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2024-2025学年六年级下册数学典型培优专练通用版
专题38 正、反比例问题
【第一部分：知识梳理】
正比例和反比例都是两种相关联的量，一种量在变化，另一种量也随着变化．
正比例：如果这两种量中相对应的两个数的比值（即商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系，简称正比例．形式如：（一定）
反比例：如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系，简称反比例．形式如：xy＝k（一定）
【第二部分：培优专练】
1．一艘轮船往返于甲乙两港。从甲港开往乙港时为顺水，顺水每小时行驶25km，用2.4小时到达乙港。轮船沿原路返回时为逆水，逆水每小时行驶20km，这艘轮船要用几小时到达甲港？（用比例知识列方程解答）
2．书是人类的朋友，书是人类进步的阶梯。自三月起，阳光小学六（四）班开展了“爱名著，爱阅读”读书活动。小乔计划每天读48页《西游记》，9天读完。实际上他12天才读完，小乔实际每天读几页？（用比例解）
3．成语“立竿见影”用数学的眼光来看，这是应用了比例中同时同地竿高和影长成正比例关系。身高1.2m的小芮在阳光照射下的影子长2.1m，同时同地量得妈妈的影子长2.8m，妈妈的身高是多少米？（用比例解）
4．一根竹竿高2米，它的影长3.2米。如果同一时间、同一地点测得一棵树的影子长6米，这棵树高是多少米？（用比例解）
5．学校开展“旧物交换”活动，按原价1.5元的物品交换现价0.5元物品的比例，淘气换现价5.6元的物品需要原价多少元钱的物品？（用比例解）
6．一辆汽车从甲地到乙地，前3小时行了156千米，照这样的速度，从甲地到乙地共需7小时，甲、乙两地相距多少千米？（用比例解）
7．一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行72千米，4小时可以到达。从乙地返回甲地，每小时行48千米，需要多少小时到达？（用比例解）
8．广州塔是目前中国第一高的电视塔。某公司制作了这座电视塔的模型，模型的高度与实际高度的比是1：400。已知模型的高度是1.5米，广州塔实际高多少米？
9．一种蜂蜜水由蜂蜜和水按2：9的质量比调制而成。如果用280mL蜂蜜调制这种蜂蜜水，需要准备多少mL水？（用解比例的方法解决。）
10．上海航海博物馆展出超大型“辽宁舰”航母模型，做工精细，它与“辽宁舰”的实际长度比约为1：72。“辽宁舰”全长304.5m，这个航母模型约长多少米？（结果保留一位小数）（用比例解）
11．李叔叔从家开车去济南，每小时行80千米，3.5小时到达。返回时，如果速度提高25%，那么多少小时可以返回家中？（用比例解）
12．用食盐水浸泡菠萝可增加菠萝甜味。笑笑的妈妈用5克食盐和265克水配制了食盐水，将菠萝浸泡20分钟后，菠萝口味更佳。笑笑想配制同样的食盐水162克，他需要食盐多少克？（用比例解决）
13．一间教室用面积为8平方分米的方砖铺地，需要1200块；如果改用边长50厘米的方砖铺地，需要多少块？（用比例解答）
14．汽车厂25天组装汽车4000辆，照这样的速度，20天能组装汽车多少辆？（用比例解）
15．一本故事书共150页，李丽3天看了45页，照这样的速度，看完这本书还需用多少天？（用比例解）
16．婉婉家的客厅是正方形的，用边长0.3m的方砖铺地，正好需要100块。如果改用边长0.6m的方砖铺地，需要多少块？（用比例知识解）
17．一辆汽车行驶30km耗油4L，照这样计算，这辆汽车从甲地到乙地耗油45L，甲、乙两地相距多少km？（用比例的方法解答）
18．习近平总书记指出：“探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是我们不懈追求的航天梦。”祝融号，为天问一号任务火星车，高1.85米，重约240千克。科技小组制作了“祝融号”火星车的模型，模型与实际高度的比是1：20，模型高多少厘米？（用比例解）
19．小亮半小时能打900个字，照这样的速度，往电脑里输入一篇1500字的文章，小亮需要多长时间？（用比例解题）
20．淘淘的身高1.6米，他的影长是1.2米。如果同一时刻、在同一地点测得校园里的旗杆影长是6米，这根旗杆的实际高度是多少米？（用比例知识解答）
21．在一幅地图上量得AB两地的距离是7厘米，BC两地的距离是13厘米，如果AB两地的实际距离是84千米，那么BC两地的实际距离是多少千米？（用比例解）
