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第六章 统计--高一数学北师大版(2019)必修一单元检测卷
一、选择题
1．为了了解学校质量监测成绩,现随机抽取该校200名学生的成绩作为样本进行解题思路,并绘制频率分布直方图,若该频率分布直方图的组距为10,且样本中成绩在区间这一组内的学生有40人,则在频率分布直方图中该组数据对应的矩形高度为( )
A.0.2 B.0.02 C.0.4 D.0.04
2．在去年的足球联赛上,甲队每场比赛平均失球数是1.5,全年比赛失球个数的标准差为1.4;乙队每场比赛平均失球数是2.1,全年比赛失球个数的标准差为0.4,则( )
A.平均说来乙队比甲队防守技术更好
B.甲队比乙队防守技术水平更稳定
C.乙队很少失球
D.甲队在防守中有时表现较差,有时表现又较好
3．我国经济的迅速发展使得对能源的需求增加,常规的化石能源供应不足的矛盾日益突出.能源安全成为我国必须解决的战略问题.发展新能源和可再生能源有利于改善我国能源结构,保障能源安全,保护环境,走可持续发展之路.为响应国家号召,甲、乙两公司在某小区设置电动汽车充电桩.某一天,甲公司设置的10组充电桩被使用的平均时间为a,方差为2;乙公司设置的30组充电桩被使用的平均时间为b,方差为.若,则该小区这40组充电桩被使用时间的方差为( )
A. B. C. D.
4．若样本,,…,的平均数和方差分别为3和5,则样本,,…,的平均数和方差分别为( )
A.5和20 B.5和19 C.6和20 D.6和19
5．为了弘扬中华优秀传统文化，某市组建了一支72人的宣传队，其中男队员27人，女队员45人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为24的样本，如果样本按比例分配，那么女队员应抽取的人数为( )
A.18 B.16 C.15 D.9
6．某班有男生32人,女生24人,现在要用分层随机抽样的方法从该班中抽取14人参加跳绳比赛,则女生被抽取的人数为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
7．某次知识竞赛共有12人参赛,比赛分为红、黄两队,每队由六人组成.其中红队6人答对题目的平均数为3,方差为5,黄队6人答对题目的平均数为5,方差为3,则参加比赛的12人答对题目的方差为( )
A.5 B.4.5 C.3.5 D.18
8．某农场共有300头牛,其中甲品种牛30头,乙品种牛90头,丙品种牛180头,现采用分层抽样的方法抽取60头牛进行某项指标检测,则抽取甲,乙,丙三个品种牛的头数分别为( )
A.6,18,36 B.6,20,34 C.10,18,32 D.10,20,30
9．某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是( )
0647，4373，8636，9647，3661，4698，6371，6233，2616，8045，6011，1410
9577，7424，6762，4281，1457，2042，5332，3732，2707，3607，5124，5179
A.36 B.16 C.11 D.14
10．若一组样本数据，，，的平均数为2，方差为4，则数据，，，，，，，，的平均数和方差分别为( )
A.4，14 B.4，6 C.3，14 D.3，6
二、多项选择题
11．某社区通过公益讲座以普及社区居民的普法知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份普法知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则下列说法正确的是()
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
D.讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差
12．有一组样本数据a，b，c，d，其中，由这组数据得到的新样本数据为，，，，则( )
A.两组数据的极差一定相等 B.两组数据的平均数一定相等
C.两组数据的中位数可能相等 D.两组数据的方差不可能相等
13．在气象学上,进入冬季的标准是连续5天的日平均气温都低于.某人记录了甲,乙,丙,丁四地连续5天的日平均气温（日平均气温都是整数）,根据以下数字特征,一定符合进入冬季标准的是( )
A.甲：中位数为7,众数为8 B.乙：平均数为6,极差为4
C.丙：中位数为7,极差为3 D.丁：平均数为7,方差为2
14．某新能源汽车4S店2024年3月到12月连续10个月的销量依次为（单位：辆）：16，24，27，19，25，25，32，37，35，40，则关于这组数据的结论正确的是( )
A.极差为24 B.平均数为28 C.众数为25 D.中位数为25
三、填空题
15．数据9，15，13，11，12的方差是___________.
16．一组数据3，6，8，x的中位数是x，且x是满足不等式组的整数，则这组数据的平均数是________.
17．某校为调查高三年级的体育成绩情况,随机调查了高三一班10名学生,体育成绩平均分是90,方差是3;高三二班15名学生,体育成绩平均分是85,方差是5,则这25名学生体育成绩的方差为________.
18．将某班50人随机分成两个小组,这两组同学在期中考试中的数学成绩如下表:则该班同学在期中考试中的标准差为________分.
组别 人数 平均分 方差
第1组 20 90 9
第2组 30 80 14
四、解答题
19．记总体在每一个分组的频率为，，…，，样本在每一组对应的频率记为，，…，，求证：.
20．（例题）为了了解学生的课业负担，甲，乙两所学校分别抽取了200名在校生，了解他们完成作业所需的时间，并分别作出了频数分布直方图如图（1）（2）所示，其中分组的区间都为，，，，.记甲学校所得数据的中位数为x，乙学校所得数据的中位数为y，判断x与y的相对大小.
21．甲、乙两人某次飞镖游戏中的成绩如下：
甲：8，6，7，7，8，10，9，8，7，8；
乙：9，10，6，7，9，9，10，8，9，10.
