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中考数学冲刺满分计划压轴集训测试四
一、选择题
1．（2024·沈阳模拟）如图，在正方形中，点E为边的中点，将正方形折叠，使点D与点E重合，为折痕，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；求正弦值
2．（2021·铁岭模拟）如图，在矩形 中，点 ， 分别在边 和 上，把该矩形沿 折叠，使点 恰好落在边 的点 处，已知矩形 的面积为 ， ，则折痕 的长为（　　）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： 由折叠的性质可知，BE＝EH，AF＝FG，GH＝AB，∠BEF＝∠HEF，
∵∠BEF＋∠HEF＝180°-∠HEC＝120°，
∴∠HEF＝60°
∵FH∥CE，∠HEC＝60°，
∴∠FHE＝∠HEC＝60°，
∴△HEF为等边三角形，
∴EF＝HE=FH，
∵∠FHE＝60°，∠B=∠GHE=∠FHE＋∠GHF＝90°，
∴∠GHF＝30°，
在Rt△FGH中，∠GHF＝30°，
∴FH＝2FG＝2AF，
∴设FG=x，则FH＝2x，HD=x，
则有 ，
∴AD=AF+FH+HD=4x，
又∵矩形ABCD的面积为 ，
∴ ，
∴x=2或x=-2（舍），
∴EF=FH=4，
故选：D．
【分析】利用折叠的性质可证得BE＝EH，AF＝FG，GH＝AB，∠BEF＝∠HEF，再证明△HFE是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到EF＝HE=FH，由此可求出∠GHF=30°，设FG=x，则FH＝2x，HD=x，利用勾股定理表示出GH的长；从而可表示出AD的长；然后利用矩形的面积公式建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到EF的长.
二、填空题
3．（2024·沈阳模拟）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=15，点E是AD边上一点，连接BE，把△ABE沿BE折叠，使点A落在点A'处，点F是CD边上一点，连接EF，把△DEF沿EF折叠，使点D落在直线EA'上的点D'处，当点D'落在BC边上时，AE的长为　 　．
【答案】 或．
【知识点】矩形的性质
4．（2024·锦州模拟）如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点M，N分别在边，上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，的延长线交边于点G，交边于点H．，，当点H为三等分点时，的长为　 　．
【答案】4或
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
5．（2024·辽宁模拟）如图所示，将矩形纸片折叠，折痕为，点M，N分别在边，上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形的内部，的延长线交边于点G，交边于点H．，，当点H为的三等分点时，的长为　 　．
【答案】2或4
【知识点】勾股定理；矩形的性质
三、解答题
6．（2024九下·丹东开学考）综合与实践
问题情境
数学综合实践课上老师和同学们一起进行折纸，通过折叠探究其中的数学奥妙．
操作发现
（1）实践小组按照如图1所示的方式，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，交于点，则的形状是______，若，，则______；
继续探究
（2）勤学小组按照如图2所示的方式，将矩形纸片分别沿折叠，点，的对应点为点，使落在对角线上，且两点恰好重合．
①请判断四边形的形状，并说明理由；
②若，求的长．
深入探究
（3）博学小组按照如图3所示的方式，首先将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，然后把纸片展开；将纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处，折痕交于点，交于点，延长交的延长线于点，然后展开纸片，若，，则______．
【答案】（1）等腰三角形，；（2）①四边形为菱形；②；（3）．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质
7．（2024八下·大连期中）（1）如图1，已知正方形纸片，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B 落在正方形的内部，点B的对应点为点M，折痕为，延长交于点F，连接，求的度数；
（2）如图2，将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕上，则
① ；
②若 线段 ；
（3）如图3，在矩形中，，点E、F 分别在边上，将矩形沿 折叠，点B落在M处，点D 落在G处，点A、M、G恰好在同一直线上，若 ，求的长．
