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2024-2025 学年河南省驻马店高级中学高一下学期 4 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 4 . 3是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
2.已知正方形 的边长为 1，则 + =
A. 2 B. 3 C. 2 D. 2 2
3.“ = ”是“sin = sin ”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知平行四边形 中，点 为 的中点， = ，

= ( ≠ 0)，若 // ，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 12 D. 2
5 355.魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正 24576 边形，求出圆周率π约等于113，和π相比，其误差小于八
π 16 π2
亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知π的近似值还可以表示成 4sin52°，则
cos43.5°+sin43.5° 34
的值约为( )
A. 32 B. 1 132 C. 32 D. 32
6 π.已知函数 ( ) = 2sin( + ) > 0, | | < 2 的部分图象如图所示，若 , , 是直线 = 与函数 ( )图
象的从左至右相邻的三个交点，且 = 2 ，则实数 =( )
A. ± 3 B. ± 14 2 C. ±
3
2 D. ±1
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7.已知正四棱锥 的底面边长为 2，高为 3，则其内切球半径是( )
A. 1 B. 3 32 C.
3 3
4 D. 3
8.如图，设 ， 是平面内相交成 角的两条数轴， 1， 2分别是与 轴、 轴正方向同向的单位向量，若
向量 = 1+ 2，则把有序数对( , )叫做向量 在坐标系 中的坐标，则该坐标系中 1, 1 和
2, 2 两点间的距离为( )
A. 1 22 + 1 22 2 1 2 1 2 sin
B. 2 21 2 + 1 2 + 2 1 2 1 2 sin
C. 1 2 22 + 1 2 2 1 2 1 2 cos
D. 1 2 22 + 1 2 + 2 1 2 1 2 cos
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 1, 2，则下列命题一定成立的有( )
A.若 1 + 2 = 0，则 2 21 = 2 B.若 1 = 2 ，则 1 = 2
C. 1· 2 = 2 21· 2 D. 1 + 2 = 1 + 2
10.已知复数 = 5 4i，以下说法正确的是( )
A. 的实部是 5 B. | | = 41
C. = 5 + 4i D. 在复平面内对应的点在第一象限
11.已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列说法正确的是( )．
A.若 sin > sin ，则 >
B.若 2 + 2 > 2，则 为锐角三角形
C.若 cos = cos ，则 为等腰三角形
D.若 = 2， = π3，这样的三角形有两解，则 的取值范围为 3, 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 = (1,2), = (1,1)，且 与 + 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是 ．
13.已知幂函数 ( ) = 2 2 2 2 2在(0, + ∞)上为增函数，则实数 的值是 ．
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14.郑州二七塔是为了纪念二七大罢工而修建，是中国建筑独特的仿古联体双塔，小米同学为了测量二七塔
的塔高 ，在塔底所在的水平面内取点 ，测得塔顶的仰角为 ，前进 130 米后到达 点，测得塔顶的仰角
为 2 520，再前进 11米后到达 点，测得塔顶的仰角为 3 ，则塔高 = 米. (参考数据： 15 ≈ 3.87，最
终结果保留整数，即结果精确到 1m)
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = sin cos 3cos2 + 32 ．
(1)求函数 = ( )的解析式，并求其图象的对称轴方程；
(2)求函数 ( )在 0, π 上的单调递增区间．
16.(本小题 15 分)
已知复数 = i( ∈ R) 2，1+i是实数，i 是虚数单位．
(1)求| |的值；
(2)若复数( + )2所表示的点在第一象限，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，∠ = ∠ = 90°， = 1， = 3， = 2，
