绩与科技竞赛成绩（单位：分）如下：
创意设计比赛 科技竞赛
甲的成绩
乙的成绩
通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？
【答案】(1)见解析
(2)
(3)人
(4)乙的综合成绩比甲高
【分析】本题考查的是频数分布直方图，中位数的含义，利用样本估计总体，加权平均数的含义，掌握基础的统计知识是解本题的感觉.
（1）先求解总人数，再求解的人数，再补全图形即可；
（2）根据中位数的含义确定第25个，第26个数据的平均数即可得到中位数；
（3）由总人数乘以80分含80以上的人数百分比即可得到答案；
（4）根据加权平均数公式分别计算甲，乙二人成绩，再比较即可
【详解】（1）解：∵，而有20人，
∴有，
补全图形如下：
（2）解：∵，则中位数在内，
的成绩为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
∴50个成绩按照从小到大排列后，排在第25个，第26个数据分别是，，；
中位数为：；
故答案为：．
（3）解：全校1500名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为：
（人）；
（4）甲的成绩为：（分）；
乙的成绩为：（分）；
∴乙的综合成绩比甲高．
苏州马拉松活动于3月2日燃情而至，来自国内外余名跑者齐聚苏州，
用脚步丈量苏州的千年文脉，用心跳感受苏州的古韵今风．此次马拉松比赛分
为“全程马拉松”和“半程马拉松”两个项目，甲、乙、丙三人随机参加其中一个项目．
(1)甲参加“全程马拉松”的概率是________；
(2)求甲、乙、丙三人都参加“半程马拉松”的概率．
【答案】(1)
(2)甲、乙、丙三人都参加“半程马拉松”的概率
【分析】本题考查了画树状图法或列表法求概率，正确画出树状图或列表是解答本题的关键．
（1）直接根据概率公式计算即可；
（2）画出树状图，用符合条件的情况数除以所有等可能发生的情况总数即可．
【详解】（1）解：由题意得，甲恰好参加的是“半程马拉松”的概率是，
故答案为：．
（2）解：将“全程马拉松”“半程马拉松”分别记为，画树状图如下：
∴共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三人都参加“半程马拉松”的结果有种，
∴甲、乙、丙三人都参加“半程马拉松”的概率为．
22．2025年蛇年春晚吉祥物形象“巳升升”已正式发布亮相，
它的整体造型巧妙借鉴中华传统文化中甲骨文的“巳”字，且以青绿色为主调，
象征春意盎然，勃勃生机．因其憨态可掬的眉眼与满满的中式美好寓意，
“巳升升”受到广大群众的喜爱．阳信县某中学为激励学生奋发向上，
决定购买一批“巳升升”来奖励学生，经调查后发现，
市场上有两种材质的吉祥物，已知使用材质生产的吉祥物比材质的吉祥物每个贵50元，
用3000元购买材质的吉祥物的数量是用1500元购买材质吉祥物数量的4倍．
(1)求购买一件材质和一件材质的吉祥物各需多少元？
(2)现在该学校准备用不超过3000元购买、两种材质的吉祥物共50个．
恰逢商家对两种吉祥物的价格进行了调整：使用材质的吉祥物的价格按原价的九折出售，
使用材质的吉祥物的价格比原价提高了，那么该学校此次最多可购买多少个材质的吉祥物？
【答案】(1)购买一件材质的吉祥物需要50元，购买一件材质的吉祥物需要100元
(2)该学校此次最多可购买10个材质的吉祥物
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，找准等量关系和不等量关系，正确建立方程和不等式是解题关键．
（1）设购买一件材质的吉祥物需要元，则购买一件材质的吉祥物需要元，根据用3000元购买材质的吉祥物的数量是用1500元购买材质吉祥物数量的4倍建立方程，解方程即可得；
（2）设该学校此次购买个材质的吉祥物，则购买个材质的吉祥物，根据价格和费用不超过3000元建立不等式，解不等式即可得．
【详解】（1）解：设购买一件材质的吉祥物需要元，则购买一件材质的吉祥物需要元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
则，
答：购买一件材质的吉祥物需要50元，购买一件材质的吉祥物需要100元．
（2）解：设该学校此次购买个材质的吉祥物，则购买个材质的吉祥物，
由题意得：，
解得：，
所以的最大值为10，
答：该学校此次最多可购买10个材质的吉祥物．
23．（1）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点，
的顶点均在格点上．在的边上找到一点，连结，
使得的面积与的面积之比为，（请用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，
并保留作图迹）．
（2）如图，四边形为菱形，，点是边的中点，用尺规作图分别在边上找一点，在上找一点，使最小，（请用圆规和直尺完成作图，并保留作图迹．）
【答案】见解析；
见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、尺规作图、垂线段最短．
连接交于点，可得，根据相似三角形的性质可知，根据三角形的面积公式可得；
利用尺规作图作交于点，根据轴对称的性质可知 ，利用尺规作图过点作交于点，交于点，根据垂线段最短可知最小，等量代换可知此时最小．
【详解】解：如下图所示，连接交于点，
，
，
，
；
如下图所示，
利用尺规作图作交于点，
根据轴对称的性质可知 ，
利用尺规作图过点作交于点，交于点，
根据垂线段最短可知最小，
连接、，
则，
此时最小．
24．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图2，小丽坐在秋千的最低点F处，O，F，A共线.
