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高三数学 强化卷
本试卷满分 150 分 ,考试时间 120 分钟.
一、选择题:本题共 8 小题 ,每小题 5 分 ,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知 z = ( i 为虚数单位) ,则 | z | = ( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 4
2. 已知集合 A = {x | -x2 +x+2>0} ,B = {x ∈N | | x- 1 | ≤1} ,则 A ∩B = ( )
A. {1} B. {0 ,1}
C. {0 ,1 ,2} D. {- 1 ,0 ,1 ,2}
3. 若 3sin( π-α ) -4cos α = 0 ,则 1-cos 2α 等于 ( )
7 18
A. B.
25 25
C. 27 D. 32
25 25
4. 已知等比数列{ an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn+ 1 ,Sn ,Sn+2 成等差数列 ,则 = ( )
A. 1 B. 2
C. 4 D. 9
5. 已知双曲线 E 的中心为原点,焦点在 x 轴上,两条渐近线的夹角为 60° ,且点(1,1)在 E 上,则 E 的离心率为 ( )
2 3
A. 3 B.
3
2 3
C. 2 D. 或 2
3
6. 在数字通信中 ,信号是由数字 0 和 1 组成的序列. 由于随机因素的干扰 ,发送的信号 0 或 1 有可能被错误地接 收为 1 或 0. 已知发送信号 0 时 ,接收为 0 和 1 的概率分别为 0. 9 和 0. 1;发送信号 1 时 ,接收为 1 和 0 的概率 分别为 0. 95 和 0. 05. 假设发送信号 0 和 1 是等可能的 ,已知接收到的信号为 0 ,则发送的信号是 1 的概率为 ( )
A. 1 B. 1
20 19
C. D.
3
(
2
,
)7. 已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为 则此圆台的表面积与其内切球( 与圆台的上下底面及每条母
线都相切的球) 的表面积之比为 ( )
4 3
A. B.
3 2
C. D.
数学 第 1 页( 共 4 页)
8. 已知函数的图象与直线 y = k-x 有 3 个不同的交点 ,则实数 k 的取值范围是 ( )
B. (0 ,+ ∞ )
D. (0 ,2]
二、选择题:本题共 3 小题 ,每小题 6 分 ,共 18 分. 在每小题给出的选项中 ,有多项符合题目要求. 全部选对的得
6 分 ,部分选对的得部分分 ,有选错的得 0 分.
9. 已知函数 = sin则 ( )
A.f(x) 的最小正周期为 π
B.f(x) 的图象关于直线对称 在 上单调递减
D.f(x) 在(0 ,π ) 上有 2 个零点
10. 药物临床试验是验证新药有效性和安全性必不可少的步骤. 在某新药的临床试验中 ,志愿者摄入一定量药 物后 ,在较短时间内 ,血液中药物浓度将达到峰值 , 当血液中药物浓度下降至峰值浓度的 20% 时 ,需要立刻 补充药物. 已知血液中该药物的峰值浓度为 120 mg/L ,为探究该药物在人体中的代谢情况 ,研究人员统计了 血液中药物浓度 y(mg/L) 与代谢时间 x( h) 的相关数据 ,如下表所示 :
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x = 4
y 120 110 103 93 82 68 59 47 38 y = 80
根据表中数据可得到经验回归方程= - 10. 5x+ ,则 ( )
A. = 122
B. 变量 y 与 x 的相关系数 r>0
C. 当 x = 5 时 ,残差为- 1. 5
D. 代谢约 10 小时后才需要补充药物
11. 已知定义在 R 上的偶函数f(x) 满足f(0) = 2 ,f(3-x) +f(x) = 1 ,设f(x) 在 R 上的导函数为 g(x) ,则 ( )
= 0 B. g
C. g(x+6) = g(x) = 1 011
三、填空题:本题共 3 小题 ,每小题 5 分 ,共 15 分.
12. 设(2x- 1) 5 = a0 +a1 x+a2 x2 +a3 x3 +a4 x4 +a5 x5 ,则 a1 +a3 +a5 = .
13. 若直线 y = 2x 为曲线 y = eax+b 的一条切线 ,则 ab 的最大值为 .
14. 三角形是常见的几何图形 ,除了我们已经学习的性质外 ,三角形还有很多性质 ,如 :
性质 1 : △ABC 的面积 AB ·ACsin A = tan A ;
→ → → → → → → → → → → →
性质 2 :对于△ABC 内任意一点 P ,有 AB ·AP+BC ·BP+CA · CP =AB ·AC+BC ·BA+CA · CB ;
数学 第 2 页( 共 4 页)
性质 3 : △ABC 内存在唯一一点 P ,使得∠PAB = ∠PBC = ∠PCA = α ,这个点 P 称为△ABC 的“勃罗卡点”,角 α 称为△ABC 的“勃罗卡角”.
若△ABC 的三边长分别为 1 ,1 , 3 ,根据以上性质 ,可以计算出△ABC 的“勃罗卡角”的正切值为 .
四、解答题:本题共 5 小题 ,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. ( 13 分) 某学校举行运动会 ,为了解学生参加跳绳比赛与学生的性别是否有关 ,对学生进行简单随机抽样 , 得到如下数据 :
女 男
未参加跳绳比赛 75 90
参加跳绳比赛 25 10
(1) 能否有 99% 的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关
(2) 为了进一步了解女生平时运动的情况 ,利用比例分配的分层随机抽样方法从这 100 人中抽取 12 人进行 研究. 老师甲从这 12 人中随机选取 3 人 ,求至少有 1 人参加跳绳比赛的概率.
附 :χ2 = ,其中 n= a+b+c+d.
P(χ2 ≥k) 0. 100 0. 050 0. 010 0. 005 0. 001
k 2. 706 3. 841 6. 635 7. 879 10. 828
16. (15 分) 如图 ,在四棱锥 P-ABCD 中 ,底面 ABCD 是正方形 ,侧棱 PD⊥底面 ABCD ,PD = DC ,E 是 PC 的中点 ,
作 EF⊥PB 交 PB 于点 F.
(1) 求证 :PA∥平面 EDB ;
(2) 求证 :PB⊥平面 EFD ;
(3) 求平面 CPB 与平面 PBD 的夹角的大小.
数学 第 3 页( 共 4 页)
17. (15 分) 已知f(x)= xln(x-1)-ax(a∈R).
(1)若f(x)在定义域上单调递增 ,求 a 的取值范围 ;
(2)若 y=f(x)有极大值 m,求证:m<-4.
18. (17 分) 已知椭圆 的一个焦点为 F(-2,0) ,短轴长为 2 2.
(1)求椭圆 C 的标准方程.
直线 l :x= - 与 x 轴交于点 Q,过焦点 F(-2,0) 的直线与椭圆交于 M,N 两点.
(i)证明:点 Q 在以 MN 为直径的圆外.
(ii)在 l 上是否存在点E 使得△EMN 是等边三角形 若存在 ,求出直线 MN 的方程 ;若不存在 ,请说明理由.
19. (17 分)如果数列{xn }满足 :存在实数 G1 ,G2 ,使得对任意 n ∈N ,有 G1 ≤xn ≤G2 ,那么称数列{xn }有界 ,其 中 G1 为{xn } 的下界 ,G2 为{xn } 的上界.
(1)写出数列{xn }无界的定义.
已知 an = ,bn = ,数列的前 n 项和分别为 An ,Bn ,讨论数列{An } , {Bn } 的有界性.
(3)两个整数数列{an } , {bn }满足方程(an -an-1 ) · (an -an-2 )+(bn -bn-1 ) (bn -bn-2 )= 0(n= 3,4,5, …). 证明 :存在 k ∈N ,使得 ak =ak+2 .
数学 第 4 页(共 4 页)
高三数学 强化卷
答题卡
贴条形码区
(
填涂样例
) 正确填涂 注意事项 1. 答卷前 ,考生须在答题卡和试卷上规定的位置 ,准确填写本人姓名、准考证号 ,并核对 准条形码上的信息 。确认无误后 ,将条形码粘贴在答题卡上相应位置。 2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂 ;非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔作答 ,字体 工整 ,笔迹清楚。 3. 考生必须在答题卡各题目的答题区域内作答 ,超出答题区域范围书写的答案无效 ;在 草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 保持卡面清洁 ,不准折叠 ,不得损坏。
一、单选题( 共 40 分)
1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 4 A B C D 二、多选题( 共 18 分) 5 6 7 8 A A A A B C D B C D B C D B C D
9 10 11 A A A B C D B C D B C D
三、填空题( 每小题 5 分 ,共 15 分) 12. 13. 14.
请在各题目的答题区域内作答 ,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
四、解答题 15. ( 13 分)
请在各题目的答题区域内作答 ,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
16. ( 15 分)
(
姓名
准考
证号
) (
考生
禁填
缺考考生
,由监考员贴条形码
,并用 2B
铅笔涂右面的缺考标记。
)请在各题目的答题区域内作答 ,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答 ,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答 ,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
答题卡第一页
(
17.
(
15
分)
) (
19.
(
17
分)
总分
:
登分人
:
复核人
:
)请在各题目的答题区域内作答 ,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答 ,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答 ,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
18. ( 17 分)
请在各题目的答题区域内作答 ,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答 ,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答 ,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
答题卡第二页
高三数学 强化卷 参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A B D C C B D D ACD AC ACD
D 1
2 3
12. 122 13. 14.
e2 5
15. (1)有 99% 的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关(6 分)
(2)(7 分)
【解】(1)第一步:完成 2× 2 列联表 ,算出χ2 的值 ,并与对应临界 值比较大小
由题意完成 2× 2 列联表如下 :
女 男 合计
未参加跳绳比赛 75 90 165
参加跳绳比赛 25 10 35
合计 100 100 200
(
2
200×(75×
10-90×
25)
2
600
)则χ = 100× 100× 165× 35 = 77 ≈7. 792>6. 635, ……… 4 分
第二步:得出结论
所以有 99% 的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关.