22．古时候人们常常以物换物，据《九章算术》记载“粟率五十，粝米三十”，“今有粟一斗，欲为粝米，问得几何？”大致意思是：50份粟米可换30份粝米，今有粟米一斗，要换成粝米，问能换多少升粝米？注：粟：小米；粝米：粗米；1斗＝10升。
23．天宫空间站在太空中绕地球运行10周大约需要15小时，绕地球运行16周大约要用多长时间？（用比例解答）
24．如图，机器上有一对互相咬合的齿轮，大齿轮有20个齿，每分转75转；小齿轮有10个，每分转多少转？（用比例解）
25．王叔叔开车从甲地到乙地，前2小时行了180千米。照这样的速度，从甲地到乙地一共用了4.5小时，甲乙两地相距多远？（用比例知识解答）
26．测量人员用一把弹簧秤称物体，弹簧原来长10厘米（如图1），当称质量为3kg的物体时，弹簧秤发生了如图2的变化。如果称质量为8.4kg的物体，弹簧会比原来伸长多少厘米？（所称物体均在弹性限度内）
图1 图2
27．爸爸开车从甲地到乙地一共用了3小时，每小时行50km。原路返回时每小时快了10km，返回时用了多长时间？（用比例知识解答）
28．2023年5月，在千山举办了“鞍山千山半程马拉松”长跑比赛，人们都踊跃报名参加。王叔叔在32分钟时就跑完了全程的，照这样的速度，王叔叔跑完全程21千米需要多少分钟？（用比例方法解答）
29．狮子楼标志服装厂4天加工240套童装，照这样计算，要生产720套这样的童装，需要多少天？（用比例解答）
30．用食盐水浸泡菠萝，可以使菠萝的口感更甜。若浸泡时食盐与水的质量之比是1：30，要配制1.24kg的食盐水，需要多少g食盐？（用解比例的方法解答）
31．工程队修一条水渠，原计划每天修28米，25天完成。实际上工程队3天修了105米，照这样计算，修完这条水渠还要多少天完成？（用比例解）
32．某小学修整地面，用边长0.5米的正方形花砖需要196块，师傅建议改用边长是0.7米的正方形花砖更美观，算一算需要多少块？（用比例解题）
33．甲要从A地到相距120千米的B地，前1.5小时行了30千米；照这样，到B地还要多少小时？（先分析比例关系，再列比例解答）
34．小明家上个月用了6吨水，交了30元水费；小红家上个月交水费50元，用了多少吨水？（用比例解）
35．加工一批机器零件，如果师傅单独加工，每天加工24个，加工完这批零件需要6天；如果徒弟单独加工，每天加工的零件个数是师傅的75%。徒弟单独加工完这批零件需要多少天？（用比例方法解答）
正、反比例应用题
参考答案与试题解析
一．应用题（共35小题）
1．【答案】3小时。
【分析】根据题意可知，速度×时间＝路程（一定），所以速度和时间成反比例，设这艘轮船要用x小时到达甲港，据此列比例解答。
【解答】解：设这艘轮船要用x小时到达甲港。
20x＝2.4×25
20x＝60
x＝3
答：这艘轮船要用3小时到达甲港。
【点评】此题首先判定两种量成反比例，再设出未知数，列出比例式进行解答即可。
2．【答案】36页。
【分析】根据题意，《西游记》这本书的总页数不变，每天读的页数与天数成反比例关系，据此列出比例解答。
【解答】解：设小乔实际每天读x页。
12x＝48×9
12x÷12＝48×9÷12
x＝36
答：小乔实际每天读36页。
【点评】解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式解答即可。
3．【答案】1.6米。
【分析】根据题意知道，物体的长度和它的影子的长度的比值一定，即物体的长度和它的影子的长度的成正比例，由此列式解答即可。
【解答】解：设妈妈的身高是x米。
2.1：1.2＝2.8：x
2.1x＝1.2×2.8
x＝1.6
答：妈妈的身高是1.6米。
【点评】解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式解答即可。
4．【答案】3.75米。
【分析】根据题意知道，物体的长度和它的影子的长度的比值一定，即物体的长度和它的影子的长度的成正比例，由此列式解答即可。
【解答】解：设这棵树高是x米。
2：3.2＝x：6
3.2x＝12
x＝3.75
答：这棵树高是3.75米。
【点评】解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式解答即可。
5．【答案】16.8元。
【分析】根据题意可知，现价与原价成正比例，据此列比例求解即可。
【解答】解：设淘气换现价5.6元的物品需要原价x元的物品。
5.6：x＝0.5：1.5
0.5x＝1.5×5.6
