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参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
D B B C D A A C
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，请把答案直接填写在横线上
9． 6 10．75 11． 12．
三、解答题:本大题有6个小题,共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
13．（10分）
【解析】解：（1）
；
（2），
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
检验：把代入得：，
是原方程的解．
14．（10分）
【解析】【详解】（1）解：（名），
∴小明抽取了100名学生的成绩；
（2）解：依题意，，
∴扇形统计图里的；
∴（名），
∴（名），
补全条形统计图如图：
（3）解：依题意，容量100的样本中，有12名同学满分，满分率为，
即（名），
∴估计进入学校运动队的九年级学生有72名；
（4）解：∵满分有人，其中女生有人，
∴九年级队长是女生的概率是．
15．（8分）
【解析】【详解】（1）解：设某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，由题意得，，
解得，
答：某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元；
（2）依题意，甲方案购买共需要（元），
乙方案购买共需要（元），
当，
解得，
∴；
答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，甲方案购买更合算；
16．（11分）
【解析】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
即，
是的直径，
是的切线；
（2）解：，
，，
又，
，
，
，
，
；
（3）解：为直径，，
，
，
，
、，
，
、，
又，
是△ABC的中位线，
设，则，
，
，
解得：，
则、，
，
，
，
则．
17．（12分）
【解析】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
如图2，过点作于点．
∴．
∵四边形是正方形，
∴，．
又，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴
（3）如图3，连接．
∵四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形．
∴．
∴．
∵由（1）知，
∴．
又，
∴．
∴．
∴．
又，
∴．
∴，即，
∴．
18．（13分）
【解析】因为抛物线过点A(0，1)，B( 9，10)，
∴
∴CF=FP=EF=FA=3，AB=，CP=，
∴∠PCF=∠CPF=∠AEF=∠EAF= 解得：
所以抛物线的解析式为。
设直线AB的解析式为，将A(0，1)，B( 9，10)代入得：
，解得：
所以直线AB的解析式为：y=-x+1
因为AC∥x轴，A(0,1)，令y=1，则
解得，
所以点C的坐标为( 6，1)，∴AC=6,
因为P在AC下方的抛物线上，设P（t，）（-6＜t＜0）
因为过点P且与y轴平行的直线与直线AB交于点E
∴E（t，-t+1）
∴EP=（-t+1）-（）=
∵
∴
∵
所以当t=时，最大，且为，此时=
（3）∵的顶点为P，所以P（-3，-2）
∵过点P且与y轴平行的直线与直线AB，AC分别交于点E、F，且AB解析式为
∴E（-3，4），F（-3，1）
而C（-6，1），A（0，1），B（-9，10）
∴以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，∠PCQ与∠BAC为，故对应。
设Q（k，1），则CA=k+6，分两种情况：
①如图1，
则，可得：
解得：K=-4，此时
②如图2，
则，可得
解得：k=3，此时
综上所述，存在直线AC上的点Q，使以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，这种Q有两个，分别是，内蒙古自治区2025年中考数学模拟卷
满分100分
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.检测4个排球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，哪个球更接近标准（　　）
A．﹣2.5 B．+0.8 C．﹣3.2 D．﹣0.7
2.若是正整数，且满足，则与的关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
3.如图是正方体的展开图，相对面上的多项式的和相等，则A等于（ ）
A． B． C． D．
4.如图，已知，点为上一点，，用尺规作图痕迹如下，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5.在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象向右平移2个单位长度后经过点，则a的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
6.某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
7.如图，在 ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，∠C=60°，则 的长为( )
A．π B．2π C． D．
8.已知二次函数y＝﹣(x﹣h)2+1(为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣5，则h的值为( )
A．3﹣或1+ B．3﹣或3+
C．3+或1﹣ D．1﹣或1+
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
9.如图，在△ABC中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为 ．
10.某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小明通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表：（动力动力臂阻力阻力臂）
动力臂 … 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 …
动力 … 300 150 100 a 60 …
请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为时，所需动力是 ．
11.座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面始终保持水平状态，支撑架与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背的长度为，当椅背与椅面的夹角从调节到时，人的头部支撑点向后水平推移了 ．
12.如图，在△ABC中，点D是的中点，连接，过点D作交的延长线于点E．若，，，则线段的长为 ．
三、解答题
13.计算：（本小题满分10分）
（1）计算：
（2）解方程：．
14.（本小题满分10分）
关心孩子健康，提升学生体质！为了解学生的身体素质状况，某校每年都要进行学生身体素质测试．对今年的测试成绩，小明随机抽取了九年级若干名学生的成绩制作了如下统计图（各部分包括下限而不包括上限）：
(1)小明抽取了多少名学生的成绩？
(2)扇形统计图里的_______，补全条形统计图．
(3)学校拟把所有满分学生组成学校运动队，若学校九年级共有600名同学，估计进入学校运动队的九年级学生有多少名？
(4)运动队要在九年级满分队员中随机选取一名作为队长，直接写出九年级队长是女生的概率，
15.（本小题满分8分）
【问题背景】
嘉洪所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的盲盒作为奖品．
素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元．
素材2 若该商店开展甲、乙两种促销方案： 甲方案：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知嘉淇在此之前不是该商店的会员）； 乙方案：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮．
【问题解决】
(1)该商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？
(2)嘉淇计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个，求m在什么范围内时，采用甲方案购买更合算？
16．（本小题满分11分）
如图，⊙是△ABC的外接圆，是直径，，延长到点，使得，半径与交于点，连接与交于点．
(1)求证：是⊙的切线；
(2)若，求的长度；
(3)若是的中点，如图，求．
17.（本小题满分12分）
如图，在正方形中，将边绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点P，连接，，．
(1)如图1，求度数；
(2)如图2，当时，猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，过点D作垂直的延长线于点Q，连接，若，直接写出的长．
18.（本小题满分13分）
如图，已知抛物线y=+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1)，点B（-9，10)，AC//x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点。
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点P且与y轴平行的直线与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由。

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