…………………………………………………………… 6 分
(2)第一步:利用比例分配的分层随机抽样方法算出各层人数 利用比例分配的分层随机抽样方法从这 100 人中抽取 12 人 ,
则未参加跳绳比赛的有 75 × 12 = 9 人 参加跳绳比赛的有 25 ×
100 ,
= 3 人. …………………………………………………… 8 分
第二步:利用对立事件求概率
老师甲从这 12 人中随机选取 3 人 ,
记“至少有 1 人参加跳绳比赛”为事件 A,
则 P(A)= 1-P(A)= 1- C9 (3) = 1- 21 = 34
C1 (3)2 55 55 ,
所以至少有 1 人参加跳绳比赛的概率是 . ……………… 13 分
16. (1)证明见解析(4 分)
(2)证明见解析(5 分)
(3)(6 分)
(1)【证明】第一步:构造中位线 ,证明线线平行
如图 ,连接 AC 交 BD 于点 Q,连接 EQ,则点 Q 为 AC 的中点 ,
因为 E 为 PC 的中点 ,所以 EQ∥PA. ………………………… 2 分
第二步:用线面平行的判定定理证明结论 又因为 EQ 平面 EDB,PA 平面 EDB,
所以 PA∥平面 EDB. ………………………………………… 4 分
(2)【证明】第一步:证明 BC⊥平面 PCD
因为 PD⊥平面 ABCD,BC 平面 ABCD,所以 PD⊥BC.
因为底面 ABCD 为正方形 ,所以 CD⊥BC, 而 PD∩CD=D,PD,CD 平面 PCD,
所以BC⊥平面 PCD. ………………………………………… 6 分
第二步:证明 DE⊥平面 PBC
又 DE 平面 PCD,所以 BC⊥DE.
因为 PD=DC,E 为 PC 的中点 ,所以 DE⊥PC. 又 PC,BC 平面 PBC,PC∩BC= C,
所以 DE⊥平面 PBC. ………………………………………… 8 分
第三步:证明 PB⊥平面 EFD
因为 PB 平面 PBC,所以 DE⊥PB.
又因为 EF⊥PB,DE∩EF=E,DE,EF 平面 EFD,
所以 PB⊥平面 EFD. ………………………………………… 9 分
(3)【解】第一步:根据定义证明∠DFE 为二面角C-PB-D 的平面角
由(2)知 PB⊥平面 EFD,又 DF 平面 EFD,所以 PB⊥DF,
所以∠DFE 为二面角 C-PB-D 的平面角. ………………… 10 分
第二步:分别求 DE,DF,EF 的长
设 AB= 2a,则 BD=PC= 2 2a,PB= 2 3a,
PC
在 Rt△PCD 中 ,DE= = 2a,
2
PD ·BD 2 6
在 Rt△PBD 中 , DF = = a ( 提 示 : 等 面 积 法 表 示
PB 3
Rt△PBD 的面积 ,从而求解DF 的长度) ,
PC ·BC 2 6
(
PB
3
)在 Rt△PBC 中 ,点 C 到 PB 的距离为 = a,
1 2 6 6
所以 EF= × a= a. ………………………………… 13 分
2 3 3
第三步:由余弦定理求夹角 在△DFE 中 ,由余弦定理得
EF2 +DF2 -DE2 1 cos∠DFE= =
2EF ·DF 2 ,
……………………… 14 分
因 为 ∠DFE ∈ ( 0, π ) , 所 以
∠DFE= π 3 ,
即平面 CPB 与平面 PBD 的夹角
为 . …………………… 15 分
17. (1) (- ∞ ,2] (6 分)
(2)证明见解析(9 分)
(1)【解】第一步:求f(x)的定义域及导数 由题意知 ,函数f(x) 的定义域为(1,+ ∞ ).
f ′ (x)= ln(x-1)+--a.
第二步:求f ′ (x) 的导数和f ′ (x)min
令 G(x)=f ′ (x) ,则 G ′ (x)= 1 - 1 = x-2 ……… 2 分
x-1 (x-1)2 (x-1)2 , 当 1当 x>2 时 ,G ′ (x)>0,f ′ (x)单调递增.
所以f ′ (x)min =f ′ (2)= 2-a. ………………………………… 4 分
第三步:利用导数研究函数单调性的结论,把问题转化为恒成立问题 因为f(x)在定义域上单调递增 ,所以f ′ (x) ≥0 恒成立(提示 :函 数在某个区间上单调 ,求参数的范围 ,一般情况下 ,要先转化为导 函数在这个区间上恒大于等于 0 或者恒小于等于 0,然后借助不 等式恒成立的解法即可求出参数的范围) ,
所以 2-a≥0,即 a≤2,故 a 的取值范围为(- ∞ ,2]. ……… 6 分
(2)【证明】第一步:利用函数零点存在定理判断f ′ (x)零点的个 数及范围
由(1)可知 ,当 y=f(x)有极大值时 ,a>2, 此时f ′ (x)min =f ′ (2)= 2-a<0,
且当 x→ 1 时 ,f ′ (x)→+ ∞ ;当 x→+ ∞ 时 ,f ′ (x)→+ ∞ ,
所以当f ′ (x)= 0 时 ,x=x1 ,x=x2 ( 1在定理的应用) , ……………………………………………… 8 分
第二步:求极大值的表达式
则 ln(xi -1)+ =a(i= 1,2).
当 10,f(x)单调递增 ; 当 x1 x2 时 ,f ′ (x)>0,f(x)单调递增 ,
所以 x=x1 为f(x) 的极大值点 ,则 m=f(x1 ). ……………… 10 分
第三步:证明极大值小于-4
f(x1 ) = x1 [ ln (x1 - 1 ) - a ] = x1 êL (é)ln(x1 -1)-ln(x1 -1)- ù」ú =
2
x 1
-
.
x1-1
设 g(x)= - x2 则 g ′ (x)= -x(x-2)>0 在(1 2)上恒成立
x-1 , (x-1)2 , ,
所以 g(x)在(1,2)上单调递增 ,所以 g(x)…………………………………………………………… 15 分
18. (1)+ = 1(3 分)
(2) (i)证明见解析(7 分)
(ii)存在 ,直线 MN 的方程为 y=x+2 或 y= -x-2(7 分)
(1)【解】第一步:根据题意求出 b 和 c 由题意得 c= 2,b= 2 ,
第二步:求出a 并写出椭圆的标准方程
所以 a= 6. …………………………………………………… 2 分
则椭圆 C 的标准方程为+ = 1. ………………………… 3 分
(2) (i)【证明】第一步:考虑直线MN 倾斜角为 0 的情况 由题意得 Q(-3,0) ,
当直线 MN 的倾斜角为 0 时 , 以 MN 为直径的圆的方程为 x2 +
y2 = 6,显然点 Q 在此圆外. …………………………………… 5 分
第二步:直线MN 倾斜角不为0 时设出该直线方程 ,并与椭圆方 程联立
(
当直线
MN
的倾斜角不为
0
时
,
设直线
MN
的方程为
x=
my
-2,
联
) (
,
)立 m (+)2 (=) ,1,可得(m2 +3)y2 -4my-2= 0
Δ = 16m2 +8(m2 +3)= 24m2 +24>0 恒成立.
(
→
→
) (
QM
·
QN
的符号
,
得出
)第三步:设出点 M 和 N 的坐标 ,通过判断 点 Q 与圆的位置关系
设 M(x1,y1 ) , N(x2,y2 ) , …………………………………… 7 分
(
-2
) (
m
2
+3
,
)则 y1 +y2 = ,y1y2 =
→ → QM ·QN = (x1 +3) (x2 +3)+y1y2 …………………………… 9 分 = (my1 +1) (my2 +1)+y1y2 = (m2 +1)y1y2 +m(y1 +y2 )+1 = ++1= >0,
故点 Q 在以 MN 为直径的圆外. …………………………… 10 分
(ii)【解】第一步:考虑直线MN 斜率不存在的情况
假设在 l 上存在点E 使得△EMN 是等边三角形 ,当直线 MN 的斜
2b2 2 6
(
a
3
,
)率不存在时 , |MN| = = 此时点 Q 到 MN 的距离为 1,此时
不存在△EMN 为等边三角形.
第二步:考虑直线 MN 斜率为 0 的情况
当直线 MN 的斜率为 0 时 ,易知不存在△EMN 为等边三角形.
…………………………………………………………… 11 分
第三步:考虑直线MN 的斜率存在且不为 0 的情况 ,设出该直线 方程
当直线 MN 的斜率存在且不为 0 时 ,设直线 MN 的方程为 x = my-2(m≠0).
第四步:设线段MN 的中点为 G,根据弦长公式表示出|EG|和|MN|
(
设线段
MN
)的中点为 G(xG,yG ) ,M(x1,y1 ) ,N(x2,y2 ) , 由(i)得
(
y
1
+y
2
y
G
=
=
)2m -6
(
2
) (
m
+3
m
+3
)2 ,由于点 G 在直线 x=my-2 上 ,所以 xG = 2 ,
…………………………………………………………… 12 分
-6
(
m
+3
)直线 EG 的斜率为-m,所以 |EG | = 1+m2 2 +3 = 1+m2 ·
(
m
+3
) (
3m
2
+
3
2
,
1
4
分
)
(
m
+
3
) (
2
2
2
2
6
(m
2
+
1
)
|MN|
=
1+m
|y
1
-
y
2
|
=
1+m
(y
1
+y
2
)
-4y
1
y
2
=
2
.
)
第五步:求出 m 的值和直线 MN 的方程
(
|EG|
|
MN
|
) (
3
) (
因为
△
EMN
是等边三角形
,
所以
) (
=
,
则
) (
=
) (
2
) (
、-
(m
2
+1)
)m2 +1 (3m2 +3) 2 6
(
3
)
(
2
),解得 m2 = 1,即 m= ± 1,故直线 MN 的方程为 y = x+2 或 y =
-x-2. ……………………………………………………… 17 分
19. (1)对任意 G>0,存在 n ∈N , |xn | >G(2 分)
(2) {An }有界 , {Bn }无界(8 分)
(3)证明见解析(7 分)
(1)【解】对任意 G>0,存在 n ∈N , |xn | >G. ……………… 2 分
(2)【解】第一步:判断数列{An } 的有界性 对于数列{an } :当 n= 1 时 ,A1 =a1 = 1<2;
当 n≥2 时 ,an = <= - - .
所以 An = a1 + a2 + a3 + … + an < 1 + (1- + - + … +
(
-
=
2-
<2.
) (
n-1
n
n
)( 1 1 ) 1
又对任意 n ∈N ,An >0,所以 0ln(x+1) (x>0)
对于数列{bn } :先证当 x>0 时 ,x>ln(x+1).
(
x+1
x+1
,
)令f(x)= x-ln(x+1) ,则f ′ (x)= 1- 1 = x >0
D 2
所以f(x)在(0,+ ∞ )上单调递增 ,所以当 x>0 时 ,f(x)>f(0)= 0, 所以 x>ln(x+1) ,x>0 恒成立.
