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广东省广州市2025届普通高中毕业班综合测试(二)
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则的元素个数为( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
3.声强级单位：由公式给出，其中为声强单位：轻柔音乐的声强一般在之间，则轻柔音乐的声强级范围是( )
A. B. C. D.
4.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数若函数恰有个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与相交于，两点，且，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在上的所有极值点从小到大依次记为，，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一组成对样本数据，，，的散点位于一条直线附近，它的样本相关系数其中，，由最小二乘法求得经验回归方程
其中，则( )
A. 若，则
B. 若，则成对数据的样本相关系数等于
C. 若，则成对数据的样本相关系数大于
D. 若，则成对数据的经验回归方程
10.瑞士著名数学家欧拉在年提出：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”若的三个顶点坐标分别为，，，其“欧拉线”为，圆：，则( )
A. 过作圆的切线，切点为，则的最小值为
B. 若直线被圆截得的弦长为，则
C. 若圆上有且只有两个点到的距离都为，则
D. 存在，使圆上有三个点到的距离都为
11.已知，是球的球面上两点，为该球面上的动点，球的半径为，，二面角的大小为，则( )
A. 是钝角三角形
B. 直线与平面所成角为定值
C. 三棱锥的体积的最大值为
D. 三棱锥的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数，且是偶函数，且，则 ．
13.一个袋子里有大小和质地相同的个球，标号为，，，，从中有放回地随机取球，每次取个球，共取次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有个不同整数的概率为 ．
14.在平面四边形中，，，，若的面积是的面积的倍，则的长度为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设为数列的前项和，且是和的等差中项．
求数列的通项公式
令，数列的前项和为，证明：．
16.本小题分
如图，直四棱柱的底面是菱形，为锐角，，分别为棱，的中点，点在棱上，且，，点在直线上．
证明：平面
若直四棱柱的体积为，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求的长．
17.本小题分
已知函数，，且．
若，直线与曲线和曲线都相切，求的值
若，求的取值范围．
18.本小题分
已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为．
求的方程
设点在的右支上，过点作圆的两条切线，一条与的左支交于点，另一条与的右支交于点异于点．
(ⅰ)证明：
(ⅱ)当的面积最小时，求直线和直线的方程．
19.本小题分
设，，集合，，，为向量，若，，定义．
若，，，且，，，写出所有的
若，，且，设满足的的个数为，求的值
从集合中任取两个不同的向量，，记，求的分布列与数学期望．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解： 因为是和的等差中项，所以，即．
当时，，得．
当时，，
得， 得，即，，
所以数列是以首项为，公比为的等比数列，
所以
证明：因为，
得，
所以．
由于，得，得，
所以．
16.证明：取的中点，连接，，
因为为的中点，所以，且．
又，且，则，且
所以四边形是平行四边形．
所以
因为，则为的中点．
又为的中点，则，
所以．
因为平面，平面，
所以平面F.
由于直四棱柱的体积为，
得，得，
由于为锐角，则．
以为原点，分别以直线，为，轴，以的边上的高线为轴，建立空间直角坐标系．
则，，，，，
设，，
，，，
设平面的法向量为，直线与平面所成角为，
由即
取，，，则平面的一个法向量为
则，．
当时，取得最大值．
此时．
所以的长为
17.解法设直线与曲线的切点坐标为，
由于，则，
解得，，则切点坐标为．
直线，即．
由得，
由，解得或舍去，
当时，得，符合题意，
所以．
解法设直线与曲线的切点坐标为，
由于，则，
解得，，
则切点坐标为．
直线，即．
当时，函数的定义域为，
设直线与曲线的切点坐标为，
由，得，得．
得，即，
则．
解得，
解：当时，则函数的定义域为．
由于，，
则，不符合题意，
所以不符合题意
当时，则函数的定义域为
显然．
当时，由，得，即．
即，令所以，
所以时，递减时，递增．
则．
综上所述，的取值范围为．
18.解：由于双曲线的右焦点为，所以，
双曲线的渐近线方程为，即为，
由于点到的一条渐近线的距离为，则．
解得
所以的方程为
证明：显然圆的切线的斜率存在，设切线的方程为，
由于切线不平行的渐近线，则．
由圆心到切线的距离，得．
由消去得，
由题意知设，，
则，，
而．
则，
则．
所以，即．
由同理可得，所以，，三点共线．
则的面积
设切线与圆的切点为，则，
，
由得
又，则，
当时，，，
此时，直线平行轴，则，的纵坐标绝对值为圆的半径，
得点的坐标为，
所以直线的方程为，直线的方程为．
19.解：因为，，
则所有满足的为：，，．
因为，，，，
则满足等价于向量的坐标中有个位置上的值为，
剩下个位置上的值为，即．
由二项式定理，，
所以，
因此
由题意可知，，，，，，
对于的随机变量，在坐标与中有个对应位置上的值均为，剩下个对应位置上的值有种对应关系，且个对应位置上的值不能同时为，
否则，两个向量相等，此时所对应情况数为种
中元素的个数为个，所以．
数学期望．
首先计算．
设，
两边求导得，，
两边乘以后得，
令，得．
下面计算
由倒序相加法得
所以．
所以．
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