∠ = 60°，∠ = 30°，且平面 ⊥平面 ，在平面 内过 作 ⊥ ，交 于 ，连 ．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)在线段 2 7上存在一点 ，使直线 与平面 所成的角的正弦值为 7 ，求 的长．
18.(本小题 17 分)
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已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 + 、 ，且2 =
cos +cos
2+ 2 2．
(1)求 ；
(2)设 为 的中点， = 2；求：① 面积的最大值；② 的最大值．
19.(本小题 17 分)
′ = +
在平面直角坐标系 中，利用公式 ①(其中 ， ， ， 为常数)，将点 ( , )变换为点
′ = +
′ ′, ′ 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由 ， ， ，

组成的正方形数表 唯一确定，我们将 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母 ， ，….表示．
(1)在平面直角坐标系 中，将点 (3,4)绕原点 π按逆时针旋转 得到点 ′(到原点距离不变)，求点 ′3 的坐
标；
(2)如图，在平面直角坐标系 中，将点 ( , )绕原点 按逆时针旋转 角得到点 ′ ′, ′ (到原点距离
不变)，求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
(3)向量

= ( , )称为行向量形式，也可以写成 ，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可
′ ′
以表示为： =
′
，则称 是二阶矩阵 与向量 的乘积，设 是一个二阶矩阵， ′
是平面上的任意单位向量， 是平面上与 不垂直的向量，且 与 夹角为 ，满足 = ；当 在 方向上
的投影向量模长为 1 时，求矩阵 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. > 53且 ≠ 0
13.3
14.63
15.(1) ( ) = sin cos 3cos2 + 3 1 3 2 1 3 π2 = 2 sin2 2 2cos 1 = 2 sin2 2 cos2 = sin 2 3 ，
由 2 π π3 = 2 + π( ∈ )，解得 =
5π
12 +
π
2 ( ∈ )；
所以，函数 = ( ) = 5π π图象的对称轴方程为 12 + 2 ( ∈ )；
(2)当 ∈ 0, π 时，有 2 π3 ∈
π , 5π3 3 ，要使 ( )单调递增，
π ≤ 2 π ≤ π 3π ≤ 2 π ≤ 5π则需要 3 3 2，或 2 3 3，
0 ≤ ≤ 5π 11π解得 12，或 12 ≤ ≤ π；
故函数 ( )在 0, π 5π 11π上的单调递增区间为 0, 12 和 12 , π ．
16.(1) = i( ∈ R) 2 = i 2 = ( i 2)(1 i) ( 2)+( +2)i 2 +2因为 ，所以1+i 1+i (1+i)(1 i) = 2 = 2 + 2 i，
2
又因为1+i是实数，
+2
所以 2 = 0，即 = 2，
所以 = 2i，
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所以| | = 2．
(2)由(1)知， = 2i，
所以( + )2 = ( 2i)2 = 2 4 i + 4i2 = ( 2 4) 4 i，
又因为复数( + )2所表示的点在第一象限，
2
所以 4 > 0，解得 < 2，
4 > 0
故 的取值范围为( ∞, 2)．
17.(1)因为 ⊥ ，因为 // ，∠ = ∠ = 90°，
所以四边形 为矩形，
在 中， = 2， = = 1，∠ = 60°，
则 = 2 + 2 2 cos60° = 3，
∴ 2 + 2 = 2，∴ ⊥ ，
且平面 ⊥平面 ， 平面
平面 ∩平面 = ，
∴ ⊥平面 ；
(2)以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
∵ = 3，∠ = 30°，可得 = 3，
则 (0,0,0)， (3,0,0)， 0,0, 3 ， 0, 3, 0 ， 1, 3, 0 ，
设 = (0 ≤ ≤ 1)，则 = + = 3, 3, 0 + 3,0, 3 = 3 3 , 3, 3 ，
又平面 的法向量为 = 0, 3, 0 ，
直线 与平面 所成的角的正弦值为，
= 3 ∴ = 1 = 1 2 2 3解得 4， 4 4 + = 2 ．
2 2 2
18.(1)由余弦定理可得 cos = + 2 ，所以，
2 + 2 2 = 2 cos ，
+ = cos +cos + = cos +cos + cos +cos 由2 2+ 2 2得2 2 cos ，整理可得 = cos ，