第三步:赋值得出不等关系
令 ,k ∈N ,则 ,
第四步:利用放缩法求和并得出结论
ln 3-ln 2+ln 4-ln 3+ …+ln(n+1)-ln n=ln(n+1) ,
对任意 G>0,令 n= [eG ] ,则 Bn >ln(n+1)>G,所以{Bn }无界.
…………………………………………………………… 10 分
(3)【 证 明】第 一 步 : 记 点 Pn ( an , bn ) , 由 已 知 写 出 与 之间的关系
记点 Pn (an ,bn ) ,则由条件得 = 0,n≥3,n ∈N
…………………………………………………………… 12 分
第二步:讨论点 Pn-1 ,Pn-2 重合时的情形
①若点 Pn-1 ,Pn-2 重合 ,则 {
所以(an -an-2 )2 +(bn -bn-2 )2 = 0,
所以 an =an-2 . ……………………… 14 分
第三步:讨论点 Pn-1 ,Pn-2 不重合时的情形
②若点 Pn-1 ,Pn-2 不重合 ,则点 Pn 在以线段 Pn-1 Pn-2 为直径的 圆上 ,
所以{ |Pn-1 Pn | 2 }是单调不增的数列(提示 :后一个圆的直径小于 或等于前一个圆的直径).
因为 an ,bn ∈Z,所以 |Pn-1 Pn | 2 ∈N. 第四步:得出结论
当 n 充分大时 ,要么 |Pn-1 Pn | 2 = |Pn-2 Pn-1 | 2 ,所以 Pn 与 Pn-2 重合 , 所以 an =an-2 ;
要么 |Pn-1 Pn | 2 = 0,所以当 n 充分大时 ,所有点 Pn 均重合 ,所以存
在 k ∈N ,使得 ak =ak+2 . …………………………………… 16 分
综上 ,存在 k ∈N ,使得 ak =ak+2 . ………………………… 17 分
D 3
高三数学 强化卷
D 1
1. A
(
2-i
(2-i)
(2+i)
,
)【 深度解析】因为 z = 1+2i = (1+2i) (2+i) = i 所以 | z | = 1. 故选 A.
2. B
【 深度解析】由题意知 A = { x | -x2 +x+ 2 > 0} = { x | - 1 3. D
【 深度解析】由 3sin( π- α ) - 4cos α = 3sin α- 4cos α = 0 ,得 3sin α =
4cos α ,所以 tan α = 关键 : 由诱导公式与同角三 角函数的基本关
系求出 tan α 的值 ) ,所以 1-cos 2α = 2sin2α = = 1= = × = 提示:齐次式和 1 的妙用 ). 故选 D.
4. C
【 深度解析】由题意知 ,2Sn = Sn+1 +Sn+2 ,则公比 q≠1 ,所以 =
(
a
1
(1-q
n+2
)
)a1 (1-qn+ 1 )
(
+
),所以 2qn = qn+ 1 + qn+2 , 即 q2 + q- 2 = 0 ,解得
(
1-q
)1-q
q = 1( 舍) 或 q= -2 ,所以 = q2 = 4. 故选 C.
5. C
【 深度解析】设双曲线的方程为 - = 1( a> 0 ,b> 0) ,则把点( 1 ,
1) 的坐标代入方程 , 得 - = 1 ①. 因为渐近线的方程为 y =
b b
± x ,且双曲线的两条渐近线的夹角为 60 ° ,所以渐近线 y = x 的
a a
(
3
) (
b
a
) (
,a
=
3
b②
,
) (
=
tan 30° =
)倾斜角为 30°或 60°. 若倾斜角为 30° ,则
3
把②代入① ,得-3b (2)2 = 1 ,无解 ( 易错 : 此处易忽视方程① , 直接利
(
b
2
2
a
) (
用公式 e
=
1+
b
)而得到 e= 233 的错误结论 ) ;若倾斜角为 60 ° ,
(
则
=
tan
60
°
=
) (
3
) (
3a
2
3
,
)2 2 ,b = 3 a③ ,把③代入① ,得 = 1 ,所以 a2 =
a
b2
(
所以 b
2
=
3a
2
=
2
) (
,所以离心率 e
=
)1+ 2 = 2. 故选 C.
a
6. B
【 深度解析】解法一( 条件概率定义和全概率公式) :设 A =“ 发送 的信号为 0”,B =“ 接收到的信号为 0”, 则由题意可知 P ( A) = P(A) = 0. 5 , P (B | A) = 0. 9 , P (B | A) = 0. 1 , P ( B | A) = 0. 05 ,
P(B | A) = 0. 95 ,所以 P(B) = P(A)P(B | A) +P(A) P( B | A) = 0. 5 ×
(
P(A)P(B
|A)
0.
5×0.
05
1
)0. 9+0. 5×0. 05 = 0. 475 ,所以 P(A | B) = = = .
P(B) 0. 475 19
故选 B.
解法二( 贝叶斯公式) :设 A =“发送的信号为 0”,B =“接收到的信 号为 0”,则 A =“发送的信号为 1”,B =“ 接收到的信号为 1”. 由题 意得 P ( A ) = P (A ) = 0. 5 ( 提 示 : 对 立 事 件 的概 率 和 为 1 ) , P(B | A) = 0. 9 ,P(B | A) = 0. 1 ,P( B | A) = 0. 05 ,P( B | A) = 0. 95. 根
(
,将数值代
) (
P(A)P(B
|
A)
)据贝叶斯公式 P(A | B) =
P(A)P(B | A)+P(A)P(B | A)
0. 5× 0. 05 1
(
0. 5×
0. 9+0. 5×
0. 05
19
)入可得 ,P(A | B) = = . 故选 B.
解法三( 列举法计算概率) :假设进行了 1 000 次发送信号的试 验 , 因为发送信号 0 和 1 是等可能的 ,所以发送信号 0 和 1 各有 500 次. 当发送信号 0 时 ,接收为 0 的有 500× 0. 9 = 450 次 ,接收为 1 的有 500 × 0. 1 = 50 次 ; 当 发 送 信 号 1 时 , 接 收 为 1 的 有 500 × 0. 95 = 475 次 ,接收为 0 的有 500× 0. 05 = 25 次 ,则接收信号为 0 的 总次数为 450+25 = 475 ,其中发送信号为 1 且接收信号为 0 的有 25 次 ,所以 在 接 收 信 号 为 0 的 条 件 下 , 发 送 信 号 为 1 的 概 率 为
(
1
)25
(
475
)= . 故选 B.
19
7. D
【 深度解析】设圆台的上、下底面圆的圆心分别 为 O2 ,O1 ,其内切球的球心为 O ,如图 ,等腰梯形 ABDC 为圆台的轴截面 ,且轴截面截内切球 O 得 大圆 ,并且是梯形 ABDC 的内切圆 ,延长 AC ,BD 交于点 S ,连接 SO1 ,则点 O , O2 在线段 SO1 上 , 设 SA 切圆 O 于点 T ,连接 OT.
3
(
2
)设底面圆直径 AB = 2R , 由题意可得 ,sin ∠SAO1 = ,则 cos ∠SAO1 =
1
(
2
),所以 SA = 2R ,SO1 = 3R. 设内切球的半径为 r ,则 OT = OO1 = OO2 =
1
(
r
cos
∠SOT=
) (
,
) (
2
),所以 SO = 2r ,则 SO1 = 3r = 3 R ,得 R = 3 r ,且 O2 为
SO1 上靠近点S 的三等分点 ,而内切球表面积为 S1 = 4πr2 ,又因为
2 4 1
AC = × 2R = R ,所以 CO2 = CT = AC-AT = AC-AO1 = R( 提示 :
3 3 3
根据轴截面中存在的几何图形的角度及条件确定圆台的下底面半 径与内切球半径之间的等量关系是解题的关键) ,所以圆台的表面
积为 S2 = π× ( 3 (1) R )2 + π× R2 + π× ( 3 (1) R+R) × 3 (4) R = 29 (6)π R2 = 23 (6)π r2
( 圆台表面积公式:S = πR2 + πr2 + πl( R+r) ,其中 ,R ,r 分别为圆 台 上、下底面的半径 ,l 为圆台的母线长) ,所以圆台的表面积与其内
(
2
r
)26π
S2 3 13
(
S
1
4πr 6
)切球的表面积之比为 = 2 = . 故选 D.
8. D
【 深度解析】解法一( 方程联立+数形结合) :如图 ,作函数 y =f(x) 的大致图象 ,平移直线 y = k-x , 由 k-x= x2 +2x+2 可得 x2 + 3x+ 2-k =
0 ,Δ = 9-4( 2-k) = 1+ 4k = 0 ,解得
(
1
4
,
-
x
与曲线
y
= x
2
+
2x+
2
)1
(
k =
-
), 故 当 k = - 时 直 线
4
1
(
y
=
-
)4
(x≤ 0 ) 相 切 ; 当 k = 0 时 , 直 线 y = - x 经过点 ( 0 , 0) , 且与曲线 y = x2 +2x+2(x≤0) 有 2 个不同的
交点 ;当 k = 2 时 ,直线 y = 2-x 经过点(0 ,2) ,且与 y =f(x) 的图象有 3 个不同的交点. 由图分析可知 , 当 k ∈ ( 0 ,2] 时,y =f(x) 的图象与 直线 y = k-x 有 3 个不同的交点. 故选 D.
解法二( 导数的几何意义+数形结合) :如图 ,作函数 y =f( x)的大 致图象 ,平移直线 y = k-x , 当直线 y = k-x 与曲线 y = x2 + 2x+ 2( x ≤ 0) 相切时 ,设切点横坐标为 x0 ,对 y = x2 + 2x+ 2( x≤0) 求导得 y ′ =
3
(
2
,
)2x+ 2 ( x ≤ 0) , 则 2x0 + 2 = - 1 , 解得 x0 = - 所以切点坐标 为
(
- 代入 y
=
k-x
,得 k
=
-
.
以下同解法一.
) (
2
,
4
,
4
)( 3 5 ) 1
解法三( 取值检验) :取 k = 0 ,y = -x 与 y = x2 + 2x+ 2( x≤0) 联立得 x2 + 3x+2 = 0 ,此时 Δ>0 ,所以直线 y = -x 与 y = x2 + 2x+ 2( x≤0) 的图 象有两个交点 ,而直线 y = -x 与 y = ln( x+ 1) ( x> 0)的图象没有交 点 ,所以此时直线 y = -x 与 y =f(x) 的图象共有 2 个交点 ,不符合题 意 ,排除选项 A 和 C;取 k = 3 ,直线 y = 3-x 与 y = x2 +2x+2(x≤0) 联
- 3- 13 - 3+ 13
(
2
,
2
)立得 x2 + 3x- 1 = 0 ,解得 x1 = x2 = ( 舍去) ,所以直
线 y = 3-x 与 y = x2 +2x+2(x≤0) 的图象只有 1 个交点 ,直线 y = 3-x 与 y = ln(x+ 1) (x>0) 的图象有 1 个交点 ,所以此时直线 y = 3 -x 与 y =f(x) 的图象共有 2 个交点 ,不符合题意 ,排除选项 B. 故选 D.