0.5x＝8.4
x＝16.8
答：淘气换现价5.6元的物品需要原价16.8元。
【点评】本题主要考查正比例的应用，关键利用现价与原价的正比例关系做题。
6．【答案】416千米。
【分析】根据题意得知，速度一定，路程和时间成出正比例，由此列式解答即可。
【解答】解：设甲、乙两地相距x千米。
156：3＝x：7
3x＝156×8
x＝416
答：甲、乙两地相距416千米。
【点评】解答此题的关键是，根据题意，正确判断出两种相关联的量成什么比例，找出对应量，列式解答即可。
7．【答案】6小时。
【分析】根据题意可知，甲地与乙地的距离一定；根据速度×时间＝路程（一定），乘积一定，则汽车的速度和行驶的时间成反比例关系，据此列出方程，并求解。
【解答】解：设需要x小时到达。
48x＝72×4
48x＝288
x＝288÷48
x＝6
答：需要6小时到达。
【点评】路程一定时，速度和时间成反比例，据此解答此题即可。
8．【答案】600米。
【分析】设广州塔实际高x米，再根据模型高度与实际高度的比值写出相应的比例，解出未知数即可。
【解答】解：设广州塔实际高x米。
1.5：x＝1：400
x＝1.5×400
x＝600
答：广州塔实际高600米。
【点评】本题主要考查解比例的方法以及在生活中的应用。
9．【答案】1260毫升。
【分析】根据题意可知，蜂蜜：水＝2：9，所以用280毫升的蜂蜜比上需要准备的水就等于2：9，设需要准备x毫升水，所以280：x＝2：9，根据比例的基本性质计算即可解答。
【解答】解：设需要准备x毫升水。
280：x＝2：9
2x＝280×9
x＝140×9
x＝1260
答：需要准备1260毫升水。
【点评】解答本题的关键是根据蜂蜜：水＝2：9列式解答。
10．【答案】4.2米。
【分析】首先设航母模型约长x米，根据题意列出比例式，再根据比例基本性质将比例写成方程的形式，再解方程即可，注意结果保留一位小数。
【解答】解：设航母模型约长x米。
1：72＝x：304.5
72x＝304.5
x≈4.2
答：这个航母模型约长4.2米。
【点评】此题考查比例的应用。解答时根据题中数量关系列出比例式，再解比例即可。
11．【答案】2.8小时。
【分析】先利用原来的速度乘（1+25%）求出提高后的速度，再根据速度×时间＝路程列出比例即可。
【解答】解：设x小时可以返回家中。
80×（1+25%）x＝80×3.5
100x＝280
x＝2.8
答：2.8小时可以返回家中。
【点评】解答此题的关键是理解往返的路程相同，据此列比例。
12．【答案】3克。
【分析】根据题意，食盐与水的质量之比是5：265，所以食盐与食盐水的质量之比是5：（265+5），设需要x克食盐，列出比例式，根据比例的基本性质，解比例即可。
【解答】解：设需要食盐X克。
x：162＝5：（265+5）
（265+5）x＝162×5
270x＝810
x＝3
答：他需要食盐3克。
【点评】解答此题的关键是找出食盐和食盐水的比例，然后根据比例求出需要的食盐的质量。
13．【答案】384块。
【分析】教室的面积是不变的，每一块方砖的面积与所需块数的乘积是一定的，即两种量成反比例，由此设出未知数，列出比例式解答即可。
【解答】解：设需要x块。
50厘米＝5分米
5×5x＝8×1200
25x＝9600
x＝384
答：需要384块。
【点评】此题首先利用正反比例的意义判定两种量的关系，解答时关键不要把边长当做面积进行计算。还要注意单位的统一。
14．【答案】3200辆。
【分析】首先设20天能组装汽车x辆，在根据速度不变，列出比例式，再解比例即可。
【解答】解：设20天能组装汽车x辆。
4000：25＝x：20
25x＝80000
x＝80000÷25
x＝3200
答：20天能组装汽车3200辆。
【点评】此题考查用比例解决实际问题。根据题意，结合正、反比例的意义，进行列式计算。
15．【答案】7天。
【分析】由题意可知：李丽每天看的页数是不变的，即看的页数与需要的天数的比值是一定的，则看的页数与需要的天数成正比例，据此即可列出正比例求解。
【解答】解：设看完这本书还需x天。
45：3＝（150﹣45）：x，
45x＝3×105
45x＝315
x＝7
答：看完这本书还需7天。
【点评】解答此题的关键是明白：李丽每天看的页数是不变的，则看的页数与需要的天数成正比例。
16．【答案】25块。
【分析】客厅的面积是不变的，每一块方砖的面积与所需块数的乘积是一定的，即两种量成反比例，由此设出未知数，列出比例式解答即可。
【解答】解：设需要x块。
