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2025年辽宁省普通高中高考数学三模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若向量，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则下列判断错误的是( )
A. B. C. D.
3.下列各二项式中，其展开式不存在常数项的是( )
A. B. C. D.
4.已知为虚数单位，，，则( )
A. B. C. D.
5.如图，这是一块宋代椭圆形玉璧，采用上好的和田青玉雕琢而成，该椭圆形玉壁长，宽，玉壁中心的椭圆形孔长，宽，设该玉壁的外轮廓为椭圆，玉壁中心的椭圆形孔对应的曲线为椭圆，则( )
A. 的离心率等于的离心率
B. 的离心率小于的离心率
C. 的离心率大于的离心率
D. 与的离心率无法比较大小
6.在正方体中，从直线，，，以及该正方体的条棱所在直线中任取条直线，则这条直线平行的概率为( )
A. B. C. D.
7.如图，在四边形中，，，，，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
8.函数的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若关于的不等式在上恒成立，则该不等式称为单位区间不等式下列不等式是单位区间不等式的有( )
A. B. C. D.
10.函数的部分图象可能为( )
A. B.
C. D.
11.已知函数对任意，，都有，函数的定义域为，且的导函数满足，则( )
A.
B.
C.
D. 当时，可能为偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若抛物线经过点，则该抛物线的焦点坐标为______．
13.已知某社区有人计划暑假去云南或河南旅游，他们每人从云南与河南中选择一个省份去旅游，将这人分为东、西两小组，经过统计得到如下列联表：
去云南旅游 去河南旅游 合计
东小组
西小组
合计
由表中数据可知，这人选择去云南旅游的频率为______用百分数表示，______填入“有”或“没有”的把握认为游客的选择与所在的小组有关．
参考公式：，
14.已知顶点为的圆锥有且仅有一条母线在平面内，是母线的中点，点若与圆锥底面所成的角为，圆锥外接球的表面积为，且圆锥底面圆心到直线的距离为，则与圆锥底面所成角的正弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若，求曲线在点处的切线方程；
若，证明：．
16.本小题分
甲、乙两人进行一场网球比赛，比赛采用三局两胜制，每局都没有平局，且甲第一局获胜的概率为从第二局开始，若上一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若上一局甲未获胜，则下一局甲获胜的概率为．
当时，求甲第二局获胜的概率．
设甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为．
求；
记这场比赛需要进行的局数为，求的分布列与期望．
17.本小题分
如图，在高为的直三棱柱中，底面的周长为，，分别为棱，上的动点．
若，，证明：平面．
求的最小值．
若，，，求平面与底面夹角的余弦值的最大值．
18.本小题分
已知双曲线：的两条渐近线的斜率之积为．
求的离心率．
若过点且斜率为的直线与交于，两点在左支上，在右支上，且．
求的方程；
已知不经过点的直线与交于，两点，直线的斜率存在且直线与的斜率之积为，证明：直线过定点．
19.本小题分
已知正数的整数部分记为，例如，，．
若，求数列的前项和．
设，
求；
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. 没有
14.
15.解：当时，，
则，
则，
又，
则所求切线方程为，即；
证明：函数的定义域为，
令，则，
且当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，
即，即．
16.解：设“甲第局获胜”，其中，，，
依题意得，当时，
由全概率公式得，
所以甲第二局获胜的概率为；
甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为，依题意得，解得；
的可能取值为，，
，
，
所以的分布列为：


．
17.解：证明：因为底面的周长为，且，，所以，
则，所以，
在直三棱柱中，底面，又平面，
则，又，、平面，
所以平面；
将直三棱柱的侧面沿剪开展平成矩形，如图所示，
其中，，所以，
所以的最小值为．
设，的中点分别为，连接，，
因为三棱柱是直三棱柱，则，．
因为，底面的周长为，
所以，所以，
则，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
又，，
则，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，
即，
取，得．
易得底面的一个法向量为，
则，
当时，取得最小值，
则取得最大值，且最大值为，
所以平面与底面夹角的余弦值的最大值为．
18.解：由题意可知，则，；
解：直线的方程为，联立，
得，设，，
则，由，得，
代入，得，则的方程为；
证明：设，，的方程为联立
得，，
且，．
因为，
所以，即，
则，
整理得，即．
因为点不在直线上，所以，则，
则，故直线过定点．
19.解：，当时，；
，
因为，且，所以．
令，，则，
则，所以，
因为，所以，又为正整数，
所以．
数列的前项和为
．
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