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九年级·数学
（考试时间：120分钟，全卷满分：150分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上。
2．答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每小题4分，共48分）.
1．－5的绝对值是（ ▲ ）
A．5 B．－5 C． D．
2．下列计算正确的是（ ▲ ）
A． B．
C． D．
3．下列四个有关环保的图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ▲ ）
A． B． C． D．
4．树叶上有许多气孔，在阳光下，这些气孔一边排出氧气和蒸腾水分，一边吸入二氧化碳.已知一个气孔每秒钟能吸进2500亿个二氧化碳分子，用科学记数法表示2500亿，结果是（ ▲ ）
A．2.5×1010 B．2.5×104 C．2.5×1012 D．2.5×1011
5．如图，把一块含有角（）的直角三角板ABC的直角顶点放在长方形桌面CDEF的一个顶点C处，如果，那么（ ▲ ）
A．50° B．40° C．20° D．10°
6．明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之为四两，九两分之为半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时斤两，故有“半斤八两”这个成语）．这个问题中共有（ ▲ ）两银子．
A． B． C． D．
7．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的值为（ ▲ ）
A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7
8．如图，、是的切线，切点为A、D，点B、C在上，若，则（ ▲ ）
B． C． D．
（5题图） （8题图） （9题图） （11题图）
9．如图，动点在边长为2的正方形内，且，P是边上的一个动点，是边的中点，则线段的最小值为（ ▲ ）
A． B． C． D．
10．对于正数x，规定，例如：，，
，，计算：
（ ▲ ）
A．199 B．200 C．201 D．202
11．如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上．若直线的函数表达式为，则的值为（ ▲ ）
A． B． C． D．
12．定义：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标相等的点称为“完美点”．设抛物线与y轴相交于点M，将抛物线L关于y轴对称，且向上平移1个单位后得到抛物线．若抛物线L上的完美点也在抛物线上，则下列结论中：①抛物线L上的完美点是或；②a的值是或；③存在某条定直线l，与抛物线交于点A，使得平行于x轴．正确的是（ ▲ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）.
13．分解因式： ▲ ．
14．为落实国家“双减”政策，七（1）班老师逐步减少学生作业量，学生完成作业的时间逐步减少．七（1）班班主任随机抽查了本班6位学生每天课外作业时间分别是（单位：分）：74，86，97，62，48，105，则这组数据的中位数是 ▲ ．
15．若一元二次方程的两根为m、n，则的值为 ▲ ．
16．如图，在△ABC中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交、于点、；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点：④过点作射线交于点．若△BDE与四边形的面积比为，则的值为 ▲ ．
（16题图） （17题图） （18题图）
17．如图，左图为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具一一“碓”的结构简图，右图为其平面示意图．已知于点，与水平线相交于点，．若分米，分米，，则点到水平线的距离为
▲ 分米（结果用含根号的式子表示）．
18．如图，正方形ABCD中，AB＝2，点E为BC中点，以AD为直径的半圆交线段DE于点F，连接BF交CD于点G．下列结论：①BF＝2；②2EF=3DF；③S△BEF＝0.4；④当点E在BC边上（不与B、C重合）运动时，DG有最大值．其中正确结论有 ▲ ．
三、解答题：本大题共7个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（10分）
（1）计算：．
（2）化简：．
20．（10分）如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，且点A、D、E在同一直线上，证明；
（10分）学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高，陈老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）．并将调查结果绘制成

