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2024-2025 学年山东省济南市历城第一中学高一下学期第一次阶段性
测试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一组数据 12,17,15, , 20 的平均数为 16，则这组数据的第 60 百分位数为( )
A. 17 B. 16.5 C. 16 D. 15.5
2 i.若复数 = 1+i ∈ R 是纯虚数，则 的共轭复数 =( )
A. 1 B. C. D. 1
3.如图所示，在 中，点 是线段 上靠近 的三等分点，点 是线段 的中点，则 =( )
A. 1 1 B. 1 1 C. 5 1 5 13 6 6 3 6 3 D. 6 + 3

4.已知非零向量 ， 满足| | = 3| |，cos , = 23，若
⊥ ( + )，则实数 =( )
A. 3 B. 13 C. 2 D.
1
2
5.已知在△ 中， = , = 2, = 45°，若三角形有两解，则 的取值范围是( )
A. > 2 B. < 2 C. 2 < < 2 2 D. 2 < < 2 3
6.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 = cos cos ，则△ 的形状为( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
7.嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经 1400 多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖
塔.如图，为测量塔的总高度 ，选取与塔底 在同一水平面内的两个测量基点 与 ，现测得∠ = 30 ，
∠ = 45 ， = 4，在 点测得塔顶 的仰角为 60 ，则塔的总高度为( )
A. 12 4 2 B. 12 4 3 C. 12 + 4 2 D. 12 + 4 3
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8. 中， = 2，∠ = π， 是 外接圆圆心，是 + 4 的最大值为( )
A. 1 B. 2 + 1 C. 3 D. 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某高中有学生 500 人，其中男生 300 人，女生 200 人，为获得该校学生的身高(单位： )信息，按比例
分配的分层随机抽样的方法抽取一个样本量为 50 的样本.经计算得到样本中男生身高的平均数为 170，方差
为 17；女生身高的平均数力 160，方差 30.下列说法中正确的是( )
A. 2样本中男生的人数为 30 B.每个女生入样的概率均为5
C.样本的平均数为 166 D.样本的方差为 22.2
10.设 1， 2是复数，则下列说法正确的是( )
A.若 2 2 21是纯虚数，则 1 < 0 B.若 1 + 2 = 0，则 1 = 2 = 0
C.若 1 = 2，则 1 = 2 D.若 1| = | 2 ，则 1 1 = 2 2
11.对于△ ，其外心为 ，重心为 ，垂心为 ，则下列结论正确的是( )
A. = =
B.
2
= 1 2
C.向量 与
|
+ 共线 |cos | |cos
D.过点 1的直线 分别与 、 交于 、 两点，若 = ， = ，则 +
1
= 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.将容量为 的样本中的数据分成 6 组，绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为
2: 3: 4: 6: 4: 1，且后三组数据的频数之和等于 66，则 = ．
13.在 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，且 sin = 3 cos .若 = 7，则 周长的最大值为 ．
14.在 中， = 2， 为 的中点， = 12 = 7， 为 上一点，且
= + 1 4 ，则
= ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在复平面内，复数 对应的点的坐标为( , 1)( ∈ R)，且 (1 + 3i)为纯虚数( 是 的共轭复数)．
(1)求 的值；
2023
(2) +i复数 1 = 在复平面对应的点在第一象限，求实数 的取值范围．
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16.(本小题 15 分)
在 2025 年八省联考结束后，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了 100 名学生的联考数学成绩
作为样本，并按照分数段[50,70), [70,90), [90,110), [110,130), [130,150]分组，绘制了如图所示的频率分布
直方图．
(1)求出图中 的值并估计本次考试及格率(“及格率”指得分为 90 分及以上的学生所占比例)；
(2)估计该校学生联考数学成绩的第 80 百分位数；
(3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数．
17.(本小题 15 分)
已知 的内角 ， ， 所对边分别为 ， ， ， 的面积为 2 2，3 cos + = 3 ．
(1)求 cos 的值；
(2)若 sin + sin = 4sin ，求 的周长．
18.(本小题 17 分)
如图，在直角梯形 中， // ， ⊥ ， = = 2 = 4， 是 的中点．
(1)求 ；
(2)连接 ，交 于点 ，求 ；
(3)若 1， 2， 3，…， 为 边上的 + 1 等分点，当 = 100 时，求 1 + 2 + 3+ +
的值．
19.(本小题 17 分)
在 中，∠ ,∠ , ∠ 对应的边分别为 , , , sin + tan cos = 2 sin ．
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(1)求 ；
(2)奥古斯丁 路易斯 柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他
的名字来命名，如柯西不等式 柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应
用．
①用向量证明二维柯西不等式： 2 2 2 2 21 2 + 1 2 ≤ 1 + 1 2 + 2 ；
2 2 2 + + 2