其中甲的成绩可用如图（1）所示的打点图（或点状图）表示，每个成绩上面的点的个数表示这个成绩出现的次数.在图（2）中作出乙的成绩的打点图，并由图写出关于甲、乙成绩比较的两个统计结论.
22．已知，，…，的平均数为，求证：.
23．已知学生性别与考试是否及格无关，在抽样调查中，共调查了52人，其中女生有32人，且52人中考试及格的有39人.试估计有多少女生考试是及格的.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意成绩在区间内学生的频率为,因此,
故选:B
2．答案：D
解析：对于A,因为,可知平均说来甲队比乙队的防守技术好,故A不正确;
对于B,因为,可知乙队比甲队技术更稳定,故B不正确;
对于C,因为乙队每场比赛平均失球数是2.1,全年比赛失球个数的标准差为0.4,
所以乙队失球数更多,且乙队防守技术更稳定,即乙队很少不失球,故C不正确;
对于D,由B可知甲队防守中有时防守表现较差,有时表现又非常好,故D正确.
故选:D.
3．答案：B
解析：总样本平均数为,
设该小区这40组充电桩被使用时间的方差为,
则由题意可得.
故选:B.
4．答案：A
解析：因为样本,,…,的平均数和方差分别为3和5,
所以样本,,…,的平均数和方差分别为和.
故选：A.
5．答案：C
解析：因为全体队员中女队员所占比例为，
所以样本中女队员应抽取的人数为.
故选：C
6．答案：B
解析：女生被抽取的人数为.
故选：B.
7．答案：A
解析：由题意,这12个人的平均答对题目的个数为,
则新数据的方差为.
故选：A.
8．答案：A
解析：由题意知,抽样比例为,
则,,,
所以抽取甲,乙,丙三个品种牛的头数分别为6,18,36.
故选：A.
9．答案：C
解析：由左至右依次读取，编号为：36，33，26，16，11
所以选出来的第5个零件编号是11.
故选：C
10．答案：A
解析：由已知得，
，
即
所以，，
所以，
所以新数据的平均数为
方差为
故选B
11．答案：ABD
解析：对于A，讲座前中位数为，所以A正确；
对于B，讲座后问卷答题的正确率，
所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于，所以B正确；
对于C，讲座后问卷答题的正确率的极差为，
讲座前问卷答题的正确率的极差为，所以C错误；
对于D，讲座前问卷答题的正确率更加分散，
所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，
所以D正确.
故选：ABD.
12．答案：BC
解析：对于A，假设原样本数据为5，4，2，1，则新样本数据为3，2，4，3，两组数据的极差不相等，错误；
对于B，因为，所以两组数据的平均数一定相等，正确；
对于C，由A中的数据可知两组数据的中位数可能相等，正确；
对于D，假设原样本数据为4，3，2，1，则新样本数据为2，1，4，3，这两组数据一样，故方差可能相等，错误.
故选：BC
13．答案：ABD
解析：对于A,甲：中位数为7,众数为8,则8出现次数最多,又只有5个数据,7为中位数,
所以8出现次数为2次,另外两个数据只能是小于7的两个不同的数,
故甲地符合进入冬季标准,故A正确;
对于B,乙：平均数为6,极差为4,因为极差是最大值与最小值的差,
假设存在某日的气温大于等于,又平均数为6,故定存在某日的气温低于,此时极差不
为4,故假设不成立,即每日气温都低于,所以乙一定符合进入冬季标准,故B正确;
对于C,丙：中位数为7,极差为3,气温为7,7,7,8,10符合题意,故丙不符合进入冬季标准,故C错误;
对于D,丁：平均数为7,方差为2,故不可能每天都为,日平均气温都是整数,
所以最多三天,若存在某日的气温高于,方差大于2不符合题意,
若存在某日的气温等于,若三天,则五天的气温4,7,7,7,10,计算方差,可知不符合方差为2的条件,
若二天,则五天的气温的方差一定大于2,
若一天,则五天的气温的方差一定大于2,
综上可知,所以丁一定符合进入冬季标准,故D正确.
故选：ABD.
14．答案：ABC
解析：此4S店连续10个月的销量（单位：辆）从小到大排列为16，19，24，25，25，27，32，35，37，40，则极差为，众数为25，
平均数为，
由题意，所以这组数据的中位数为，故ABC正确，D错误.
故选：ABC.
15．答案：4
解析：这5个数的和为60，其均值为12，
故方差为，
故答案为：4.
16．答案：5.75
解析：解不等式组得，因为x是整数，
数据3，6，8，x的中位数是x，所以.
这组数据的平均数是.
故答案为：5.75.
17．答案：10.2
解析：由题意可知:这25名学生体育成绩的平均数为,
所以这25名学生体育成绩的方差为.
故答案为:10.2.
18．答案：6
解析：设50人的平均分为,则,
所以50人的总方差为
,
所以标准差为6.
故答案为6
19．答案：证明见解析
解析：证明：.
20．答案：
解析：由（1）可以看出，；由（2）可以看出，.因此.
21．答案：甲发挥更稳定
解析：乙的成绩的打点图如图所示，
由数据得甲组绝大多数数据集中在9以下，乙组数据绝大多数数据集中在9及以上，
所以：，可知乙的平均成绩比甲高，
由数据可得甲组数据相对集中在8附近，乙组数据集中在9，10两组，且甲组左右分布比乙组均匀一些，所以，可知甲发挥更稳定.
22．答案：证明见解析
解析：
，
.
23．答案：24人
解析：及格的有人.
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