（1）本次调查中，陈老师一共调查了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；扇形统计图中D类学生所对应的圆心角是 度；
（3）为了共同进步，陈老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
22．（10分）图（1）为某大型商场的自动扶梯，图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离AD=1.8m，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿（BL//MN）向正前方走了，发现日光灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为1∶2.4，的长度是．（参考数据：，，）
（1）求图（2）中点B到一楼地面MN的距离；
（2）求日光灯C到一楼地面MN的距离．（结果保留整数）
、
23．（12分）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象分别交于C、D两点，点，点B是线段的中点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）动点在y轴上运动，当的值最大时，求点P的坐标．
24．（12分）如图所示，为的直径，、、分别与相切于点、、C（AD＜BC）．连接并延长与直线相交于点P，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）在（2）条件下，若，求四边形的面积．
25．（14分）如图，的顶点，，直角顶点C在y轴的正半轴上，抛物线经过A、B、C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P从点A出发以2个单位的速度沿AB向点B运动，动点Q从点C出发以个单位的速度沿向点B运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，连接、，当△CPQ的面积最大时，求点P的坐标及最大面积；
（3）如图2，过原点的直线与抛物线交于点E、F（点E在点F的左侧），点，若设直线的解析式为，直线的解析式为，试探究：是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
九年级·数学参考答案
一．选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D D D D B D C A C B D
二、填空题.
13．； 14．80 ； 15．13； 16．； 17．；
18.①②④．
解：取AD的中点O，连接OF，AF，OB，过点F作FH⊥BC于H，取的中点M．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝AD＝2．
∵点E是BC的中点，点O是AD的中点，
∴OD＝OA＝BE＝EC＝1．
∵AD∥BC，
∴四边形DOBE为平行四边形．∴DE∥OB．
∵AD是半圆的直径，
∴∠AFD＝90°．即AF⊥DE． ∴AF⊥OB．
∵OA＝OF，
∴OB垂直平分AF．∴AB＝BF＝2． 故①正确；
在Rt△DCE中，∠DCE＝90°，
∴DE＝．
∵∠CDE+∠ADF＝90°，∠ADF+∠DAF＝90°，
∴∠CDE＝∠DAF．
∵∠AFD＝∠DCE＝90°
∴△DCE∽△AFD．∴．
∴DF＝．∴EF＝DE﹣DF＝． ∴．故②正确；
∵FH⊥CE，CD⊥CE，
∴FH∥CD． ∴△EHF∽△ECD．
∴＝． ∴FH＝．
∴． 故③错误；
当E点在BC上运动时，点F在上运动，
当且仅当BF与相切时，DG取得最大值．
∴当DG取得最大值时，AB＝BF＝2，DG＝FG．
设DG＝GF＝x，则CG＝2﹣x，BG＝2+x．
在Rt△BCG中，BC2+CG2＝BG2，
∴22+（2﹣x）2＝（2+x）2． 解得：x＝．
∴DG的最大值为． 故④正确．
综上，正确结论有：①②④．
三、解答题：
19..解析：（1）解：
………………………2分
； …………………………………5分
（2）解：
………………………2分
……………………………4分
． ……………………………5分
.解析：
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴，，， ………2分
∴，，
∴， ……………………………4分
在和中，
，
∴， ……………………………7分
∴， …………………………8分
∴． …………………10分
21.解析：
(1)20 ………………………2分
(2)36；补充条形统计图见详解 ………………………4分

故答案为：36； ………………………………6分
（3）列表如下，A类学生中的两名女生分别记为和，
女 女 男A
男D 女男D 女男D 男A男D
女D 女女D 女女D 男A女D
共有6种等可能的结果，其中符合条件的有3种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为． ………………………10分
解析：
（1）解：过点B作于E，如图：
设m，
的坡度为，
, ， ………………………1分
在Rt中，由勾股定理得：， ……………………………3分
解得：， ……………………………4分
，， ……………………………5分
答：B到一楼地面的距离为；
（2）过点C作于F交于G，过点D作于J交于H，
由题意知：，，
∵，，
∴，
∴四边形，四边形是矩形，
，，，
由（1）可知，， ， …………………………7分
在Rt中，， ……………………………8分
， ……………………………9分
，
答：日光灯C到一楼地面的距离约为． ………………………10分
23．解析：
(1)∵点在反比例函数的图象上，
， ； ……………………………1分
∵，点B是线段的中点，
∴， ……………………………2分
∵，在的图象上，
， 解得
； ……………………………4分
（2）解：由 解得， ，
， ……………………………6分
； ……………………………8分
（3）解：关于轴的对称点，延长交轴于点
设直线函数关系式为：， ……………………………9分
得：，解得：，
∴直线为， ……………………………10分
当时，， ∴点P的坐标， ……………………………11分
∴当的值最大时，点P的坐标为 ……………………………12分
24．解析（1）证明：连接，如图①，
、分别与相切于点、，
，
在与中，
……………………………2分
同弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半，
， ， ……………………………3分
又点是的中点，
是的中位线，
． ……………………………4分
（2）连接、、，如图②所示
是的直径，
，
又与相切于点，
，
又，
， ……………………5分
，
，
，
，， ……………………………6分
又，，
，
又，
，
， ……………………………7分
， ，
即：， ……………………………8分
（3）、分别与相切于点、，如图②所示，
，，
， ， ……………………………9分
，
，
即：， ……………………………10分
又，
， 即：， ……………………………11分
，
即：四边形的面积为． ……………………………12分
25．解析（1）解：如图，连接，
，
，
，，
，
， ……………………………2分
，，
，，
，，
，
点C在y轴的正半轴上，
，即， ……………………………3分
抛物线经过A、B、C三点
设抛物线的解析式，
将代入，解得，
，即； ……………………………4分
（2）解：、，
， ……………………………5分
设运动时间为，
由题意可知，，，
，， ……………………………6分
如图，过点Q作轴于点G，
，
，
，
，
……………………………8分
点P从点A运动到点B需要，点Q从点C运动到点B需要，
，
当时，面积最大，此时，； ……………………………9分
（3）解：设过原点的直线的解析式为，点E、F坐标为，，
联立化简得：，
，，……………………………11分
点代入直线，解得：，
点代入直线，解得：，
将，代入，解得:， ……………………………13分
将，，代入，解得：，
即为定值，定值为3． ……………………………14分

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