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第3章《圆》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，是的直径，半径，是圆上，之间的一点，，与相交于点，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，与矩形的三边分别相切于点，连接，，，则的长为（ ）

A． B． C． D．
3．如图，点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，点是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．无法计算
4．如图，是的弦，把的劣弧沿着对折，A是对折后劣弧上的一点，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
5．如图，内接于，是的直径，，点D是劣弧上一点，连结，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，圆内接正九边形两条对角线相交，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．2
8．如图，四边形内接于，，．劣弧沿弦翻折，刚好经过圆心．当对角线最大时，则弦的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是的直径，与切于点，点在上，连接与交于点，过点作交的延长线于点．若，则的长为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．2
10．如图，是的直径，，点是圆上不与、重合的点，平分，交于，平分，交于点，与交于点．以下说法：①点是弧的中点；②；③；④若，则．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，是的直径，C、D是上两点，，若，则 ．
12．如图，从一块圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，若围成圆锥的底面半径为1，则该圆形铁皮的直径是 ．

13．图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正六边形绕其中心最少旋转 ，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为2，则所得正八边形的面积为 ．
14．如图，是的外接圆，于点于点，连结，若，则的长为 ．

15．如图，与相切于点，与弦相交于点，，若，，则的长为 ．
16．如图，点是正方形外接圆的劣弧上的一点，则代数式的值是 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）如图，是的直径，为上的点，且，过点作于点．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径长．
18．（6分）如图，是⊙O的直径，点A在⊙O上，，垂足为D，，分别交于点F，G．
(1)求证： ；
(2)若，求弧的长度．
19．（8分）如图1，，是的弦，且，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，若，，，求的半径．
20．（8分）如图，为⊙的直径，、为⊙上不同于、的两点，，过点作交的延长线于点，直线与交于点．
(1)求证：为⊙的切线；
(2)填空：
①若，当时，______；
②当的度数为______时，四边形是菱形．
21．（8分）已知内接于，，，D是上的点．

(1)如图①，求和的大小；
(2)如图②，，垂足为E，求的大小．
22．（8分）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．

(1)求证：；
(2)若，，求阴影部分的面积．
23．（8分）【问题提出】
（1）如图①，在等腰直角中，，为等边三角形，，则线段BD的长为___________；
【问题解决】
（2）如图②，在等腰直角中，，以AC为直径作半圆O，点D为上一动点，求点B、D之间的最大距离；
【问题探究】
（3）一次手工制作课程中，老师要求小明和小丽组制作一种特殊的部件，部件的要求如图③，部件是由直角以及弓形BDC组成，其中，点E为BC的中点，，这时候小明和小丽在讨论这个部件，其中小丽说点A到的最大距离是点A、D之间的距离，小明说不对，你认为谁的说法正确？请说明理由，并求出点A到的最大距离．
参考答案
选择题
1．A
【分析】本题考查了圆周角定理、等边对等角，先求出，再由圆周角定理得出，最后由等边对等角即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
2．D
【分析】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，连接，则，，，可证四边形为正方形，都为矩形，得到，，利用勾股定理可得，，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，则，，，
则，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴点三点共线，
∴四边形都为矩形，
∴，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．

3．B
【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，对称的性质；作点B关于的对称点C，连接交于点D，连接，当点P与D重合时，最小，利用勾股定理即可求得最小值．
【详解】解：如图，作点B关于的对称点C，连接交于点D，连接，
则，；
∵点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，
∴，，
∴；
∵，
∴当点P与D重合时，最小，最小值为线段的长；
在中，，
由勾股定理得：，
即的最小值为；
故选：B．
4．C
【分析】
本题主要考查了折叠，圆内接四边形．熟练掌握折叠的性质，圆内接四边形的性质，是解决问题的关键，
将沿翻折，点A落在处，得到，点在上，根据，得到，根据，得到．
【详解】
如图，沿翻折，点A落在处，

则，
由对折知，，
∴点在上，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，先根据圆周角定理，由，则利用互余可计算出，然后根据圆内接四边形的性质得到的度数，熟练掌握三角形的外心的定义与性质是解题的关键．
【详解】
解：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，三角形外角的性质，添加辅助线是解题的关键．根据正多边形与圆求出相应的圆心角度数，再根据圆周角定理和三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：如图，设这个正九边形的外接圆为，
则，
∴，
∴，
故选：C．
7．B
【分析】本题主要考查的是旋转的性质、扇形的面积公式，勾股定理的应用，将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键．先根据勾股定理得到，再根据扇形的面积公式计算出，由旋转的性质得到，于是．
【详解】解：，，
，
．
又绕A点逆时针旋转后得到，
，
．
故选：B．
8．A
【分析】首先作好辅助线，利用翻折性质得出△OBF为等边三角形，进而得出OB，再利用过直径的三角形是直角三角形得出OE=EB=，进而即可得解.
【详解】当BD过圆心时最大，连接OA，作OE⊥AB，还原劣弧，设与点O对应的点为F，连接FB、FC、OF，OF交BC于G，如图所示：
由翻折的性质，得
OB=BF，∠OBC=∠FBC
∵翻折后刚好经过圆心
∴OB=OF
∴△OBF为等边三角形，即∠OBC=30°
∵OF⊥BC
∴
∵
∴BG=CG=1.5
∴
∵，OE⊥AB，OA=OB
∴∠ABD=∠ADB=45°
∴OE=EB=
∴
故选：A.
9．C
【分析】本题考查了切线的性质，平行线的性质，根据切线的性质可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，，然后利用等腰三角形的性质可得，从而可得，进而可得，即可解答．
【详解】解：与切于点，
，
∵，
，
，，
，
，
，
，
故选：C．
10．C
【分析】由平分可得，再由圆周角定理即可判断①；由①可得，由角平分线的定义、圆周角定理结合三角形外角的定义及性质证明，得到，即可判断②；令，则，此时，，，即，即可判断③；由，得，根据平分，得 ，从而利用直角三角形的两锐角互余得，即可判断④．
【详解】解： 平分，
，
∴，
点是的中点，故①正确，符合题意；
，
，
，
，
平分，
，
，，
，
，
，故②正确，符合题意；
是的直径，
，
∴，
令，则，此时，，，即，故③错误，不符合题意；
∵，，
∴，
∵， 平分，
∴ ，
∴，
∵，
∴，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有①②④，共个，
故选：．
二．填空题
11．
【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质；连接，由等腰三角形的性质得，由角的和差得，由圆的基本性质得，即可求解；理解圆的基本性质是解题的关键.
【详解】解：如图，连接，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．连接，根据扇形圆心角为，得到三点共线，为的直径，首先求得扇形的弧长，再求出圆锥的母线长，然后利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，连接，