妈妈先将小丽拉到B处，然后用力一推，爸爸在C处接住她.
若秋千的长度为3米，，．
（参考数据：，，，）
(1)求B处到的距离的长度；
(2)若秋千最低点F到地面的距离为0.3米，则C处距地面的高度为多少
【答案】(1)1.26m
(2)1.59m
【分析】（1）在中，利用余弦函数的定义即可求解；
（2）过C作，垂足为M ，在中，先求出，从而得的长，过C作于点N，得四边形为矩形，进而即可求解
【详解】（1）解：在中，
∴，
答：的长度是是1.26m
（2）由题，
过C作，垂足为M
在中，
∴.
∴
∵过C作于点N
∵平行线间的距离处处相等或四边形为矩形
∴C到地面的高度=
答：C到地面的高度为1.59m
如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，
平分交于点，连结．
(1)求证：是的切线；
(2)当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
（1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得，连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
连接，
平分，
，
，
，
是的直径，
，
．
【问题发现】
（1）如图1，矩形中，，，点是矩形内一点，
过点作，分别交，于点，，，．则：
①________；
②与的关系是________；
【类比探究】
如图2，点是矩形外一点，过点作，
分别交，反向延长线于点，②中结论还成立吗？若成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，在中，，
是外一点，，，，求的最小值．
【答案】（1）①；②；（2）成立，理由见解析（3）
【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，
熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．
（1）①根据矩形的性质和判定证明四边形和四边形都是矩形，求出各个线段的长，再利用勾股定理即可得到答案；
②由，即可得到结论；
（2）证明四边形和四边形都是矩形，利用勾股定理进行证明即可得到结论；
（3）作交的延长线于点，作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接，证明四边形和四边形都是矩形，根据矩形的性质定理进行求解即可．
【详解】解：（1）①如图：四边形是矩形，，，
，
，
过点作，分别交，于点，，
，
四边形和四边形都是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
②，
，
，
故答案为：；
（2）成立，理由如下：
四边形是矩形，
，
，
过点作，分别交，反向延长线于点，
，
四边形和四边形都是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）作交的延长线于点，则，
，
作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接，
，
，
，
四边形和四边形都是矩形，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
的最小值为．
27．二次函数的图象交轴于点，点，交轴于点，抛物线的顶点为点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，点是抛物线上的一点，设点的横坐标为，点在对称轴上，且，
若，请求出的值；
（3）如图2，将抛物线绕轴正半轴上一点旋转得到新抛物线交轴于，两点，
点的对应点为点，点的对应点为点．若，求旋转中心点的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）作出辅助线，证得，求得，，得到点P的坐标为(，)，代入即可求解；
（3）作出辅助线，令，则，证得，求得，，由，根据同角三角形函数的关系得到，求得，由，构造方程即可求解．
【详解】解：（1）将A( 1，0)，B(3，0)代入，
得，
解得：，．
∴抛物线的解析式：；
（2）如答图-1，设抛物线对称轴与轴的交点为，过作于，
∵抛物线的对称轴为，
∴G(1，0)，M(1，-4)，
∴AG=2，
∵，
，
∴，
∴，
即：，．
∵点P的横坐标为m(m>3)，
∴PH=，QG=2PH=，HG=QG-QH=，
则P(，)，
代入得：，
解得或0（舍）；
∴．
（3）如答图-2，过作轴于，过作交的延长线于点，
令，则，
∵B(3，0)，M(1，-4)，
∴BF=2，FM=4，BM=，
∵∠FBM=∠NBE，∠BFM =∠BNE =90，
∴，
∴，
在中，
BN=2NE，则BE=，
∴，，
在中，，
∴，
则：，
在中，，
则：，
即：，
得．
∴E(9，0)，
由题意知，、关于点对称，
已知：A( 1，0)、E(9，0)，
则R(4，0)．
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