【答案】（4）45度；（2）①60度；②；（3）
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质
8．（2023九上·立山月考）【问题初探】
在数学活动课上，如图①有一块等腰三角形纸片，，为边上一点，连接，小明将沿折叠，得到，再将边翻折，使与重合，得到折痕．
(1)直接写出和的数量关系；
【类比分析】
(2)折叠(翻折)是一种全等变换，折叠前后的两个图形，关于折痕成轴对称，两个图形全等；利用折叠这种操作方法，能很好的解决某些图形中的边、角关系，请你解答．
如图②，是的高，，，，求的面积；
【学以致用】
(3)如图③，等腰三角形中，，，是边上一点，连接，将沿翻折得到，再将翻折，使与重合，折痕为，延长到点，使，连接，若，，求的长．
【答案】(1)；(2)；(3)
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
9．（2024九上·千山期中）已知，在中，，，．P是边上一动点（P不与B、C重合），将沿折叠得，点C的对应点为D．
【特例感知】
（1）如图1，当点D落在上时，求的长；
【类比迁移】
（2）如图2，当点D在上方且满足时，求的长；
【拓展提升】
（3）如图3，将线段绕点A逆时针旋转得，连接．当为等腰三角形时，直接写出长；
【答案】（1）（2）（3）或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的判定；旋转的性质
10．（1）如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，过点O的直线l与边AB、CD分别交于点E、F，绕点O旋转直线l，猜想直线l旋转到什么位置时，四边形AECF是菱形．证明你的猜想．
（2）若将（1）中四边形ABCD改成矩形ABCD，使AB=4cm，BC=3cm，
①如图2，绕点O旋转直线l与边AB、CD分别交于点E、F，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D的对应点为D′，连接DD′，求△DFD′的面积．
②如图3，绕点O继续旋转直线l，直线l与边BC或BC的延长线交于点E，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，点B的对应点为B′，当△CEB′为直角三角形时，求BE的长度．请直接写出结果，不必写解答过程．
【答案】解：（1）猜想：当l⊥AC时，四边形AECF是菱形，如图1，连接AF、CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB∥CD，∴∠FCO=∠EAO，又∵∠FOC=∠EOA，∴△COF≌△AOE，∴OE=OF，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形；（2）①∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，CD=AB=4，AD=BC=3，设DF=xcm，则CF=（4﹣x）cm，由折叠性质可知：D′F=DF=x，CD′=AD=3，∠CD′F=∠ADC=90°，由勾股定理得（4﹣x）2=32+x2，解得x=，∴D′F=DF=，∴CF=4﹣=，如图2，过D′作D′H⊥CF于H，由面积相等可得，CF D′H=D′F CD′，∴D′H=，∴S△DFD′=××=（cm2）②如图①，设BE=xcm，CE=（3﹣x）cm，AC=5cm，B′C=5﹣4=1cm，根据勾股定理可得B′C2+B′E2=CE2，解得x=cm，如图②，设BE=xcm，则CE=（3﹣x）cm，AB′=4cm，B′E=xcm，在Rt△ADB′中，由勾股定理可得BD′===cm，B′C=（4﹣）cm，在Rt△CB′E中，B′C2+B′E2=CE2，即16﹣8+7+x2=9﹣6x+x2，解得x=cm，如图③，当四边形ABEB′是正方形时，点B和点B′关于直线AE对称，△B′EC是直角三角形，此时CE=1cm，BE=4cm；如图④BE=xcm，AB′=4cm，AD=3cm，CE=（x﹣3）cm，在Rt△ADB′中，B′D===cm，B′C=+4，在Rt△B′CE中，7+8+16+x2﹣6x+9=x2，解得x=cm，综上，BE的长为cm或cm或4cm或cm．
【知识点】全等三角形的应用；勾股定理的应用；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接AF、CE，根据三角形全等证明出OE=OF，结合AC⊥EF即可证明四边形AECF是菱形；
（2）①过D′作D′H⊥CF于H，设DF=xcm，则CF=（4﹣x）cm，根据折叠的性质得到D′F=DF=x，CD′=AD=3，∠CD′F=∠ADC=90°，由勾股定理求出x的值，根据等面积知识求出D′H的长，进而求出△DFD′的面积；
②分类讨论E点的位置，画出图形后，利用勾股定理和折叠的性质即可求出答案．
1 / 1中考数学冲刺满分计划压轴集训测试四
一、选择题
