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广东省大湾区2025届普通高中毕业年级联合模拟考试（二）
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，复数，则( )
A. B. 的虚部为
C. D. 在复平面内对应的点在第四象限
3.一组数据由小到大排列为，，，，，，，，，，已知该组数据的分位数是，则的值是( )
A. B. C. D.
4.若，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，，若向量与的夹角等于向量与的夹角，且向量与不共线，则向量( )
A. B. C. D.
6.设函数满足：，，都有，且记，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
7.从双曲线上一点向该双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，已知，则( )
A. B. C. D.
8.若是三棱锥外接球的直径，且，则三棱锥的体积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数，，则( )
A. 函数为奇函数 B.
C. 函数的值域为 D. 函数在其定义域上为增函数
10.已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位长度得到，则( )
A.
B. 直线是曲线的对称轴
C. 在区间内有两个极值点
D. 曲线与直线，，所围成封闭图形的面积为
11.已知离散型随机变量的分布列为定义随机变量为自然对数的底数，的分布列如下：
随机变量的数学期望称为随机变量的生成函数，记为．是函数在处的导数，则( )
A.
B. 若服从两点分布，，则
C. 若X~B(n,p),则(t)=
D. 若实数a,b为常数,则(t)= (at)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设抛物线的焦点为，点，在抛物线上且，则 ．
13.若角的终边经过点，则 ．
14.已知，是圆上两个动点，点坐标为，若点满足四边形是矩形，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，的面积为，满足C.
求的值
若，，求的周长．
16.本小题分
如图，已知平面四边形纸片，，，将该纸片沿对角线翻折，连接得到三棱锥，如图．
若，证明：平面
若，求平面与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
已知椭圆的左右顶点分别为，，点在椭圆上点为直线上的动点，直线与直线的斜率之比为．
求椭圆的方程
椭圆的长轴上是否存在定点，使得直线与椭圆交于，两点，当点在直线上运动时，，，恒构成等差数列若存在，请求出定点的坐标若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程
若有三个零点，，，
求的取值范围
判断与的大小关系，并给出证明．
19.本小题分
依次投掷一枚骰子若干次，观察向上一面的点数，表示在第次投掷后，前次的结果中出现种点数的概率，规定，记为第次投掷后出现的点数种类数例如：投掷三次，向上一面点数分别为，，，则只有“”“”两种点数，于是，．
求，，
求，，的递推关系式，并求
求的数学期望用含有的式子表示．
参考答案
1.
2.
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4.
5.
6.
7.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，
C.
又由余弦定理，得，
．
，
，．
设的外接圆半径为，
，，由正弦定理，得．
，．
，
．
由正弦定理，得，，
所以，的周长为．
16.解：不妨设，由题意可知，，，，
，根据余弦定理，得，，，
又且，，平面，平面；
以中点为坐标原点，以所在直线为轴，平面内过点垂直于的直线为轴，
过点垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系如图，
设，则，，
则，，， 设，
因为，
则
所以，不妨取，易得平面的一个一个法向量为，
设平面的一个法向量为，，，
则，即，不妨设，可得，
设平面与平面所成角为则，
故平面与平面所成角的余弦值为．
17.解：设，，且点，得，，．
由直线与直线的斜率之比为，得：．
又因为点在上，所以，，将代入，解得，
所以，的方程为．
若存在定点满足条件，显然直线斜率存在．
设直线的方程为，，由
得，
，，
要满足
即，
即，
即，
即，
即，所以．
综上，椭圆的长轴上存在定点，
使得直线与椭圆交于，两点时，，恰好成等差数列．
18.解：当时，，则，
故所求切线方程为．
当时，，且，
若有三个零点等价于在上有且只有一个零点，
令，则，函数的零点与有相同的零点，
又在上零点情况等价于在上零点情况，
，
当时，，
在上单调递减，所以，在上无零点，不符合题意，
当时，令，，
当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，，，
所以在有唯一零点，
即在有唯一零点，
综上所述，有三个零点时，；
由知，时有三个零点，其中，
考虑，
令，
则，
所以在上单调递减，
所以，即，
所以，又函数在上为增函数，
所以．
19.解：，，，
记第次投掷后，前次的结果中出现种点数的概率为，
则第次投掷后，前次的结果中出现种点数的概率为
记第次投掷后，前次的结果中出现种点数的概率为，
则第次投掷后，前次的结果中出现种点数的概率为
故，
，，，，，
，，
设，
则，于是，得，
，
所以，
所以，
又也满足上式
所以，
为第次投掷后出现的点数种类数，
则，，，，，，，
当时，
令，则，，，
所以是以为首项，为公比的等比数列，即，
．

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