②已知三维分式型柯西不等式： , , ∈ R , 1 + 2 + 3 ≥ 1 2 3 1 2 31 2 3 + + ，当且仅当 = = 时等号成立.1 2 3 1 2 3 1 2 3
若 = 3, 是 内一点，过 作 , , 的垂线，垂足分别为 , , = | |，求 | | +
9| | | |
| | + | |的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.120
13.21
14. 192
15.解：(1)复数 = i( ∈ R)，且 (1 + 3i) = ( + i)(1 + 3i) = 3+ (3 + 1)i 为纯虚数( 是 的
3 = 0
共轭复数)，则 3 + 1 ≠ 0 ,
解得 = 3．
(2)i2023 = (i2)1011i = i，
= i = ( i)(3+i) 3 +1 3复数 1 (3 i)(3+i) = 10 + 10 i 在复平面对应的点在第一象限，
3 + 1
> 0
∴ 10 3 ,
10 > 0
解得 > 3．∴实数 的取值范围是(3, + ∞)．
16.解：(1)由频率分布直方图的性质，
可得(0.004 + + 0.013 + 0.014 + 0.016) × 20 = 1，解得 = 0.003．
所以及格率为(0.016 + 0.014 + 0.003) × 20 = 0.66 = 66％．
(2)得分在 110 分以下的学生所占比例为(0.004 + 0.013 + 0.016) × 20 = 0.66，
得分在 130 分以下的学生所占比例为 0.66 + 0.014 × 20 = 0.94，
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所以第 80 百分位数位于[110,130)内，
由 110 + 20 × 0.8 0.660.94 0.66 = 120，估计第 80 百分位数为 120 分．
(3)由图可得，众数估计值为 100 分．
平均数估计值为 0.08 × 60 + 0.26 × 80 + 0.32 × 100 + 0.28 × 120 + 0.06 × 140 = 99.6(分)．
2 2
17. (1) 3 +
2 2
解： 根据余弦定理可得， 2 2 22 + = 3 ，则 + = 3 ，
2 2 2
所以 cos = + 12 = 3；
(2) 0 < < π 2 2因为 ，所以 sin = 1 cos2 = 3 ，
又 的面积为 2 2 1，所以2 sin = 2 2，即 = 6，
因为 sin + sin = 4sin ，结合正弦定理可得 2 + 2 = 4 ，
又 2 + 2 2 = 23 ，所以 4
2 = 4，解得 = 2，
所以 2 + 2 = 8，
所以( + )2 = 2 + 2 + 2 = 20，即 + = 2 5，
所以 的周长为 + + = 2 + 2 5．
18.解：(1)因为 ⊥ ，所以以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴，
建立如图所示平面直角坐标系，则 (0,0), (4,0), (2,4), (3,2)， = (3,2), = ( 1,2)，所以 =
3 + 4 = 1．
(2)设 = , = ， , ∈ ，
= ，所以 = ，
所以(4,0) = (3,2) ( 4,4) = (3 + 4 , 2 4 )，
3 + 4 = 4 =
4
所以 2 4 = 0，解得
5
= 2
,
5
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所以| | = 4 | 5
| = 45 × 13 =
4
5 13．
(3)在 中，因为 为 中点，所以 + = 2 ，
又因为 1, 2, 3, , 100是边 的 101 等分点，
1 + 100 = 2 , 2+ 99 = 2 , , 50 + 51 = 2 ，
所以 1 + 2 + 3+ + 100 = 100 ，
所以 1 + 2+ 3 + + 100 = 100
由(2)得 = 1 3 25 = 5 , 5 ,
= (4,0)，
3 12
所以 = 5 × 4 = 5，
12
所以 1 + 2+ 3 + + 100 = 100 × 5 = 240．
19.解：(1)在 中， sin + tan cos = 2 sin ，
由正弦定理得，sin sin + sin tan cos = 2sin sin ，
因为 ∈ 0, π ，所以 sin ≠ 0，
sin + sin 所以 cos cos = 2sin ，
所以 sin cos + sin cos = 2sin cos ，即 sin( + ) = 2sin cos ，
因为 + = π ，
所以 sin = 2sin cos ，
因为 ∈ 0, π ，所以 sin ≠ 0，
故 cos = 1 π2，又 ∈ 0, π ，所以 = 3；
(2)①设 = 1, 1 , = 2, 2 ，由 = cos , ，得 ≤ ，
从而 1 2 + 1 22 ≤ 1 + 2 2 21 2 + 2，即 1 2 + 2 ≤ 2 2 2 21 2 1 + 1 2 + 2 ；
= | | + 9| | + | | = + 9 +
2 9 2 2
② | | | | | | | | | | | | = | | + | |+ | |．
1 1 1又 = 2 | |, = 2 | |, = 2 | |, + + = ，
∴ | | + | | + | | = 2 ．
2 9×32 2 ( + +9)2 2( + +9)2
由三维分式型柯西不等式有 = | | + | | + | | ≥ 2 = 3
．
1 3 1
当且仅当| | = | | = | |即| | = 3| | = 3| |时等号成立．
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos 得 9 = 2 + 2 ，
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( + )2 9 = 3 = ( + )
2 9
所以 ，即 3 ，
2( + +9)2 2 3( + +9)2
则 ≥ 3 = ( + )2 9 ，
2
令 = + + 9 2 3 2 3，则 ≥ ( 9)2 9 = 72 18
．
2
+1
2 2
因为 =
( + ) 9 ≤ + 3 2 ，得 3 < + ≤ 6，当且仅当 = 时等号成立，
+ > = 3
所以 12 < ≤ 15 1 1 1，则15 ≤ < 12，
= 72 18 + 1 1 ∈ 1 1令 2 ，则 在 15 , 12 上递减，
1 = 1 = = 3 3当 15即 时， 有最大值25，
50 3
此时 有最小值 3 (此时| | = 3| | = 3| |与 = 可以同时取到)
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