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sin +sin = cos +cos 由正弦定理可得 sin cos ，
即 sin cos + sin cos = cos sin + sin cos ，
所以，sin cos cos sin = sin cos cos sin ，
所以，sin( ) = sin( )，
因为 、 、 ∈ 0, π ，所以， 、 、 ∈ π, π ，有如下几种情况：
( ) + ( ) = π，即 = π，矛盾；
( ) + ( ) = π，即 = π，矛盾；
= ，可得 2 = + = π ，解得 = π3．
(2)①由余弦定理、基本不等式可得 2 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 ≥ 2 = ，
即 ≤ 4，当且仅当 = = 2 时，等号成立，
1
所以， = 2 sin =
3
4 ≤
3
4 × 4 = 3，
故 面积的最大值为 3；
②因为 为边 的中点，则 = ，即 = ，
所以，2 = + ，
2 2 2 π
所以，4 = + + 2 = 2 + 2 + 2 cos 23 = +
2 + ，
又因为 2 + 2 = 2 = 4，
所以， 2 + 2 = 4 + ，4 2 = 4 + 2 由①知 ≤ 4，
可得 4 2 ≤ 12，解得 ≤ 3，
当且仅当 = = 2 时，等号成立，故 的最大值为 3．
19.(1)由题，设以坐标系原点 为顶点， 轴正半轴为始边，终边过点 (3,4)的角为 ，则| | = 5, cos =
3
5 , sin =
4
5，
将点 (3,4) π绕原点 按逆时针旋转 ′3得到点 ，
π
则以坐标系原点为顶点， 轴正半轴为始边，终边过点 ′的角为 + 3，
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′ | |cos + π = 5 × 3 × 1 4 × 3 = 3 4 3则点 的横坐标为 3 5 2 5 2 2 ，
纵坐标为| |sin + π 43 = 5 × 5 ×
1
2+
3
5 ×
3
2 =
4+3 3
2 ．
′ 3 4 3 , 4+3 3故点 坐标为： 2 2 ；
(2)由题，设以坐标系原点 为顶点， 轴正半轴为始边，终边过点 ( , )的角为 ，则| | = 2 + 2, cos =
, sin = ，
2+ 2 2+ 2
将点 绕原点 按逆时针旋转 得到点 ′ ′, ′
则以坐标系原点为顶点， 轴正半轴为始边，终边过点 ′的角为 + ，
则 ′ = | |cos( + ) = 2 + 2 cos sin = cos sin ，
2+ 2 2+ 2
′ = | |sin( + ) = 2 + 2 cos + sin = sin + cos ．
2+ 2 2+ 2
′ = cos sin cos sin
故坐标变换公式为 ，对应的二阶矩阵为 ；
′ = sin + cos sin cos
(3)设 = 1, 1 ， 2, 2 ， 1 1, 1 ， 2 2, 2
以坐标系原点 为顶点， 轴正半轴为始边，终边过点( 1, 1)的角为 1．
以坐标标系原点 为顶点， 轴正半轴为始边，终边过点( 2, 2)的角为 2，
1
因 在 方向上的投影向量模长为 1，则 cos = = 1 = cos ．
若角 1终边逆时针旋转 得到 2，则为得到满足题意的 ，
可将点 1 1, 1 绕原点逆时针旋转 得到 ′ ′, ′1 1 1 ，
1
再将 ′1 延长 cos 倍，即可得到 2 2, 2
′1 = 1cos 1sin 由(2)中结论， ,
′1 = 1sin + 1cos
2 =
1 ′ = cos sin cos 1 1 cos 1 cos
则
1 ′ sin cos
．
2 = cos 1 = 1 cos + 1 cos
1 tan
tan 1 , 0 ≤ <
π
2
由题，对应矩阵为 1 tan ；
tan 1 ,
π
2 < ≤ π
若角 1终边顺时针旋转 得到 2，即逆时针旋转 2π 得到 2，
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为得到满足题意的 ，类似于上述过程，
′1 = 1cos 2π sin 2π ′可得 1 1
= 1cos + 1sin ,
′1 = 1sin 2π + 1cos 2π ′1 = 1sin + 1cos
= 1 ′ = cos sin 2 cos 1 1 cos + 1 cos
则 1 , = ′ sin cos 2 cos 1 = 1 cos + 1 cos
1 tan
tan 1 , 0 ≤ <
π
2
对应矩阵为 1 tan π ．
tan 1 , 2 < ≤ π
综上，当 0 ≤ < π 1 tan 1 tan 2，矩阵 可为 tan 1 或 tan 1 ；
π < ≤ π 1 tan 1 tan 当2 ，矩阵 可为 tan 1 或 tan 1
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