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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B D B C A D B BC AB ACD
12． 13． 14．
15．【详解】（1）由得，
所以，又，
所以在点处的切线方程为，即.
当时，；当时，.
因为与坐标轴所围成的三角形的面积为且，
所以，所以.
（2）由（1）得，.
由得或.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在上有极值和.
又，，且，
所以在上的最大值为，最小值为.
16．【详解】（1）由为等腰直角三角形斜边上的中线，
可得：，也即，又为平面内两条相交直线，
所以平面；
（2）由，可得，
所以，所以，
因为平面，以为坐标原点，以为轴和轴，过在平面作的垂线为轴建系，
易知，则
设平面的法向量为，
则 ，即，令，可得：，所以，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为；
17．【详解】（1）由得，
且，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列.
（2）由（1）知数列是首项为2，公比为3的等比数列.
所以，即:.
所以数列的前n项和为：
18．【详解】（1）由椭圆的离心率为，可得：，整理得：，
则椭圆的方程可化为.
代入点得，
则椭圆的方程为.
（2）由椭圆方程为可得：该椭圆的右顶点为.
①设，
当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不满足题意.
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
则为方程的两不等根，有．
因为,
所以，故．
②法一：设，直线为.
由联立方程组，整理得：（*），
由为方程*的两不等实数根，得.
由①知，则，有.
因为，
所以，
整理得：，则有.
则根据点到直线距离公式可得：点到直线的距离为.
法二：不妨设位于轴的上方，则点在第一象限，点在第四象限
设直线，则直线
联立直线和椭圆得方程，解得.
同理可得
则，
，，
则根据三角形等面积可得：
点到直线的距离为：.
19．【详解】（1）由，得，
记，所以，
当时，恒成立，为增函数，不符合题意；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即在上单调递减，在上单调递增，
因为在区间上不是单调函数，所以，解得，
即的取值范围为.
（2）方程，
当时，显然方程不成立，所以，则.
方程有两个不等实根，即与的图象有个交点，
且，其中，
当或时，，在区间和上单调递减，
当时，，在区间上单调递增.
当时，，当时，
则当时，且当时，取得极小值，
作出函数的图象，如图所示：

因此与有个交点时，，即，故的取值范围为.
（3）由题得在上恒成立，即恒成立，
即，
令，
则，
当时，，，则，
所以函数在上单调递增，
当时，令，
则，所以函数在上单调递增，
又，，则，
所以在区间上存在唯一零点，
且当时，，则，
当时，，则，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在上单调递增，
又，所以，所以.嘉积中学2024-2025学年度第二学期高二年级第二次月考
数学科试题
（时间：120分钟 满分：150分）
欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数满足，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知等差数列的前项和为，且，则公差为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．2
4．已知函数在处有极大值，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．或3
5．下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
6．在等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．设为双曲线的左右焦点，为坐标原点，为的一条渐近线上一点，且，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数有2个实数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列求导运算正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．记为正项数列的前项和，已知，则（ ）
A． B．数列单调递增
C．数列单调递增 D．
11．抛物线的焦点为F，顶点为O，过点F作倾斜角为的直线l，交抛物线于A，B两点，点A在x轴上方，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为，，准线与x轴交于点C，则下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．三角形ABC面积的最小值为4 D．的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．过椭圆内一点引一条直线与椭圆相交于两点．若是线段的中点，则直线的斜率为 ．
13．已知函数，若对，则实数的取值范围为 ．
14．令对抛物线y=f（x）持续实施下面“牛顿切线法”的步骤：
在点处作抛物线的切线交x轴于；
在点处作抛物线的切线，交x轴于；
在点处作抛物线的切线，交x轴于；
……
得到一个数列，则的值为 ；数列的前n项和
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知函数的图象在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为.
(1)求；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
16．如图，将等腰直角三角形沿斜边上的中线翻折，得到四面体．
(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．
17．已知数列的首项，且满足.
(1)证明：数列为等比数列；
（2）求数列的前n项和.
18．已知椭圆的离心率为，且过点，其中O为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的右顶点作直线与抛物线相交于A，B两点；
①求证:OA⊥OB；
②设射线OA，OB分别与椭圆相交于点M，N，求O到直线MN的距离.
19．已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数.
(1)若在区间上不单调，求的取值范围；
(2)若方程有两个不等实根，求的取值范围；
(3)当时，，求的取值范围

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