9. ACD
【 深度解析】对于 A , 由题可得 , 函数 f( x)= sin (2x- 6 (π) ) ,所以 ω =
2π
2 ,所以最小正周期 T = 2 = π ,故 A 正确;
π π π kπ
(
6
2
3
2
)对于 B ,令 2x- = +kπ( k ∈Z) ,解得 x = + ( k ∈Z) ,则f(x)
π kπ
(
3
2
)图象的对称轴为直线 x = + ( k ∈Z) ,故 B 错误;
(
-
π
6
∈
(
π
2
,
3
π
2
)
, 则 f
(
x
)
在
)对于 C , 当 x ∈ ( 3 (π) ,56 (π)) 时 , 2x
(
(
π
5π
)
) (
π
6
∈
(
-
π
6
,
1
1
6
π
)
,
令 f
(
x )
=
)3 , 6 上单调递减 ,故 C 正确; 对于 D , 当 x ∈ ( 0 , π ) 时 , 2x -
sin (2x- 6 (π) ) = 0 ,所以 2x - 6 (π) = 0 或 2x - 6 (π) = π ,解得 x = 12 (π) 或 x =
(
7π
)12 ,所以f(x) 在(0 ,π ) 上有 2 个零点 ,故 D 正确. 故选 ACD.
10. AC
【 深度解析】对于 A ,把点(4 ,80) 的坐标代入 = - 10. 5x + ,解得
= 122 ,故 A 正确;对于 B ,从表中数据可知 ,血液中药物浓度 y 随代
谢时间 x 的增大而减小 ,所以相关系数 r<0(提示 :若两个变量成正相 关关系 ,则相关系数为正数 ,呈负相关关系 ,则相关系数为负数) ,故
B 错误;对于 C ,x = 5 时 , = - 10. 5× 5+ 122 = 69. 5 ,所以残差为 68 -
69. 5 = -1. 5 ,故 C 正确;对于 D ,令-10. 5x+122 = 120× 0. 2 ,得 x ≈9. 33 , 即代谢约 9. 33 小时后就需要补充药物了 ,故 D 错误. 故选 AC.
11. ACD
【 深度解析】( 赋值法) 因为函数 f ( x)是 R 上的偶函数 , 所以 f(-x) =f(x) ,则[f(-x) ] ′ = -f ′ (-x) =f ′ (x) . 又 g(x) 是f( x) 的导 函数 ,所以-g(-x) = g(x) ,故 g(x) 是奇函数且 g(0) = 0.
由f(3-x)+f(x)= 1 ,两边同时求导得-f ′ (3-x) +f ′ (x) = 0 , 即-g(3- x)+g(x) = 0(易错 :注意复合函数求导) ,故函数 g(x) 的图象关于
直线 x = 对称.
对于 C , 因为 g(x+6) = g(-x- 3) = -g( x+ 3) = -g( -x) = g( x) ,故 C 正确 ;
对于 A 选项 , 由选项 C 可知 g(x+ 6) = g(x) ,所以函数 g( x)的周 期为 6 ,所以 g(2 025) = g( 337× 6+ 3) = g( 3) = g( 0) = 0 , 故 A 正确 ;
对于 B 选项 ,若函数 f( x) = cos x + , 满足已知条件 , 则 f ′ (x) = g(x) = - sin x ,则 g ≠ ,故 B 错误 ;
对于 D 选项 , 由f(3-x) +f( x) = 1 及 f( x) 是偶函数 ,得 f( x- 3) + f(x) = 1 ,所以f(x)= -f(x- 3)+ 1 ,所以f(x+ 3)= -f(x)+ 1 , 即f(x+ 6)= -f(x+ 3)+ 1 =f( x) ,所以函数 f( x) 的周期为 6 ,所以 f( 1) + f(2) +f(3) +f(4) +f( 5) +f( 6) = [f( 1) +f( 4) ] + [f( 2) +f( 5) ] + [f(3) +f(6) ] = 1+ 1+ 1 = 3 , 因为 f( 3-x) +f( x) = 1 , 所以令 x = 0 得f(0) +f( 3) = 1 , 又 f( 0) = 2 ,则 f( 3) = - 1 ,令 x = 1 得 f( 1) +
2 025
f(2) = 1 ,则 n1f( n) = 337× 3+ 1- 1 = 1 011 ,故 D 正确. 故选 ACD.
12. 122
【 深度解析】令 x = 1 得 ,a0 +a1 +a2 +a3 +a4 +a5 = 1① ,令 x = - 1 得 , a0 -a1 + a2 - a3 + a4 - a5 = (- 3) 5 ② , ① - ② 得 , 2 ( a1 + a3 + a5 ) = 1 - (- 3) 5 = 244 ,所以 a1 +a3 +a5 = 122.
13.
e
【 深度解析】设 y =f ( x) = eax+b , 切点 为 ( x0 , eax0+b ) , 则 f ′ ( x) = aeax+b ,f ′ (x0 ) = aeax0+b ,则切线方程为 y-eax0+b = aeax0+b (x-x0 ) ,整理
(
ax
+b
ax
+b
)可得 y = ae 0 x + ( 1 - ax0 ) e 0 . 因 为 切 线 方 程 为 y = 2x , 所 以
(
ax
0
+b
) (
a
e
=
2
) (
,
解得 x
0
=
1
,则 ae
ax
0
+b
= ae
1+b
=
2
,所以
a
=
2
,
) (
(1-ax
0
)
e
ax
0
+b
=
0
,
a
e
b+
1
){
所以 ab = . 设 h( x) = ,则 h ′ (x) = ,令 h ′ ( x) > 0 , 即
1-x>0 ,解得 x<1 ,令 h ′ (x)<0 ,即 1-x<0 ,解得 x>1 ,所以函数h(x) 在区间( - ∞ ,1) 上单调递增 ,在区间( 1 , + ∞ ) 上单调递减 ,所以
h(x) max = h(1) = ,所以 ab 的最大值为 .
D 2
(
3
)16. (1)证明见解析(4 分)
(
5
)14.
(
【
深度解析
】
由题意
,
设
△
ABC
的内角
A,B,C
所对的边分别为
a,
)(2)证明见解析(5 分)
(
b
2
+c
2
-
a
2
,b=c=
1,
则
cos
A
=
) (
1+1-3
=
2×
1×
1
) (
1
=
-
2
) (
b,c,
不妨令
a=
3
) (
,
所
) (
2bc
)(3)(6 分)
(1)【证明】第一步:构造中位线 ,证明线线平行
(
1
bcsin
A
=
2
) (
1
以
A=
120°
,B
=
C
=
30°
,
则
△ABC
的面积
S
=
) (
×
1
×
) (
2
)如图 ,连接 AC 交 BD 于点 Q,连接 EQ,则点 Q 为 AC 的中点 ,
因为 E 为 PC 的中点 ,所以 EQ∥PA. ………………………… 2 分
(
3
) (
→
·
|
AC
|
·
)→ → →
(
cos
A
=
1
×
1
×
3
→
→
,CA
·CB
=
2
) (
1×
sin
120°
=
) (
,
所以
AB
·
AC
=
|
AB
|
) (
4
) (
1
2
,
) (
→
BC
|
cos
B
=
) (
→
→
→
)第二步:用线面平行的判定定理证明结论 又因为 EQ 平面 EDB,PA 平面 EDB,
(
cos
120°
=-
) (
同理
BA
·
BC
=
|
BA
|
·
|
)所以 PA∥平面 EDB. ………………………………………… 4 分
(
→
3
) (
→
|
CA
质
1
)(2)【证明】第一步:证明 BC⊥平面 PCD
(
|
·
|
CB
|
·cos
C
=
2
.
设
△ABC
的
“
勃罗卡角
”
为
θ
,
则根据性
,2
知
△
ABC
的面积
S
=
S
△
PAB
+S
△
PBC
+S
△
PCA
(
提示
:
分割法的应
)因为 PD⊥平面 ABCD,BC 平面 ABCD,所以 PD⊥BC.
因为底面 ABCD 为正方形 ,所以 CD⊥BC, 而 PD∩CD=D,PD,CD 平面 PCD,
(
1
→
→
→
→
→
→
) (
用
)
=
2
(
AB
·
AP
+
BC
·
BP
+
CA
·
CP
)
tan
θ(
提示
:
利用性质
1
表示出
1
→
→
→
→
→
→
)所以BC⊥平面 PCD. ………………………………………… 6 分
第二步:证明 DE⊥平面 PBC
(
三角形的面积
)
=
2
(
AB
·
AC
+
BC
·
BA
+
CB
·
CA
)
·
tan
θ(
提示
:
利用
性质
2
转化
)
=
×
(
-
+
+
tan
θ
=
,
解得
tan
θ
=
.
(1)
有
99%
的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关
(6
分
)
(2)
(7
分
)
【
解
】(1)
第一步
:
完成
2×
2
列联表
,
算出
χ
2
的值
,
并与对应临界
值比较大小
由题意完成
2×
2
列联表如下
:
)又 DE 平面 PCD,所以 BC⊥DE.
因为 PD=DC,E 为 PC 的中点 ,所以 DE⊥PC. 又 PC,BC 平面 PBC,PC∩BC= C,
所以 DE⊥平面 PBC. ………………………………………… 8 分
(
15.
)第三步:证明 PB⊥平面 EFD
因为 PB 平面 PBC,所以 DE⊥PB.
又因为 EF⊥PB,DE∩EF=E,DE,EF 平面 EFD,
所以 PB⊥平面 EFD. ………………………………………… 9 分
(3)【解】第一步:根据定义证明∠DFE 为二面角C-PB-D 的平面角
由(2)知 PB⊥平面 EFD,又 DF 平面 EFD,所以 PB⊥DF,
所以∠DFE 为二面角 C-PB-D 的平面角. ………………… 10 分
第二步:分别求 DE,DF,EF 的长
(
女
男
合计
未参加跳绳比赛
75
90
165
参加跳绳比赛
25
10
35
合计
100
100
200
)设 AB= 2a,则 BD=PC= 2 2a,PB= 2 3a,
PC
在 Rt△PCD 中 ,DE= = 2a,
2
PD ·BD 2 6
在 Rt△PBD 中 , DF = = a ( 提 示 : 等 面 积 法 表 示
PB 3
Rt△PBD 的面积 ,从而求解DF 的长度) ,
(
PC
·BC
2
6
) (
2
200×(75×
10-90×
25)
2
600
) (
在
Rt
△
PBC
中
,
点
C
到
PB
的距离为
=
a,
) (
PB
3
)则χ = 100× 100× 165× 35 = 77 ≈7. 792>6. 635, ……… 4 分
(
1
2
6
6
) (
所以
EF
=
×
a=
a.
