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2024-2025学年安徽省芜湖市高二下学期期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.春暖花开正是研学好季节，某校个班准备从个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是．
A. B. C. D.
2.已知等差数列和的前项和分别为、，若，则( )
A. B. C. D.
3.甲、乙、丙等人站成一排，要求甲不在两端，乙和丙之间恰有人，则不同排法共有．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则的值为 ．
A. B. C. D.
5.记为等比数列的前项和，若，，则 ．
A. B. C. D.
6.已知数列的前项和、、为常数，则“为递增的等差数列”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.设，，，则( )
A. B. C. D.
8.对于，恒成立，则正数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的有( )
A. 是递减数列 B. ，
C. D.
10.设函数，则( )
A. 存在，函数仅有一个极值点
B. 曲线关于点对称
C. 当时，是曲线的切线方程
D. 当时，函数有唯一零点
11.如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列正三角形，记为，，，为坐标原点设的边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是( )
A. 数列的通项公式
B. 数列的通项公式
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某台小型晚会由个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，则该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 种．
13.已知等比数列的前项和，则 ．
14.已知函数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，计算：；
解方程：．
16.本小题分
设为数列的前项和，已知．
求的通项公式；
求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若有极小值，且极小值小于，求的取值范围．
18.本小题分
汉诺塔游戏是源于印度古老传说的益智游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆编号，在杆自下而上由大到小按顺序放置若干个金盘如下图游戏的目标：把杆上的金盘全部移到杆上，并保持原有顺序叠好操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于任一杆上记个金盘从杆移动到杆需要的最少移动次数为．
求，，；
写出与的关系，并求出．
求证：
19.本小题分
已知函数．
若，求函数的最大值；
若函数有两个不同的零点，．
(ⅰ)求实数的取值范围；
(ⅱ)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：因为，所以当时，解得，当，解得，舍去，所以，
故；
，
则，即，且，所以，解得，舍去，
所以原方程的解为．
16.【答案】解：
因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．

17.【答案】解：当时，，则，
则，，
故曲线在点处的切线方程，
即为
，
当时，恒成立，无极值
当时，当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减，
故在处取极小值，
则，
即，
令，
则恒成立，
故在上单调递增，又，
由，得，
故的取值范围是．
18.【答案】解：当时，金盘从杆移到杆需要的最少移动次数为次，即；
当时，将第一层自上而下金盘从杆移到杆需要的最少次数为次，将第二层自上而下金盘从杆移到杆需要的最少次数为次，再将已移动到杆上的金盘从杆移到杆需要的最少次数为次，所以；
当时，将第一层、第二层自上而下金盘从杆移到杆需要的最少次数为次，将第三层自上而下金盘从杆移到杆需要的最少次数为次，再将已移动到杆上的金盘从杆移到杆需要的最少次数为次，所以；
同理可得．
依此类推：
即 ，
由于 ，所以 ，
所以 ．
即数列 是以为首项，为公比的等比数列，
所以 ，即 ．
证明：记，
由知数列是以为首项，为公比的等比数列，即，
所以
所以，
所以．
19.【答案】解：，，
由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，则．
令，则．
当时，，单调递增，
所以在上至多有一个零点，不符合题意；
当时，在上单调递减，
令，得．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，则，
易知当且趋向于时，；当时，，
因为有两个不同的零点，
所以，解得．
所以的取值范围是．
由得，
即，
令，则只需，
即，．
令，
则，令，则．
因为，
当时，，则单调递减，，
从而单调递增，故，不符合要求；
当时，在单调递减，，
从而单调递增，故，不符合要求．
当时，，则单调递增，，
从而单调递减，故，符合要求．
综上所述．

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