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广西钦州市第四中学2024-2025学年度下学期高二数学第三周周测数学试卷
一、单选题（共8小题，共40分。每小题5分，在每小题给出的四个选项里，只有一个符合题目要求）
1．有栋大楼排成一排，某电信公司要选择其中栋楼的楼顶建设基站，基站不能建在相邻栋大楼上，以免信号互相干扰，则这座基站相邻2座之间至少有栋大楼的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．文昌中学举行志愿者爱心活动，某社区设三个服务站，高三年级5名同学到A、B、C三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，其中同学甲不去A号服务点，则不同的安排方法共有（ ）
A．68种 B．98种 C．100种 D．120种
3．深圳实验学校在40周年校庆之际计划建立集团文博馆，下设德、智、体、美、劳、科创这六个板块项目组．现有7位校领导和18位老师需分配到这6个项目组中，要求每个项目组至少有1名校领导和3位老师，请问一共有（ ）种分配方式
A．B．C． D．
4．下列数中，与不相等的是（ ）
A． B． C． D．
5．2025年春节期间，有《封神》《哪吒》《神雕英雄传》《》《唐探1900》五部电影上映，小李和另外3名同学去随机观看这五部电影，则小李看电影《哪吒》且4人中恰有2人看同一部电影的不同排列方式共有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
6．从标号为1号到10号的10个小球中随机取出4个，求这4个球中恰好有两个标号为偶数和两个标号为奇数，且其中标号最大的小球是偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（ ）
A．36 B．64 C．128 D．32
8．总共有13个大小颜色重量外观等都一样的小球，如图所示①、②、③号三个足够大的杯子，其中①号杯子至少放一个小球，②号杯子至少放两个小球，③号杯子至少放三个小球，问总共有（ ）种放小球方法
A．120 B．84 C．45 D．36
二、多选题（共3小题，共18分。每小题6分，在每小题给出的四个选项里，只有一个符合题目要求，部分选对得部分分，有选错得0分）
9．在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点出发，每次随机地向上 下 左 右四个方向移动1个单位长度，移动6次，则（ ）
A．蚂蚁始终未远离原点超过1个单位长度的概率是B．蚂蚁移动到点的概率为
C．蚂蚁回到原点的概率为D．蚂蚁移动到直线上的概率为
10．已知m，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．若，则C． D．
11．用数字0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字的四位数，下列说法正确的是（ ）
A．共可组成360个四位数B．四位偶数有156个
C．能被25整除的四位数有21个D．从小到大排列第89个数为2340
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分。）
12．从1~6的6个数字中任取两个不同的数，这两个数字和为偶数的概率为 .
13．将5名篮球新秀分配给4支篮球队，要求每支篮球队至少分配到1名新秀，那么不同的分配方法有 种（用数字作答）
14．现有5名大学毕业生去A、B、C三家单位去应聘，若每人至多被一家单位录用，每家单位至少录用其中一人．则不同的录取情况种数是 ．
解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．图是计算机科学中的一种极为重要的模型．图的连通性常应用于计算机网络、智能导航及AI算法优化等领域中．一个图由顶点集与边集组成，记为．顶点集是这个图所有顶点的集合，图中任意3个顶点不在同一直线上．图的边是指两个不同的顶点直接相连成的线段，边集就是这个图所有边的集合．如图所示为一个由4个顶点组成的图，其顶点集，边集．若图中依次存在一组边：，则称顶点相互可达．如果图中任意两个顶点相互可达，则称图是连通的，如右所示的图就是连通的．
一个有含有个顶点的图，任意两个顶点间有边的概率为．设图是连通的概率为，定义．
(1)当时，在顶点与顶点相互可达的条件下，求与之间有边的概率；
(2)当时，求恰有3个顶点相互可达的概率；
(3)求．
16．有2件次品，4件正品混放在一起（这6件产品均不相同），现对这6件产品一一进行检测将其区分，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束.
(1)若恰在第1次检测时，找到第一件次品，且第4次检测时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的抽法？
(2)一共抽取了5次，检测结束，有多少种不同的抽法？
(3)若至多检测4次就能找到所有次品，则共有多少种不同的抽法？
(4)若第1次抽到的是次品且第3次抽到的是正品，检测结束时有多少种不同的抽法？
（要求：解答过程要有必要的说明和步骤）
17．用0-5这六个数字可以组成没有重复的
(1)三位数有多少个
(2)四位偶数有多少个
(3)能被5整除的四位数有多少个
18．中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程.
(1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数；
(2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；
(3)计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数.
19．形如的方程叫不定方程，其中是方程中未知数的系数，是常数，则称元有序数组为不定方程的解.给出不定方程，对于方程的一组正整数解，当时，若，则称正整数解为方程的极值的一组解.
(1)方程中有多少组极值的解；
(2)求的最小值；
(3)在的前提下，求时方程的极值的概率.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B C D A D D ACD ABC
题号 11
答案 BC
12．/0.4 13．240 14．390 15．(1)； (2)； (3).
16．(1)24(2)384(3)114(4)120 17．(1)100(2)156(3)108
18．(1)504(2)360(3)1140种 19．(1)(2)(3)
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