…………………………………
13
分
)第二步:得出结论
(
2
3
3
) (
第三步
:
由余弦定理求夹角
在
△
DFE
中
,
由余弦定理得
EF
2
+DF
2
-DE
2
1
cos
∠
DFE
=
=
2EF
·DF
2
,
………………………
14
分
因 为
∠DFE
∈
(
0,
π
)
,
所 以
∠
DFE
=
π
3
,
即平面
CPB
与平面
PBD
的夹角
为
.
……………………
15
分
)所以有 99% 的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关.
…………………………………………………………… 6 分
(2)第一步:利用比例分配的分层随机抽样方法算出各层人数 利用比例分配的分层随机抽样方法从这 100 人中抽取 12 人 ,
则未参加跳绳比赛的有 75 × 12 = 9 人 参加跳绳比赛的有 25 ×
100 ,
= 3 人. …………………………………………………… 8 分
第二步:利用对立事件求概率
(
17.
(1)
(-
∞
,2]
(6
分
)
(2)
证明见解析
(9
分
)
(1)【
解
】
第一步
:
求
f(x)
的定义域及
导数
由题意知
,
函数
f(x)
的定义域为
(1,+
∞
).
)老师甲从这 12 人中随机选取 3 人 ,
记“至少有 1 人参加跳绳比赛”为事件 A,
则 P(A)= 1-P(A)= 1- C9 (3) = 1- 21 = 34
C1 (3)2 55 55 ,
所以至少有 1 人参加跳绳比赛的概率是 . ……………… 13 分
D 3
f ′ (x)= ln(x-1)+--a.
第二步:求f ′ (x) 的导数和f ′ (x)min
令 G(x)=f ′ (x) ,则 G ′ (x)= -- = , ……… 2 分
当 12 时 ,G ′ (x)>0,f ′ (x)单调递增.
所以f ′ (x)min =f ′ (2)= 2-a. ………………………………… 4 分
第三步:利用导数研究函数单调性的结论,把问题转化为恒成立问题 因为f(x)在定义域上单调递增 ,所以f ′ (x) ≥0 恒成立(提示 :函 数在某个区间上单调 ,求参数的范围 ,一般情况下 ,要先转化为导 函数在这个区间上恒大于等于 0 或者恒小于等于 0,然后借助不 等式恒成立的解法即可求出参数的范围) ,
所以 2-a≥0,即 a≤2,故 a 的取值范围为(- ∞ ,2]. ……… 6 分
(2)【证明】第一步:利用函数零点存在定理判断f ′ (x)零点的个 数及范围
由(1)可知 ,当 y=f(x)有极大值时 ,a>2, 此时f ′ (x)min =f ′ (2)= 2-a<0,
且当 x→ 1 时 ,f ′ (x)→+ ∞ ;当 x→+ ∞ 时 ,f ′ (x)→+ ∞ ,
所以当f ′ (x)= 0 时 ,x=x1 ,x=x2 ( 1在定理的应用) , ……………………………………………… 8 分
第二步:求极大值的表达式
(
x
i
-1
,
.
)则 ln(xi -1)+ xi =a(i= 1 2)
当 10,f(x)单调递增 ; 当 x1 x2 时 ,f ′ (x)>0,f(x)单调递增 ,
所以 x=x1 为f(x) 的极大值点 ,则 m=f(x1 ). ……………… 10 分
第三步:证明极大值小于-4
f(x1 ) = x1 [ ln (x1 - 1 ) - a ] = x1 êL (é)ln(x1 -1)-ln(x1 -1)- ù」ú =
2
x 1
-
.
x1-1
设 g(x)= - ,则 g ′ (x)= - >0 在(1,2)上恒成立 ,
所以 g(x)在(1,2)上单调递增 ,所以 g(x)…………………………………………………………… 15 分
18. (1)+ = 1(3 分)
(2) (i)证明见解析(7 分)
(ii)存在 ,直线 MN 的方程为 y=x+2 或 y= -x-2(7 分)
(1)【解】第一步:根据题意求出 b 和 c 由题意得 c= 2,b= 2 ,
第二步:求出a 并写出椭圆的标准方程
所以 a= 6. …………………………………………………… 2 分
则椭圆 C 的标准方程为+ = 1. ………………………… 3 分
(2) (i)【证明】第一步:考虑直线MN 倾斜角为 0 的情况 由题意得 Q(-3,0) ,
当直线 MN 的倾斜角为 0 时 , 以 MN 为直径的圆的方程为 x2 +
y2 = 6,显然点 Q 在此圆外. …………………………………… 5 分
第二步:直线MN 倾斜角不为0 时设出该直线方程 ,并与椭圆方 程联立
(
立
{
)当直线 MN 的倾斜角不为 0 时 ,设直线 MN 的方程为 x=my-2,联
2 2
x +y = 1
6 2 ,可得(m2 +3)y2 -4my-2= 0, x=my-2,
Δ = 16m2 +8(m2 +3)= 24m2 +24>0 恒成立.
(
→
→
)第三步:设出点 M 和 N 的坐标 ,通过判断 QM ·QN 的符号 ,得出 点 Q 与圆的位置关系
设 M(x1,y1 ) , N(x2,y2 ) , …………………………………… 7 分
则 y1 +y2 = ,y1y2 = ,
(
=
(x
1
+3)
(x
2
+3)+y
1
y
2
……………………………
9
分
=
(
my
1
+1)
(
my
2
+1)+y
1
y
2
=
(m
2
+1)y
1
y
2
+m(
y
1
+y
2
)+1
=
+
+1=
>0,
)→ → QM ·QN
故点 Q 在以 MN 为直径的圆外. …………………………… 10 分
(ii)【解】第一步:考虑直线MN 斜率不存在的情况
假设在 l 上存在点E 使得△EMN 是等边三角形 ,当直线 MN 的斜
2b2 2 6
(
a
3
,
)率不存在时 , |MN| = = 此时点 Q 到 MN 的距离为 1,此时
不存在△EMN 为等边三角形.
第二步:考虑直线 MN 斜率为 0 的情况
当直线 MN 的斜率为 0 时 ,易知不存在△EMN 为等边三角形.
…………………………………………………………… 11 分
第三步:考虑直线MN 的斜率存在且不为 0 的情况 ,设出该直线 方程
当直线 MN 的斜率存在且不为 0 时 ,设直线 MN 的方程为 x = my-2(m≠0).
第四步:设线段MN 的中点为 G,根据弦长公式表示出|EG|和|MN|
(
设线段
MN
)的中点为 G(xG,yG ) ,M(x1,y1 ) ,N(x2,y2 ) , 由(i)得
(
y
1
+y
2
y
G
=
=
)2m -6
(
2
) (
m
+3
m
+3
)2 ,由于点 G 在直线 x=my-2 上 ,所以 xG = 2 ,
…………………………………………………………… 12 分
-6
(
m
+3
)直线 EG 的斜率为-m,所以 |EG | = 1+m2 2 +3 = 1+m2 ·
(
m
+3
) (
3m
2
+
3
2
,
1
4
分
)
(
2
6
(m
2
+
1
)
m
+
3
)|MN| = 1+m2 |y1 -y2 | = 1+m2 (y1 +y2 )2 -4y1y2 = 2 .
第五步:求出 m 的值和直线 MN 的方程
(
|EG|
|
MN
|
) (
3
) (
因为
△
EMN
是等边三角形
,
所以
) (
=
,
则
) (
=
) (
2
) (
、-
(m
2
+1)
)m2 +1 (3m2 +3) 2 6
(
3
)
(
2
),解得 m2 = 1,即 m= ± 1,故直线 MN 的方程为 y = x+2 或 y =
-x-2. ……………………………………………………… 17 分
19. (1)对任意 G>0,存在 n ∈N , |xn | >G(2 分)
(2) {An }有界 , {Bn }无界(8 分)
(3)证明见解析(7 分)
(1)【解】对任意 G>0,存在 n ∈N , |xn | >G. ……………… 2 分
(2)【解】第一步:判断数列{An } 的有界性 对于数列{an } :当 n= 1 时 ,A1 =a1 = 1<2;
当 n≥2 时 ,an = <= - - .
所以 An = a1 + a2 + a3 + … + an < 1 + (1- + - + … +
D 4
又对任意 n ∈N ,An >0,所以 0第二步:先证不等式 x>ln(x+1) (x>0)
对于数列{bn } :先证当 x>0 时 ,x>ln(x+1).
令 = x-ln ,则f ′
所以f(x)在(0,+ ∞ )上单调递增 ,所以当 x>0 时 ,f(x)>f(0)= 0, 所以 x>ln(x+1) ,x>0 恒成立.
第三步:赋值得出不等关系
令 ,k ∈N ,则 ,
第四步:利用放缩法求和并得出结论
ln 3-ln 2+ln 4-ln 3+ …+ln(n+1)-ln n=ln(n+1) ,
对任意 G>0,令 n= [eG ] ,则 Bn >ln(n+1)>G,所以{Bn }无界.
…………………………………………………………… 10 分
(3)【 证 明】第 一 步 : 记 点 Pn ( an , bn ) , 由 已 知 写 出 与 之间的关系
记点 Pn (an ,bn ) ,则由条件得 = 0,n≥3,n ∈N
…………………………………………………………… 12 分
第二步:讨论点 Pn-1 ,Pn-2 重合时的情形
①若点 Pn-1 ,Pn-2 重合 ,则 {
所以(an -an-2 )2 +(bn -bn-2 )2 = 0,
所以 an =an-2 . ……………………… 14 分
第三步:讨论点 Pn-1 ,Pn-2 不重合时的情形
②若点 Pn-1 ,Pn-2 不重合 ,则点 Pn 在以线段 Pn-1 Pn-2 为直径的 圆上 ,
所以{ |Pn-1 Pn | 2 }是单调不增的数列(提示 :后一个圆的直径小于 或等于前一个圆的直径).