1．（2024·沈阳模拟）如图，在正方形中，点E为边的中点，将正方形折叠，使点D与点E重合，为折痕，则的值是（　　）
A． B． C． D．
2．（2021·铁岭模拟）如图，在矩形 中，点 ， 分别在边 和 上，把该矩形沿 折叠，使点 恰好落在边 的点 处，已知矩形 的面积为 ， ，则折痕 的长为（　　）
A． B．2 C． D．4
二、填空题
3．（2024·沈阳模拟）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=15，点E是AD边上一点，连接BE，把△ABE沿BE折叠，使点A落在点A'处，点F是CD边上一点，连接EF，把△DEF沿EF折叠，使点D落在直线EA'上的点D'处，当点D'落在BC边上时，AE的长为　 　．
4．（2024·锦州模拟）如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点M，N分别在边，上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，的延长线交边于点G，交边于点H．，，当点H为三等分点时，的长为　 　．
5．（2024·辽宁模拟）如图所示，将矩形纸片折叠，折痕为，点M，N分别在边，上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形的内部，的延长线交边于点G，交边于点H．，，当点H为的三等分点时，的长为　 　．
三、解答题
6．（2024九下·丹东开学考）综合与实践
问题情境
数学综合实践课上老师和同学们一起进行折纸，通过折叠探究其中的数学奥妙．
操作发现
（1）实践小组按照如图1所示的方式，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，交于点，则的形状是______，若，，则______；
继续探究
（2）勤学小组按照如图2所示的方式，将矩形纸片分别沿折叠，点，的对应点为点，使落在对角线上，且两点恰好重合．
①请判断四边形的形状，并说明理由；
②若，求的长．
深入探究
（3）博学小组按照如图3所示的方式，首先将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，然后把纸片展开；将纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处，折痕交于点，交于点，延长交的延长线于点，然后展开纸片，若，，则______．
7．（2024八下·大连期中）（1）如图1，已知正方形纸片，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B 落在正方形的内部，点B的对应点为点M，折痕为，延长交于点F，连接，求的度数；
（2）如图2，将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕上，则
① ；
②若 线段 ；
（3）如图3，在矩形中，，点E、F 分别在边上，将矩形沿 折叠，点B落在M处，点D 落在G处，点A、M、G恰好在同一直线上，若 ，求的长．
8．（2023九上·立山月考）【问题初探】
在数学活动课上，如图①有一块等腰三角形纸片，，为边上一点，连接，小明将沿折叠，得到，再将边翻折，使与重合，得到折痕．
(1)直接写出和的数量关系；
【类比分析】
(2)折叠(翻折)是一种全等变换，折叠前后的两个图形，关于折痕成轴对称，两个图形全等；利用折叠这种操作方法，能很好的解决某些图形中的边、角关系，请你解答．
如图②，是的高，，，，求的面积；
【学以致用】
(3)如图③，等腰三角形中，，，是边上一点，连接，将沿翻折得到，再将翻折，使与重合，折痕为，延长到点，使，连接，若，，求的长．
9．（2024九上·千山期中）已知，在中，，，．P是边上一动点（P不与B、C重合），将沿折叠得，点C的对应点为D．
【特例感知】
（1）如图1，当点D落在上时，求的长；
【类比迁移】
（2）如图2，当点D在上方且满足时，求的长；
【拓展提升】
（3）如图3，将线段绕点A逆时针旋转得，连接．当为等腰三角形时，直接写出长；
10．（1）如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，过点O的直线l与边AB、CD分别交于点E、F，绕点O旋转直线l，猜想直线l旋转到什么位置时，四边形AECF是菱形．证明你的猜想．
（2）若将（1）中四边形ABCD改成矩形ABCD，使AB=4cm，BC=3cm，
①如图2，绕点O旋转直线l与边AB、CD分别交于点E、F，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D的对应点为D′，连接DD′，求△DFD′的面积．
②如图3，绕点O继续旋转直线l，直线l与边BC或BC的延长线交于点E，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，点B的对应点为B′，当△CEB′为直角三角形时，求BE的长度．请直接写出结果，不必写解答过程．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；求正弦值
