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卓越联盟2024—2025学年高二第二学期第一次月考
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. D
2. A.
3. B
4. C.
5. B.
6. C.
7. D.
8. B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. AC.
10. BC
11. ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 4.
13. .
14.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）因为，所以．
因为，，所以，．
且当，时，，
则，
令可得或，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数在处取得极大值，合乎题意，因此，，．
（2）由（1）知，函数在上的单调递增区间为、，
单调递减区间为.
16. （1）因为，所以．
因为曲线在点处的切线方程为，
所以得
所以，所以（）．
令，得或（舍去）．
当时，；当时，．
所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减，
故的极大值为，无极小值．
（2）因为恰有两个零点，
所以关于的方程在上恰有两个解，
所以关于的方程在上恰有两个解，
即直线与曲线恰有两个交点．
令，则．
当时，；当时，．
所以在（0，e）上单调递增，在上单调递减，所以．
因为当时，，当时，，
所以当时，直线与曲线恰有两个交点．
故的取值范围是．
17. （1）因为，
所以．
当时，，令，则，令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减．
当时，令，得，．
当时，，令，得，
令，得，所以在上单调递减，
在，上单调递增．
当时，，此时恒成立，所以在上单调递增．
当时，，令，得，
令，得，所以在上单调递减，
在，上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在，上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在，上单调递增．
（2）由（1）知当时，在上单调递减，在，上单调递增，此时0为极大值点，
极小值为．
令，．因为，
所以在（0，2）上单调递增，在上单调递减．
因为，所以．
（3）令，则．
因为只有一个极值点，所以关于的方程恰有一个异号根．
显然当时，方程无解，所以曲线与直线恰有一个交点，
结合曲线可知，，解得．
18. （1）因为，所以．
当时，恒成立，所以在上单调递增，不符合题意，
所以．
令，得；令，得．
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为在（0，1）上不单调，所以，得．
（2）因为对恒成立，所以对恒成立．
当时，不等式成立．
当时，得．
令，，则．
令，，则，
所以函数在上单调递减，所以，即．
当时，；当时，．
所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，故的取值范围为．
（3）因为对恒成立，
所以对恒成立．
令，则，．
令，，则，
所以在上单调递增，而．
当时，恒成立，此时在上单调递增，恒成立．
当时，因为，，
所以在内存在，使得．
当时，，所以在上单调递减，，不符合题意．
故的取值范围是．
19. （1）由题意知：与的公共定义域为，
令，即，，
令，若与为“契合函数”，则与有交点.
，
当时，，，即；当时，；
当时，，，即；
在上单调递减，在上单调递增，
，又当时，；当时，；
大致图象如下图所示，
由图象可知：当时，与有交点，
即当与为“契合函数”时，的取值范围为.
（2）①由题意知：与的公共定义域为，
令，则，即；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，又当时，；当时，；
大致图象如下图所示：
令，则，
由得：，
在上单调递增，又与为“契合函数”，与至少有一个交点，
与有两个不同交点，，，
，解得：，即实数的取值范围为.
②由①得：与的两个不同交点为，且，
，即，，，
令，则由知：，，
，整理可得：，，
，
令，则，
令，则，
令，则，
在上单调递增，，，
在上单调递增，，即，
在上单调递增，，即.卓越联盟2024—2025学年高二第二学期第一次月考
数学试题
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列求导正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 函数的单调递增区间是（ ）
A B. C. D.
3. 已知函数的导函数在上的图象如图所示，则（ ）
A. 在上单调递减 B. 在上单调递减
C. 上不单调 D. 在上单调递增
4. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 若函数在上有极值，则的取值可能是（ ）
A. B. C. 0 D. 1
6. 函数图象上的点到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，则的一个单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式解集为（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 过点向曲线作切线，切线方程可能是（ ）
A. B. C. D.
10. 若函数在定义域内给定区间上存在，使得，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的平均值点．若函数在上有两个不同的平均值点，则的取值可能是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若方程有两个不相等的实数根，则
C. 存在，使
D. 若不等式恒成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数在处可导，若，则__________．
13. 将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒．若该方盒的容积最大为432，则__________.
14. 已知函数，的定义域均为，且为奇函数，为偶函数，，为的导函数，则的极小值点为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数在处取得极值．
（1）求、；
（2）求在上的单调区间．
16. 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的极值；
（2）若恰有两个零点，求的取值范围．
17. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若0为的极大值点，且极小值为，求；
（3）若的导函数只有一个极值点，求的取值范围．
18. 已知函数．
（1）若在（0，1）上不单调，求的取值范围；
（2）若对任意，恒成立，求的取值范围；
（3）若对任意，恒成立，求的取值范围．
19. 定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与“契合函数”，为“契合点”．
（1）若函数和为“契合函数”，求的取值范围．
（2）已知函数和为“契合函数”且有两个“契合点”．
①求的取值范围；
②若，证明：．

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