因为 an ,bn ∈Z,所以 |Pn-1 Pn | 2 ∈N. 第四步:得出结论
当 n 充分大时 ,要么 |Pn-1 Pn | 2 = |Pn-2 Pn-1 | 2 ,所以 Pn 与 Pn-2 重合 , 所以 an =an-2 ;
要么 |Pn-1 Pn | 2 = 0,所以当 n 充分大时 ,所有点 Pn 均重合 ,所以存
在 k ∈N ,使得 ak =ak+2 . …………………………………… 16 分
综上 ,存在 k ∈N ,使得 ak =ak+2 . ………………………… 17 分
D 5高三数学　 强化卷
本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
+
1. z= 1 2i已知 - (i 为虚数单位),则 | z |
= (　 　 )
2 i
A. 1 B. 2 C. 2 D. 4
2. 已知集合 A= {x | -x2 +x+2>0},B= {x∈N | | x-1 | ≤1},则 A∩B= (　 　 )
A. {1} B. {0,1}
C. {0,1,2} D. { -1,0,1,2}
3. 若 3sin(π-α) -4cos α= 0,则 1-cos 2α 等于 (　 　 )
A. 7 B. 18
25 25
C. 27 D. 32
25 25
a
4. 6已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 = (　 　 )a4
A. 1 B. 2
C. 4 D. 9
5. 已知双曲线 E的中心为原点,焦点在 x 轴上,两条渐近线的夹角为 60°,且点(1,1)在 E上,则 E的离心率为 (　 　 )
A. 3 B. 2 3
3
C. 2 D. 2 3或 2
3
6. 在数字通信中,信号是由数字 0 和 1 组成的序列. 由于随机因素的干扰,发送的信号 0 或 1 有可能被错误地接
收为 1 或 0. 已知发送信号 0 时,接收为 0 和 1 的概率分别为 0. 9 和 0. 1;发送信号 1 时,接收为 1 和 0 的概率
分别为 0. 95 和 0. 05. 假设发送信号 0 和 1 是等可能的,已知接收到的信号为 0,则发送的信号是 1 的概率为
(　 　 )
A. 1 B. 1
20 19
C. 19 D. 18
20 19
7. 3已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为 ,则此圆台的表面积与其内切球(与圆台的上下底面及每条母
2
线都相切的球)的表面积之比为 (　 　 )
A. 4 B. 3
3 2
C. 8 D. 13
3 6
数学 第 1 页(共 4 页)
x2 +2x+2,x≤0,
8. 已知函数 f(x)= { 的图象与直线 y= k-x 有 3 个不同的交点,则实数 k 的取值范围是 (　 　 )ln(x+1),x>0
A. (- 1 ,+4 ∞ ) B. (0,+∞ )
C. (- 1 ,2úùú D. (0,2]4
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得
6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.
9. 已知函数 f(x)= sin (2x- π ) ,则 (　 　 )6
A. f(x)的最小正周期为 π
B. f(x) π的图象关于直线 x= 对称
12
C. f(x) ( π ,5π在 上单调递减3 6 )
D. f(x)在(0,π)上有 2 个零点
10. 药物临床试验是验证新药有效性和安全性必不可少的步骤. 在某新药的临床试验中,志愿者摄入一定量药
物后,在较短时间内,血液中药物浓度将达到峰值,当血液中药物浓度下降至峰值浓度的 20% 时,需要立刻
补充药物. 已知血液中该药物的峰值浓度为 120 mg / L,为探究该药物在人体中的代谢情况,研究人员统计了
血液中药物浓度 y(mg / L)与代谢时间 x(h)的相关数据,如下表所示:
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x= 4
y 120 110 103 93 82 68 59 47 38 y= 80
根据表中数据可得到经验回归方程 y= -10. 5x+a,则 (　 　 )
A. a= 122
B. 变量 y 与 x 的相关系数 r>0
C. 当 x= 5 时,残差为-1. 5
D. 代谢约 10 小时后才需要补充药物
11. 已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(0)= 2,f(3-x) +f(x)= 1,设 f(x)在 R 上的导函数为 g(x),则 (　 　 )
A. g(2 025)= 0 B. g ( 3 ) = 12 2
2 025
C. g(x+6)= g(x) D. ∑ f(n)= 1 011
n= 1
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 设(2x-1) 5 =a0 +a1x+a 2 3 4 52x +a3x +a4x +a5x ,则 a1 +a3 +a5 = 　 　 　 　 .
13. 若直线 y= 2x 为曲线 y= eax+b 的一条切线,则 ab 的最大值为　 　 　 　 .
14. 三角形是常见的几何图形,除了我们已经学习的性质外,三角形还有很多性质,如:
1 1 → →
性质 1:△ABC 的面积 S= AB·ACsin A= AB·ACtan A;
2 2
→ → → → → → → → → → → →
性质 2:对于△ABC 内任意一点 P,有 AB·AP+BC·BP+CA·CP=AB·AC+BC·BA+CA·CB;
数学 第 2 页(共 4 页)
性质 3:△ABC 内存在唯一一点 P,使得∠PAB= ∠PBC= ∠PCA=α,这个点 P 称为△ABC 的“勃罗卡点”,角
α 称为△ABC 的“勃罗卡角” .
若△ABC 的三边长分别为 1,1, 3,根据以上性质,可以计算出△ABC 的“勃罗卡角”的正切值为　 　 　 　 .
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)某学校举行运动会,为了解学生参加跳绳比赛与学生的性别是否有关,对学生进行简单随机抽样,
得到如下数据:
女 男
未参加跳绳比赛 75 90
参加跳绳比赛 25 10
(1)能否有 99%的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关
(2)为了进一步了解女生平时运动的情况,利用比例分配的分层随机抽样方法从这 100 人中抽取 12 人进行
研究. 老师甲从这 12 人中随机选取 3 人,求至少有 1 人参加跳绳比赛的概率.
2
附: χ2 = n(ad
-bc) = + + +
(a+b)(c+d)(a+ +
,其中 n a b c d.
c)(b d)
P(χ2≥k) 0. 100 0. 050 0. 010 0. 005 0. 001
k 2. 706 3. 841 6. 635 7. 879 10. 828
16. (15 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,
作 EF⊥PB 交 PB 于点 F.
(1)求证:PA∥平面 EDB;
(2)求证:PB⊥平面 EFD;
(3)求平面 CPB 与平面 PBD 的夹角的大小.
数学 第 3 页(共 4 页)
17. (15 分)已知 f(x)= xln(x-1) -ax(a∈R) .
(1)若 f(x)在定义域上单调递增,求 a 的取值范围;
(2)若 y= f(x)有极大值 m,求证:m<-4.
2 2
18. (17 ) x y分 已知椭圆 C: 2 + 2 = 1(a>b>0)的一个焦点为 F( -2,0),短轴长为 2 2 .a b
(1)求椭圆 C 的标准方程.
2
(2)直线 l:x= -a 与 x 轴交于点 Q,过焦点 F( -2,0)的直线与椭圆交于 M,N 两点.
2
(i)证明:点 Q 在以 MN 为直径的圆外.
(ii)在 l 上是否存在点 E 使得△EMN 是等边三角形 若存在,求出直线MN 的方程;若不存在,请说明理由.
19. (17 分)如果数列{xn}满足:存在实数 G 1,G2,使得对任意 n∈N ,有 G1 ≤xn≤G2,那么称数列{xn}有界,其
中 G1 为{xn}的下界,G 2为{xn}的上界.
(1)写出数列{xn}无界的定义.
(2) 1已知 an = 2 ,b =
1
n ,数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 An n n
,Bn,讨论数列{An},{Bn}的有界性.
(3)两个整数数列{an},{bn}满足方程(an-an-1)·(an-an-2) +(bn-bn-1)(bn-bn-2)= 0(n= 3,4,5,…) .
证明:存在 k∈N ,使得 ak =ak+2 .
数学 第 4 页(共 4 页)
高三数学　 强化卷 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
答题卡 四、解答题 16. (15 分)
姓名 15. (13 分)
准考
证号 贴条形码区
考生 缺考考生,由监考员贴条形码,并用 2B
禁填 铅笔涂右面的缺考标记。

1. 答卷前,考生须在答题卡和试卷上规定的位置,准确填写本人姓名、准考证号,并核对
准条形码上的信息。 确认无误后,将条形码粘贴在答题卡上相应位置。
填 注 2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔作答,字体
涂 正确填涂　 意
样 　 事
工整,笔迹清楚。
例 项 3. 考生必须在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域范围书写的答案无效;在
草稿纸、试题卷上答题无效。
4. 保持卡面清洁,不准折叠,不得损坏。
一、单选题(共 40分)
　 1 A B C D 　 　 　 　 　 　 5 A B C D
　 2 A B C D 6 A B C D
　 3 A B C D 7 A B C D
　 4 A B C D 8 A B C D
二、多选题(共 18分)
　 9 A B C D
10 A B C D
11 A B C D
三、填空题(每小题 5分,共 15分)
12. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
13. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
14. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
答题卡第一页


请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
17. (15 分) 18. (17 分) 19. (17 分)
　
总分:　 　 　 　 　 　 　 　 　 登分人:　 　 　 　 　 　 　 　 　 复核人:　 　 　 　 　 　 　
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
答题卡第二页
高三数学　 强化卷
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A B D C C B D D ACD AC ACD
2 3
12. 122　 13. 2 　 14.
(2)【证明】第一步:证明 BC⊥平面 PCD
e 5 因为 PD⊥平面 ABCD,BC 平面 ABCD,所以 PD⊥BC.
15. (1)有 99%的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关(6 因为底面 ABCD 为正方形,所以 CD⊥BC,
) 而 PD∩CD=D,PD,CD 平面 PCD,分
所以 BC⊥平面 PCD. ………………………………………… 6 分
34
(2) (7 分) 第二步:证明 DE⊥平面 PBC
55
又 DE 平面 PCD,所以 BC⊥DE.
【解】(1)第一步:完成 2× 2 列联表,算出 χ2 的值,并与对应临界 因为 PD=DC,E 为 PC 的中点,所以 DE⊥PC.
值比较大小 又 PC,BC 平面 PBC,PC∩BC=C,
由题意完成 2×2 列联表如下: 所以 DE⊥平面 PBC. ………………………………………… 8 分
第三步:证明 PB⊥平面 EFD
女 男 合计
因为 PB 平面 PBC,所以 DE⊥PB.
