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2025届高三“一起考”大联考（模拟二）
数学
（时量：120分钟 满分：150分）
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 以为渐近线的双曲线可以是（ ）
A. B.
C. D.
3 已知平面向量，则（ ）
A. 1 B. C. D.
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 甲 乙 丙 丁 戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去向老师询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，5人的名次排列的情形有（ ）
A. 36种 B. 48种 C. 54种 D. 64种
6. 已知，函数，在上没有零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知某正三棱柱外接球的表面积为，则该正三棱柱体积的最大值为（ ）
A. 1 B. C. D. 4
8. 记数列的前项和为，若，且，则的最小值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，都是复数，下列正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10. 下列四棱锥的所有棱长都相等，，，，，是四棱锥的顶点或所在棱的中点，则直线不与平面垂直的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数，则（ ）
A.
B. 对任意实数
C.
D. 若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，则
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知实数满足，且，则__________.
13. 已知函数，且的最小值为，则__________.
14. 已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆与抛物线的准线相切于点.若为坐标原点，则的面积为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 中国是茶的故乡，茶文化源远流长，博大精深.某兴趣小组，为了了解当地居民对喝茶的态度，随机调查了100人，并将结果整理如下：
单位：人
年龄段 态度 合计
不喜欢喝茶 喜欢喝茶
35岁以上（含35岁） 30 30 60
35岁以下 25 15 40
合计 55 45 100
（1）依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该地居民喜欢喝茶与年龄有关？
（2）以样本估计总体，用频率代替概率.该兴趣小组在当地喜欢喝茶的人群中，随机选出2人参加茶文化艺术节.抽取的2人中，35岁以下的人数记为，求的分布列与期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
0.10 0.05 0010 0.005 0001
2.706 3.841 6.635 7879 10.828
16. 在中，内角所对的边分别为，且.
（1）判断的形状；
（2）设，且是边的中点，求当最大时，的面积.
17. 在三棱锥中，平面平面平面.
（1）求证：；
（2）若二面角的余弦值为，且，求.
18 已知函数.
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）若恒成立，求的值；
（3）求证：.
19. 已知点，动点满足，动点的轨迹记为.
（1）求的方程；
（2）直线与轴交于点为上的动点，过作的两条切线，分别交轴于点.
①证明：直线的斜率成等差数列；
②经过三点，是否存在点，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由.
2025届高三“一起考”大联考（模拟二）
数学
（时量：120分钟 满分：150分）
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】D
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】AD
【10题答案】
【答案】BCD
【11题答案】
【答案】ACD
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】1
【14题答案】
【答案】
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）不能 （2）分布列见解析，
【16题答案】
【答案】（1）等腰三角形
（2）
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【18题答案】
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；极小值0，无极大值
（2）
（3）证明见解析
【19题答案】
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②存在，

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