，
三点共线，为的直径，
围成圆锥的底面半径为1，
，
，
，
，
，
该圆形铁皮的直径是，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了旋转变换，图形规律以及等腰直角三角形的性质，由题意得正边形绕其中心最小旋转，所得图形与原图的重叠部分是正边形，旋转得到正八边形相当于将正方形剪掉了4个全等的等腰直角三角形，设等腰直角三角形的边长为，则正八边形的边长为，根据求出的值即可得解．
【详解】解：由题意得：正边形绕其中心最小旋转，所得图形与原图的重叠部分是正边形，则将一个正六边形绕其中心最少旋转所得图形与原图的重叠部分是正多边形，
由题意得：旋转得到正八边形相当于将正方形剪掉了4个全等的等腰直角三角形，
设等腰直角三角形的边长为，则正八边形的边长为，
∴，
解得：，
∴减去的每个等腰直角三角形的面积为：，
∴正八边形的面积为，
故答案为：，．
14．
【分析】本题主要考查垂径定理，三角形中位线定理，解题的关键是利用垂径定理得到中点与．
【详解】解：是的外接圆，，，
，，
、分别为、的中点，
是的中位线，
，
．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，余角性质，对顶角的性质，勾股定义，连接，由切线的性质可得，由得，又由得到，即可根据余角性质得到，进而得到，即得到，设，则，，由勾股定理可得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，如图，
∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
解得，
即的长为，
故答案为：．
16．；
【分析】延长PA到E，使AE=PC，连接BE，易证得△ABE≌△CBP，继而可证得△BEP是等腰直角三角形，则可求得答案．
【详解】解：延长PA到E，使AE＝PC，连接BE，
∵∠BAE+∠BAP＝180°，∠BAP+∠PCB＝180°，
∴∠BAE＝∠PCB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
在△ABE和△CBP中，
，
∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴∠ABE＝∠CBP，BE＝BP，
∴∠ABE+∠ABP＝∠ABP+∠CBP＝90°，
∴△BEP是等腰直角三角形，
∴PE=PB，
∵AE=CP，
∴PA+PC＝PE＝PB．
即：，
故答案为：．
．
三．解答题
17．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：过点作于，如下图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
即的半径长为．
18．（1）证明：∵是 的直径，
∴，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图，连接、，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴弧的长度．
19．（1）证明：，
，
，即，
；
（也可通过证明三角形全等解决）
（2）解：如图，过点作于点，交于点F，连接，，
，，
又，，
，
，
在中，，
设的半径为，中，，
，
解得，即的半径为13．
20．（1）证明：连接，如图，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
为的切线；
（2）解：∵，
，
，
∵，
，
，
故答案为：；
当的度数为时，四边形是菱形，理由如下：
，
，
，
，
，
连接，
是的直径，
，而，
∴，
，
在与中，
，
≌，
，
，
∵，
四边形是菱形．
故答案为：．
21．（1）解： ，
．
四边形是的内接四边形，
．
，
；
（2）解：连接．
，
．
．
．
．

22．（1）解：如图，连接，
∵，则，

∴，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，

∵O为正方形中心，
∴，，而，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，而，
∴，
∴，
∴，，
而正方形的边长，
∴，
解得：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
而，
∴．
23．解：（1）
如图，连接BD交AC于点E ，
是等腰直角三角形，为等边三角形，
，,
在与中，
，
，
，，
根据三线合一，可得垂直平分，
，
，
，
，，
．
（2）如图②，连接BO并延长交于点D，则此时BD最大．
在上取一点异于点D的点，连接、．
在中，，
，
，即．
最大
在等腰直角中，，O为AC的中点，
且．
．
．
点B、D之间的最大距离为．
（3）小明的说法正确．
如图③，过点A作BC的平行线AF，延长DE交AF于点F．
点E为BC中点，，
所在的圆的圆心O在直线DF上．
设圆O半径为r，连接BO．
在中，，
且，
，得．
连接AO并延长交于点，则为最大距离．
在中，，且，
小明的说法正确．
在中，．
．
．
点A到的最大距离为．

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