未参加跳绳比赛 75 90 165 又因为 EF⊥PB,DE∩EF=E,DE,EF 平面 EFD,
所以 PB⊥平面 EFD. ………………………………………… 9 分
参加跳绳比赛 25 10 35
(3)【解】第一步:根据定义证明∠DFE 为二面角 C-PB-D 的平面角
合计 100 100 200
由(2)知 PB⊥平面 EFD,又 DF 平面 EFD,所以 PB⊥DF,
200×(75×10-90×25) 2 600 所以∠DFE 为二面角 C-PB-D 的平面角. ………………… 10 分
则 χ2 = =× × × ≈7. 792>6. 635, ……… 4 分100 100 165 35 77 第二步:分别求 DE,DF,EF 的长
第二步:得出结论 设 AB= 2a,则 BD=PC= 2 2 a,PB= 2 3 a,
PC
所以有 99%的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关. 在 Rt△PCD 中,DE= = 2 a,2
…………………………………………………………… 6 分
= PD·BD = 2 6在 Rt△PBD 中, DF a ( 提 示: 等 面 积 法 表 示
(2)第一步: PB 3利用比例分配的分层随机抽样方法算出各层人数
Rt△PBD 的面积,从而求解 DF 的长度),
利用比例分配的分层随机抽样方法从这 100 人中抽取 12 人, PC·BC 2 6
在 Rt△PBC 中,点 C 到 PB 的距离为 = a,
× 12
PB 3
则未参加跳绳比赛的有 75 = 9 人,参加跳绳比赛的有 25×
100
= 1 ×2 6 = 6所以 EF a a. ………………………………… 13 分
12 2 3 3= 3 人. …………………………………………………… 8 分
100 第三步:由余弦定理求夹角
第二步:利用对立事件求概率 在△DFE 中,由余弦定理得
EF2 +DF2 -= DE
2
= 1
老师甲从这 12 人中随机选取 3 人, cos∠DFE ,2EF·DF 2
记“至少有 1 人参加跳绳比赛”为事件 A, ……………………… 14 分
3 因 为 ∠DFE ∈ ( 0, π ), 所 以C9 21 34
则 P(A)= 1-P(A)= 1- 3 = 1- = , πC12 55 55 ∠DFE= ,3
34 即平面 CPB 与平面 PBD 的夹角
所以至少有 1 人参加跳绳比赛的概率是 . ……………… 13 分
55 π
为 . …………………… 15 分
16. (1)证明见解析(4 分) 3
(2)证明见解析(5 分) 17. (1)( -∞ ,2](6 分)
π (2)证明见解析(9 分)
(3) (6 分)
3 (1)【解】第一步:求 f(x)的定义域及导数
(1)【证明】第一步:构造中位线,证明线线平行 由题意知,函数 f(x)的定义域为(1,+∞ ) .
x
如图,连接 AC 交 BD 于点 Q,连接 EQ,则点 Q 为 AC 的中点, f ′(x)= ln(x-1) + -a.x-1
因为 E 为 PC 的中点,所以 EQ∥PA. ………………………… 2 分 第二步:求 f ′(x)的导数和 f ′(x) min
第二步:用线面平行的判定定理证明结论 1 1 x-2令 G(x)= f ′(x),则 G ′(x)= - = , ……… 2 分
又因为 EQ 平面 EDB,PA 平面 EDB, x-1 (x-1)
2 (x-1) 2
所以 PA∥平面 EDB. ………………………………………… 4 分 当 1当 x>2 时,G ′(x) >0,f ′(x)单调递增.
D　1
所以 f ′(x) min = f ′(2)= 2-a. ………………………………… 4 分 Q→M·Q→N = (x1 +3)(x2 +3) +y1y2 …………………………… 9 分
第三步:利用导数研究函数单调性的结论,把问题转化为恒成立问题 = (my 21 +1)(my2 +1) +y1y2 = (m +1)y1y2 +m(y1 +y2 ) +1
因为 f(x)在定义域上单调递增,所以 f ′( x) ≥0 恒成立(提示:函 -= 2m
2 -2+ 4m
2 3m2 ++ 11 = >0,
数在某个区间上单调,求参数的范围,一般情况下,要先转化为导 m2 +3 m2 +3 m2 +3
函数在这个区间上恒大于等于 0 或者恒小于等于 0,然后借助不 故点 Q 在以 MN 为直径的圆外. …………………………… 10 分
等式恒成立的解法即可求出参数的范围),
所以 2-a≥0,即 a≤2,故 a 的取值范围为( -∞ ,2] . ……… 6 (ii)【解】第一步:考虑直线 MN 斜率不存在的情况分
(2)【证明】第一步:利用函数零点存在定理判断 f ′(x)零点的个 假设在 l 上存在点 E 使得△EMN 是等边三角形,当直线 MN 的斜
2
数及范围 2b 2 6
率不存在时, |MN | = = ,此时点 Q 到 MN 的距离为 1,此时
由(1)可知,当 y= f(x)有极大值时,a>2, a 3
此时 f ′(x) min = f ′(2)= 2-a<0, 不存在△EMN 为等边三角形.
且当 x→1 时,f ′(x)→+∞ ;当 x→+∞ 时,f ′(x)→+∞ , 第二步:考虑直线 MN 斜率为 0 的情况
所以当 f ′(x)= 0 时,x= x1 ,x= x2(1在定理的应用), ……………………………………………… 8 分 当直线 MN 的斜率为 0 时,易知不存在△EMN 为等边三角形.
第二步:求极大值的表达式 …………………………………………………………… 11 分
x 第三步:考虑直线 MN 的斜率存在且不为 0 的情况,设出该直线
则 ln(xi -1) +
i =a( i=- 1,2) .xi 1 方程
当 10,f(x)单调递增; 当直线 MN 的斜率存在且不为 0 时,设直线 MN 的方程为 x =
当 x1 当 x>x2 时,f ′(x) >0,f(x)单调递增,
所以 x= x1 为 f(x)的极大值点,则 m= f(x1 ) . ……………… 10 分 第四步:设线段MN 的中点为 G,根据弦长公式表示出|EG |和|MN |
第三步:证明极大值小于-4 设线段 MN 的中点为 G(xG,yG),M( x1 ,y1 ),N( x2 ,y2 ),由( i)得
x y +y
f( x ) = x [ ln ( x - 1) - a] = x é 1 2
2m -6
1 1 1 1 êêln(x1 -1) -ln(x1 -1) -
1 úù
x -1 ú
= yG = = 2 ,由于点 G 在直线 x=my-2 上,所以 xG = 2 ,
1 2 m +3 m +3
x21 　 …………………………………………………………… 12 分-
- .x1 1 - = 　
-
+ 2 6 + = 　 + 2
= - x
2
= -x(x
-2) 直线 EG 的斜率为 m,所以 |EG | 1 m 2 3 1 m ·
设 g(x) - ,则 g ′(x) 2 >0 在(1,2)
+
上恒成立, m 3
x 1 (x-1) 3m2 +3
所以 g(x)在(1,2)上单调递增,所以 g(x)　 …………………………………………………………… 15 分 　 2 +
x2 y2 　 　 　 2 6 (m 1)
18. (1) + = 1(3 ) |MN |
= 1+m2 |y -y | = 1+m21 2 (y1 +y2)2 -4y分 1y2
= 2 .
6 2 m +3
(2)(i)证明见解析(7 分) 第五步:求出 m 的值和直线 MN 的方程
(ii)存在,直线 MN 的方程为 y= x+2 或 y= -x-2(7 分) 　 　 2 2
|EG | + +
(1)【解】第一步:根据题意求出 b 和 c 因为△EMN 是等边三角形,所以 =
3 m 1(3m 3)
,则
|MN | 2 2 　
=
6(m2 +1)
　
由题意得 c= 2,b= 2 , 　 3 2
第二步:求出 a 并写出椭圆的标准方程 ,解得 m = 1,即 m= ± 1,故直线 MN 的方程为 y = x+ 2 或 y =2
所以 a= 6 . …………………………………………………… 2 分 -x-2. ……………………………………………………… 17 分
x2 y2
C 19. (1)对任意 G>0,存在 n∈N
, | x | >G(2 分)
则椭圆 的标准方程为 + = 1. ………………………… 3 分 n
6 2 (2){An}有界,{Bn}无界(8 分)
(2)(i)【证明】第一步:考虑直线 MN 倾斜角为 0 的情况 (3)证明见解析(7 分)
由题意得 Q( -3,0), (1)【解】对任意 G>0,存在 n∈N , | xn | >G. ……………… 2 分
当直线 MN 的倾斜角为 0 时,以 MN 为直径的圆的方程为 x2 + (2)【解】第一步:判断数列{A }的有界性
y2 = 6,显然点 Q 在此圆外. …………………………………… 5 n分
: 对于数列{a }:当 n= 1 时,A =a = 1<2;第二步 直线 MN 倾斜角不为 0 时设出该直线方程,并与椭圆方 n 1 1
程联立 1 1 1 1当 n≥2 时,an = 2 < = - .
n(n-1) n-1 n
当直线 MN 的倾斜角不为 0 时,设直线 MN n的方程为 x=my-2,联
x2 y2 1 1 1{ + = 1, 所以 An = a1 + a2 + a3 + … + an < 1 + ( 1- ) + ( - ) + … + 立 6 2 可得(m2 +3)y2 -4my-2 = 0, 2 2 3
x=my-2, 1 - 1 = 2-
1
<2.
2 2 2 = + ( )Δ 16m 8(m +3)= 24m +24>0 恒成立. n-1 n n
→ → 又对任意 n∈N ,A >0,所以 0点 Q 与圆的位置关系 第二步:先证不等式 x>ln(x+1)(x>0)
设 M(x1 ,y1 ), N(x2 ,y2 ), …………………………………… 7 分 对于数列{bn}:先证当 x>0 时,x>ln(x+1) .
+ = 4m
-2
则 y1 y2 2 ,y y = ,
1 x
+ 1 2 2 + 令 f(x)
= x-ln(x+1),则 f ′(x)= 1- =
m 3 m 3 x+
>0,
1 x+1
D　2
所以 f(x)在(0,+∞ )上单调递增,所以当 x>0 时,f(x) >f(0)= 0, 第二步:讨论点 Pn-1,Pn-2 重合时的情形
所以 x>ln(x+1),x>0 恒成立. an-1 =an-2 ,
第三步:赋值得出不等关系 ①若点 Pn-1 ,Pn-2 重合,则{bn-1 = bn-2 ,
= 1 1 1 -x ,k∈N , >ln (1+ ) , 所以(an a ) 2n-2 +(bn -bn-2 ) 2 = 0,令 则k k k 所以 an =an-2 . ……………………… 14 分
第四步:利用放缩法求和并得出结论 第三步:讨论点 Pn-1,Pn-2 不重合时的情形
n 1 n ( 1 ) n 所以 Bn = ∑ >∑ln 1+ = ∑[ ln( k+ 1) -ln k] = ln 2-ln 1+ ②若点 Pn-1 ,Pn-2 不重合,则点 Pn 在以线段 Pn-1Pn-2 为直径的k= 1 k k= 1 k k= 1 圆上,
ln 3-ln 2+ln 4-ln 3+…+ln(n+1) -ln n= ln(n+1), 所以{ |P 2n-1Pn | }是单调不增的数列(提示:后一个圆的直径小于
对任意 G>0,令 n= [eG],则 Bn >ln(n+1) >G,所以{Bn}无界. 或等于前一个圆的直径) .