0.6×0.6x＝0.3×0.3×100
0.36x＝9
x＝25
答：需要25块。
【点评】此题首先利用正反比例的意义判定两种量的关系，解答时关键不要把边长当做面积进行计算。
17．【答案】337.5千米。
【分析】根据耗油量÷路程＝每千米的耗油量，可知路程和耗油量的商一定，所以这辆汽车行驶的路程与耗油量成正比例关系，然后设甲、乙两地相距x千米，列比例解答即可。
【解答】解：设甲、乙两地相距x千米。
4：30＝45：x
4x＝30×45
4x＝1350
4x÷4＝1350÷4
x＝337.5
答：甲、乙两地相距337.5千米。
【点评】本题考查了正比例的判定以及正比例应用题知识，结合题意分析解答即可。
18．【答案】9.25厘米。
【分析】根据题意知道，物体的长度和它的影子的长度的比值一定，即物体的长度和它的影子的长度的成正比例，由此列式解答即可。
【解答】解：设模型高x厘米。
1.85米＝185厘米
x：185＝1：20
20x＝185
x＝9.25
答：模型高9.25厘米。
【点评】解答此题的关键是：先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式解答即可。
19．【答案】50分钟。
【分析】由题意可知：每分钟录入的字数一定，则录入的字数与需要的时间成正比例，据此即可列比例求解。
【解答】解：设小亮需要x分钟。
半小时＝30分钟
900：30＝1500：x
900x＝1500×30
900x＝45000
x＝50
答：小亮需要50分钟。
【点评】解答此题的关键是明白：若两个量的商一定，则说明这两个量成正比例。
20．【答案】8米。
【分析】同一时刻、在同一地点实际高度与影子高度成正比例，所以设旗杆的实际高度是x米，列比例解答即可。
【解答】解：设旗杆的实际高度是x米。
x：6＝1.6：1.2
1.2x＝9.6
x＝8
答：这根旗杆的实际高度是8米。
【点评】本题主要考查正比例的应用。
21．【答案】156千米。
【分析】图上距离和实际距离已知，根据“图上距离：实际距离＝比例尺”可知图上距离和实际距离成正比例，设甲、丙两地的实际距离是x千米，列出比例式，解决问题。
【解答】解：设BC两地的实际距离是x千米。
13：x＝7：84
7x＝84×13
x＝12×13
x＝156
答：BC两地的实际距离是156千米。
【点评】此题考查了关系式：图上距离：实际距离＝比例尺，图上距离÷比例尺＝实际距离。
22．【答案】6升。
【分析】已知50份粟米可换30份粝米，所以粟米：粝米＝50：30，可以设能换x升粝米，则10升的粟米：x升粝米＝50：30，据此解比例即可。
【解答】解：设能换x升粝米。
1斗＝10升
10：x＝50：30
50x＝10×30
50x＝300
50x÷50＝300÷50
x＝6
答：能换6升粝米。
【点评】解答此题要找到数量之间的等量关系。
23．【答案】24小时。
【分析】根据题意可知，天宫空间站绕地球10周大约需要15小时，绕行一周的时间是一定的，即天宫空间站在太空中绕地球运行的周数与需要的时间成正比例关系，设绕地球飞行16周大约需要x小时，根据比例的性质，即可求出绕地球飞行16周大约需要多长时间。
【解答】解：设绕地球飞行16周大约需要x小时。
10：15＝16：x
10x＝15×16
10x＝240
x＝24
答：绕地球运行16周大约要用24小时。
【点评】解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式解答即可。
24．【答案】150转。
【分析】因为两个齿轮是相互交合的，即转动齿数相等，所以转动的转数和每转齿数成反比，由此列出比例解决问题。
【解答】解：设每分转x转。
10x＝20×75
10x＝1500
x＝150
答：每分转150转。
【点评】解答此题的关键是，根据题意，先判断哪两种相关联的量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例。
25．【答案】405千米。
【分析】照这样的速度，说明速度一定，所以路程和时间的成正比例，即路程和时间的比值相等，由此设出未知数，列比例解答即可。
【解答】解：设甲乙两地相距x千米，
x：4.5＝180：2
2x＝810
x＝405
答：甲乙两地相距405千米。
【点评】此题首先判定两种量成正比例，再设出未知数，列出比例式进行解答即可。
26．【答案】5.6厘米。
【分析】称3kg物体时弹簧秤伸长了12﹣10＝2（厘米），根据每千克弹簧伸长的长度是相同的，所以此题用正比例解答即可。