2．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： 由折叠的性质可知，BE＝EH，AF＝FG，GH＝AB，∠BEF＝∠HEF，
∵∠BEF＋∠HEF＝180°-∠HEC＝120°，
∴∠HEF＝60°
∵FH∥CE，∠HEC＝60°，
∴∠FHE＝∠HEC＝60°，
∴△HEF为等边三角形，
∴EF＝HE=FH，
∵∠FHE＝60°，∠B=∠GHE=∠FHE＋∠GHF＝90°，
∴∠GHF＝30°，
在Rt△FGH中，∠GHF＝30°，
∴FH＝2FG＝2AF，
∴设FG=x，则FH＝2x，HD=x，
则有 ，
∴AD=AF+FH+HD=4x，
又∵矩形ABCD的面积为 ，
∴ ，
∴x=2或x=-2（舍），
∴EF=FH=4，
故选：D．
【分析】利用折叠的性质可证得BE＝EH，AF＝FG，GH＝AB，∠BEF＝∠HEF，再证明△HFE是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到EF＝HE=FH，由此可求出∠GHF=30°，设FG=x，则FH＝2x，HD=x，利用勾股定理表示出GH的长；从而可表示出AD的长；然后利用矩形的面积公式建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到EF的长.
3．【答案】 或．
【知识点】矩形的性质
4．【答案】4或
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
5．【答案】2或4
【知识点】勾股定理；矩形的性质
6．【答案】（1）等腰三角形，；（2）①四边形为菱形；②；（3）．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质
7．【答案】（4）45度；（2）①60度；②；（3）
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质
8．【答案】(1)；(2)；(3)
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
9．【答案】（1）（2）（3）或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的判定；旋转的性质
10．【答案】解：（1）猜想：当l⊥AC时，四边形AECF是菱形，如图1，连接AF、CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB∥CD，∴∠FCO=∠EAO，又∵∠FOC=∠EOA，∴△COF≌△AOE，∴OE=OF，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形；（2）①∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，CD=AB=4，AD=BC=3，设DF=xcm，则CF=（4﹣x）cm，由折叠性质可知：D′F=DF=x，CD′=AD=3，∠CD′F=∠ADC=90°，由勾股定理得（4﹣x）2=32+x2，解得x=，∴D′F=DF=，∴CF=4﹣=，如图2，过D′作D′H⊥CF于H，由面积相等可得，CF D′H=D′F CD′，∴D′H=，∴S△DFD′=××=（cm2）②如图①，设BE=xcm，CE=（3﹣x）cm，AC=5cm，B′C=5﹣4=1cm，根据勾股定理可得B′C2+B′E2=CE2，解得x=cm，如图②，设BE=xcm，则CE=（3﹣x）cm，AB′=4cm，B′E=xcm，在Rt△ADB′中，由勾股定理可得BD′===cm，B′C=（4﹣）cm，在Rt△CB′E中，B′C2+B′E2=CE2，即16﹣8+7+x2=9﹣6x+x2，解得x=cm，如图③，当四边形ABEB′是正方形时，点B和点B′关于直线AE对称，△B′EC是直角三角形，此时CE=1cm，BE=4cm；如图④BE=xcm，AB′=4cm，AD=3cm，CE=（x﹣3）cm，在Rt△ADB′中，B′D===cm，B′C=+4，在Rt△B′CE中，7+8+16+x2﹣6x+9=x2，解得x=cm，综上，BE的长为cm或cm或4cm或cm．
【知识点】全等三角形的应用；勾股定理的应用；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接AF、CE，根据三角形全等证明出OE=OF，结合AC⊥EF即可证明四边形AECF是菱形；
（2）①过D′作D′H⊥CF于H，设DF=xcm，则CF=（4﹣x）cm，根据折叠的性质得到D′F=DF=x，CD′=AD=3，∠CD′F=∠ADC=90°，由勾股定理求出x的值，根据等面积知识求出D′H的长，进而求出△DFD′的面积；
②分类讨论E点的位置，画出图形后，利用勾股定理和折叠的性质即可求出答案．
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