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2025年高三第一次模拟考试
数学试卷
班级________ 姓名________
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校，班级，姓名及考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数的虚部为（ ）
A B. C. D.
2. 集合的真子集个数为（ ）
A. 15 B. 16 C. 31 D. 32
3. 若变量y与x之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为，样本点中心为，则样本点的残差为（ ）
A. B. 1.5 C. 0.5 D.
4. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ）
A. 72 B. C. 144 D.
5. 已知，椭圆与双曲线的离心率分别为，，若，则双曲线E的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，则（ ）
A B. C. D.
7. 在正四棱台中，，，，则该正四棱台外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数在上单调，且，若将函数的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，则m的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某学校组织“综合体能测试”，现从所有参加体能测试的学生中，随机抽取100名学生的“综合体能测试”成绩，并统计如下，则（ ）
成绩
频数 6 12 18 30 24 10
A. 这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生超八成
B. 这100名学生的“综合体能测试”成绩的中位数大于85
C. 这100名学生的“综合体能测试”成绩的众数为85
D. 这100名学生的“综合体能测试”成绩的平均数在90至95之间
10. 在中，若内角A，B，C满足，则（ ）
A. B. C. D.
11. 在平面直角坐标系中，若，，则称“”为M，N两点的“曼哈顿距离”，若动点E到两定点，的“曼哈顿距离”之和为定值，则称点E的轨迹为“曼哈顿椭圆”，若点P为该“曼哈顿椭圆”上一点，则（ ）
A. 周长为 B. 面积的最大值为
C. 该“曼哈顿椭圆”的面积为 D. 该“曼哈顿椭圆”的周长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，若，则________.
13. 将分别标有数字1，2，3，4，5的5个大小相同的小球放入一个不透明的袋子中，甲，乙两人分别从袋中摸出一球，互相不知道对方摸出球的数字.甲先对乙说：“我不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”乙再对甲说：“我也不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”若甲，乙两人所说均为真话，请你推断乙所摸球上的数字为________.
14. 已知函数满足：，，，若，则________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 若数列的前n项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，证明：.
16. 已知函数.
（1）若，证明：；
（2）若存在过点的直线与曲线相切，求实数a的取值范围.
17. 某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表：
单位：人
满意程度 性别 合计
男生 女生
满意 120
不满意 150
合计 200
（1）请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系；
（2）若竞赛成绩在前20的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为，，，3道试题答对与否互不影响.
（i）用X表示能进入总决赛的人数，求X的数学期望；
（ii）记有n人进入总决赛的概率为，求取最大值时的值.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0001
2706 3.841 6.635 10.828
18. 如图，在三棱锥中，，D为上一点，，.
（1）证明：平面平面ABC；
（2）若，，求：
（i）三棱锥的体积；
（ii）平面与平面夹角的余弦值.
19. 经过圆上一点作C的切线l，l与抛物线也相切，P为上一点.
（1）求r和p的值；
（2）若点，不经过P的直线与交于不同两点A，B（位于x轴两侧），与相交于点D，若直线PA，PB，PD的斜率分别为，，，且为，的等差中项，证明：直线过定点；
（3）若O为坐标原点，F为的焦点，求内切圆面积的最大值.
2025年高三第一次模拟考试
数学试卷
班级________ 姓名________
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校，班级，姓名及考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】AB
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】3
【14题答案】
【答案】2024
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【17题答案】
【答案】（1）列联表见解析，推断犯错误的概率不大于0.001
（2）（i）；（ii）12
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）1；（ii）
【19题答案】
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）

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