【解答】解：设弹簧比原来伸长x厘米。
8.4：x＝3：（12﹣10）
3x＝16.8
x＝5.6
答：弹簧比原来伸长5.6厘米。
【点评】解答此题的关键是根据物体的重量与弹簧伸出的长度的比值一定，得出物体的重量与弹簧伸出的长度成正比例。
27．【答案】2.5小时。
【分析】总路程一定，所以速度乘时间的乘积相等，所以用去时的速度乘去时用的时间等于返回的速度乘返回用的时间。设返回时用了x小时的时间，则返回的速度是（50+10）千米，即要用返回的速度（50+10）乘返回的时间x等于去时的速度50乘去时用的时间3列式解答即可。
【解答】解：设返回时用了x小时的时间。
（50+10）x＝50×3
60x＝50×3
60x＝150
x＝2.5
答：返回时用了2.5小时。
【点评】本题考查了反比例问题，要注意10km不是返回的速度，是比去时速度多的10千米。
28．【答案】72分钟。
【分析】王叔叔跑步的速度一定，路程和时间成正比例，设出未知数，列出比例式解答即可。
【解答】解：设王叔叔跑完全程21千米需要x分钟。
x＝72
答：王叔叔跑完全程21千米需要72分钟。
【点评】此题首先判定两种量成正比例，再设出未知数，列出比例式解答即可。
29．【答案】12天。
【分析】由题意可知：工作效率一定，则工作量和工作时间成正比例关系，即加工的套数比上对应的天数的比值相等，据此即可列比例求解。
【解答】解：设需要x天。
240：4＝720：x
240x＝720×4
240x÷240＝720÷240×4
x＝3×4
x＝12
答：需要12天。
【点评】此题主要依据工作量、工作效率和工作时间之间的关系解决实际问题。
30．【答案】40g。
【分析】根据题意知道，食盐和食盐水的质量比值一定，即食盐和食盐水的质量成正比例，由此列式解答即可。
【解答】解：设需要x千克食盐。
1：（30+1）＝x：1.24
31x＝1.24
x＝0.04
0.04千克＝40克
答：需要40g食盐。
【点评】解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式解答即可。
31．【答案】17天。
【分析】根据题意可知，每天修的米数×天数＝水渠的长度（一定），即每天修的米数与天数的乘积一定，所以每天修的米数与天数成反比例关系，由此设出未知数，列方程解答即可。
【解答】解：设修完这条水渠还要x天完成。
（105÷3）x＝28×25﹣105
35x＝700﹣105
35x＝595
x＝17
答：修完这条水渠还要17天完成。
【点评】解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列方程解答即可。
32．【答案】100块。
【分析】修整地面的面积是不变的，每一块花砖的面积与所需块数的乘积是一定的，即两种量成反比例，由此设出未知数，列出比例式解答即可。
【解答】解：设需要x块砖，由题意得，
0.7×0.7x＝0.5×0.5×196
0.49x＝49
x＝100
答：需要100块。
【点评】此题首先利用正反比例的意义判定两种量的关系，解答时关键不要把边长当做面积进行计算。
33．【答案】4.5小时。
【分析】依据题意可设到B地还要x小时，行驶路程与行驶时间成正比例，由此列方程计算即可。
【解答】解：设到B地还要x小时，由题意得：
30：1.5＝（120﹣30）：x
30x＝135
x＝4.5
答：到B地还要4.5小时。
【点评】本题考查的是正比例的应用。
34．【答案】10吨。
【分析】由题意可知：每吨水的价格一定，也就是水费和用水量的比值一定，则应缴的水费和用水量成正比例，据此即可列比例求解。
【解答】解：设用了x吨水。
50：x＝30：6
30x＝50×6
30x＝300
30x÷30＝300÷30
x＝10
答：用了10吨水。
【点评】解答此题的主要依据是：如果两个量的商一定，则说这两个量成正比例，从而可以列比例求解。
35．【答案】8天。
【分析】根据题意，师徒二人的工作总量是一定的，因为工作总量＝工作效率×工作时间，所以工作总量＝师傅的工作效率×师傅工作时间，工作总量＝徒弟的工作效率×徒弟的工作时间，列出方程为24×6＝24×75%×x，求出未知数即可。
【解答】解：徒弟单独加工完这批零件需要x天。
24×6＝24×75%×x
144＝18x
x＝8
答：徒弟单独加工完这批零件需要8天。
【点评】本题考查了比例的应用，解决本题的关键工作总量是一定的。
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