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2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（五）
数学 试题卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2.已知数列满足，，设，则数列的前项和的最小值为（ ）
A. B. C. D.
3.已知，，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
4.若双曲线的一条渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.已知正三棱柱的所有棱长都相等，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
7.《九章算术》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委菽依组内角，下周三丈，高七尺，问积及为菽几何？”其意思为：“靠墙壁堆放大豆成半圆锥形，大豆堆底面的弧长为3丈，高为7尺，问大豆堆体积和堆放的大豆有多少斛？”已知1斛大豆立方尺，1丈尺，圆周率约为3，估算出堆放的大豆有（ ）
A．140斛 B．142斛 C．144斛 D．146斛
8.已知定义域为的函数满足，给出以下结论：①；②；③；④是奇函数.所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④
二、选择题：
本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．在 的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式的二项式系数和是128 B．只有第4项的二项式系数最大
C．的系数是 D．展开式中的有理项共有3项
10.已知函数的图象在点处的切线方程为，则（ ）
A.
B.
C. 函数在处取得极大值
D. 函数在处取得极小值
11.已知圆与圆相交于，两点，则（ ）
A. 直线的方程为
B. 线段的垂直平分线方程为
C. 公共弦的长为
D. 两圆公共部分的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.化简： .
13.已知，满足，则的最大值为 。
14.甲、乙各有 4 张卡片（甲：1,3,5,7；乙：2,4,6,8），四轮比赛中每轮各抽一张比较大小，甲总得分不小于 2 的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．在中，角，，的对边分别为，，，且。
(1) 求角的大小；
(2) 若，，的平分线交边于点，求的长。
16．已知数列的前项和为，且。
(1) 求数列的通项公式；
(2) 设，求数列的前项和。
17．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，设，若恒成立，求实数的取值范围．
18．已知椭圆的离心率为，且过点。
(1) 求椭圆的方程；
(2) 设是椭圆上的动点，，是椭圆上的两个动点，且满足，证明：直线的斜率为定值。
19．在空间直角坐标系中，对于向量和，定义一种新运算。
（1)已知，，求。
(2)设，，若，求的值。
(3)对于任意向量，，，证明：不恒成立。
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D A A A C D AC AD
题号 11
答案 AB
12．
13.10
14.
15.(1) 将展开，，即，。
由正弦定理（为外接圆半径），得，，，代入上式得：
，即。
因为，所以，则。
所以，移项可得。
因为，所以，等式两边同时除以得，即，，，，。
又，所以，则，。
(2) 因为，即，又，所以，，，。
由余弦定理，把，代入得，则，。
设和的面积分别为，，因为为角的平分线，所以。
又，，且，。
所以，即。
，即，，解得。
16．(1) 当时，，即，解得。
当时，，又，两式相减得，即。
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，通项公式为。
(2) 由 (1) 知，则。
所以。
17．（1)当时，，则函数在点处的切线的斜率为.又，故函数在点处的切线方程为即.
（2）由可得，即.
因为，所以.
令，则.
令则（8分）
因为，所以，
所以在上单调递增，则，
所以，
即实数的取值范围.
18． (1) 由离心率，可得，又，所以，即。
椭圆过点，则，将代入得，解得，则。
所以椭圆的方程为。
(2) 设，，。
因为，所以，即，。
又，在椭圆上，所以，。
两式相减得：，将，代入得：，整理得，所以直线的斜率为定值。
19．已知，。
根据运算。
则。
因为，，。
由定义可得，即。
由得，由得。
将，代入得，，，。
则，。
所以，，。
设，，。
先计算：。
则。
再计算：。
则。
令，，。。。。。
此时，所以不恒成立。

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