　 …………………………………………………………… 10 分 因为 an,bn∈Z,所以 |P 2n-1Pn | ∈N.
(3)【证明】 第一步:记 点 P →n ( an, bn ),由 已 知 写 出 Pn-2Pn 与 第四步:得出结论
P →n-1Pn 之间的关系 当 n 充分大时,要么 |P P | 2n-1 n = |P 2n-2Pn-1 | ,所以 Pn 与 Pn-2 重合,
记点 P (a ,b ),则由条件得 P → →- P ·P - P = 0,n≥3,n∈N . 所以 a =a ;n n n n 2 n n 1 n n n-2
2
…………………………………………………………… 12 分 要么 |Pn-1Pn | = 0,所以当 n 充分大时,所有点 Pn 均重合,所以存
在 k∈N ,使得 ak =ak+2 . …………………………………… 16 分
综上,存在 k∈N ,使得 ak =ak+2 . ………………………… 17 分
D　3
高三数学　强化卷
1. A 故选 B.
1+2i (1+= = 2i)(2
+i)
【深度解析】因为 z =- - + i,所以 | z |
= 1. A. 解法二(贝叶斯公式):设 A= “发送的信号为 0”,B= “接收到的信故选
2 i (2 i)(2 i) 号为 0”,则 A= “发送的信号为 1”,B= “接收到的信号为 1” . 由题
2. B 意得 P ( A) = P ( A) = 0. 5 ( 提 示: 对 立 事 件 的 概 率 和 为 1),
【深度解析】由题意知 A = { x | -x2 +x+ 2 > 0} = { x | - 1 {x∈N | 0≤x≤2} = {0,1,2},所以 A∩B= {0,1} .故选 B.
= P(A)P(B | A)3. D 据贝叶斯公式 P(A | B) ,将数值代P(A)P(B | A) +P(A)P(B | A)
【深度解析】由 3sin(π-α) -4cos α = 3sin α-4cos α = 0,得 3sin α = 0. 5×0. 05 1
4 入可得,P(A |B)= = .故选 B.
4cos α, tan α= ( : 0. 5×0. 9+0. 5×0. 05 19所以 关键 由诱导公式与同角三角函数的基本关3 解法三(列举法计算概率):假设进行了 1 000 次发送信号的试
2 2
) 2sin α 2tan α系求出 tan α 的值 ,所以 1-cos 2α= 2sin2α= = = 验,因为发送信号 0 和 1 是等可能的,所以发送信号 0 和 1 各有sin2α+cos2α tan2α+1
500 次. 当发送信号 0 时,接收为 0 的有 500×0. 9 = 450 次,接收为 1
4 2
2× ( 3 ) 32 9 32 ( ) 的有 500 × 0. 1 = 50 次;当发送信号 1 时,接收为 1 的有 500 × 2 = × = 提示:齐次式和 1 的妙用 .故选 D.( 4 ) 9 25 25 0. 95 = 475 次,接收为 0 的有 500×0. 05 = 25 次,则接收信号为 0 的+13 总次数为 450+25 = 475,其中发送信号为 1 且接收信号为 0 的有 25
4. C 次,所以在接收信号为 0 的条件下, 发送信号为 1 的概率为
2a (1-qn)
【 1深度解析】由题意知,2Sn =Sn+1 +Sn+2,则公比 q≠1,所以 =
25 1
1-q = .故选 B.475 19
a1(1-qn
+1 ) a1(1-qn
+2 )
+ n = n+1 + n+2 2 + - = 7. D
1-q 1-
,所以 2q q q ,即 q q 2 0,解得
q 【深度解析】设圆台的上、下底面圆的圆心分别
a
q= 1(舍)或 q= -2, 6所以 = q2 = 4.故选 C. 为 O2 ,O1 ,其内切球的球心为 O,如图,等腰梯形
a4 ABDC 为圆台的轴截面,且轴截面截内切球 O 得
5. C
大圆,并且是梯形 ABDC 的内切圆,延长 AC,BD
x2 y2
【深度解析】设双曲线的方程为 2 - 2 = 1(a>0,b>0),则把点(1,a b 交于点 S,连接 SO1 ,则点 O,O2 在线段 SO1 上,
1 1 设 SA 切圆 O 于点 T,连接 OT.
1)的坐标代入方程,得 2 - 2 = 1 ①. 因为渐近线的方程为 y =a b 3
设底面圆直径 AB= 2R,由题意可得,sin ∠SAO1 = ,则 cos ∠SAO2 1
=
b b
± x,且双曲线的两条渐近线的夹角为 60°,所以渐近线 y= x 的
a a 1 ,所以 SA=2R,SO1 = 3R.设内切球的半径为 r,则 OT=OO1 =OO2 =2
b 3
倾斜角为 30°或 60°. 若倾斜角为 30°,则 = tan 30° = ,a = 3 b②,
a 3 1r,cos ∠SOT= ,所以 SO= 2r,则 SO1 = 3r = 3R,得 R= 3 r,且 O 为2 2
2
把②代入①,得- 2 = 1,无解3b ( 易错:此处易忽视方程①,直接利 SO1 上靠近点 S 的三等分点,而内切球表面积为 S = 4πr21 ,又因为
= + b
2 2 3 = 2 × = 4 = = - 1
e 1 e= AC 2R R,所以 CO CT AC AT
= AC-AO = R(提示:
用公式 2 而得到 的错误结论 ) ;若倾斜角为 60°, 3 3 2 13 3a
根据轴截面中存在的几何图形的角度及条件确定圆台的下底面半
b 2 2
则 =tan 60° = 3 ,b= 3a③,把③代入①,得 2 = 1,所以 a
2 = ,
a 3a 3 径与内切球半径之间的等量关系是解题的关键),所以圆台的表面
1 2 1 4 26π 26π
2 = 2 = = + b
2 积为 S = π× ( R) +π×R2 +π× ( R+R) × R = R2 = r2所以 b 3a 2,所以离心率 e 1 2
a2
= 2.故选 C. 3 3 3 9 3
(圆台表面积公式:S = πR2 +πr2 +πl(R+r),其中,R,r 分别为圆台
6. B
上、下底面的半径,l 为圆台的母线长),所以圆台的表面积与其内
【深度解析】解法一(条件概率定义和全概率公式):设 A = “发送
26π
的信号为 0”,B = “ 2接收到的信号为 0”,则由题意可知 P( A) = S r2 = 3 = 13
P(A)= 0. 5,P (B | A) = 0. 9,P (B | A) = 0. 1,P ( B | A) = 0. 05, 切球的表面积之比为 .故选 D.S1 4πr2 6
P(B | A)= 0. 95,所以 P(B)= P(A)P(B | A) +P(A)P(B | A) = 0. 5× 8. D
+ × P(A)P(B |A) 0. 5
×0. 05 1
0. 9 0. 5 0. 05= 0. 475,所以 P(A |B)= = = . 【深度解析】解法一(方程联立+数形结合):如图,作函数 y = f(x)
P(B) 0. 475 19
的大致图象,平移直线 y= k-x,由 k-x= x2 +2x+2 可得 x2 +3x+2-k =
D　1
0,Δ= 9-4(2-k) = 1+4k = 0,解得 a=122,故 A正确;对于 B,从表中数据可知,血液中药物浓度 y 随代
k = -
1 1
, k = - , 谢时间 x 的增大而减小,所以相关系数 r<0(提示:若两个变量成正相故当 时 直线
4 4 关关系,则相关系数为正数,呈负相关关系,则相关系数为负数),故
y= -
1 - x 与曲线 y= x2 + 2x + 2 B错误;对于 C,x = 5 时,y = -10. 5×5+122 = 69. 5,所以残差为 68-
4
69. 5=-1. 5,故 C正确;对于 D,令-10. 5x+122= 120×0. 2,得 x≈9. 33,
(x≤ 0) 相切; 当 k = 0 时, 直线
即代谢约 9. 33 小时后就需要补充药物了,故 D错误.故选 AC.
y = - x 经过点( 0,0),且与曲线
11. ACD
y= x2 +2x+2(x≤0)有 2 个不同的
【深度解析】 (赋值法)因为函数 f( x) 是 R 上的偶函数,所以
交点;当 k= 2 时,直线 y= 2-x 经过点(0,2),且与 y= f(x)的图象有
f( -x)= f(x),则[ f( -x)] ′= -f ′( -x)= f ′(x) . 又 g(x)是 f( x)的导
3 个不同的交点. 由图分析可知,当 k∈(0,2]时,y = f(x)的图象与
函数,所以-g( -x)= g(x),故 g(x)是奇函数且 g(0)= 0.
直线 y= k-x 有 3 个不同的交点.故选 D.
由 f(3-x)+f(x)= 1,两边同时求导得-f ′(3-x) +f ′(x)= 0,即-g(3-
解法二(导数的几何意义+数形结合):如图,作函数 y = f( x)的大
x)+g(x)= 0(易错:注意复合函数求导),故函数 g(x)的图象关于
致图象,平移直线 y= k-x,当直线 y = k-x 与曲线 y = x2 +2x+2( x≤
3
0)相切时,设切点横坐标为 x0 ,对 y = x2 + 2x+ 2( x≤0)求导得 y′ = 直线 x= 对称.2
3
2x+ 2 ( x≤0),则 2x + 2 = - 1,解得 x = - ,所以切点坐标为 对于 C,因为 g(x+6)= g( -x-3)= -g( x+3) = -g( -x) = g( x),故0 0 2
C 正确;
(- 3 5 1, ) ,代入 y= k-x,得 k= - . 以下同解法一.2 4 4 对于 A 选项,由选项 C 可知 g(x+6)= g(x),所以函数 g( x)的周
2 期为 6,所以 g( 2 025) = g( 337 × 6 + 3) = g( 3) = g( 0) = 0,故 A解法三(取值检验):取 k = 0,y = -x 与 y = x +2x+2( x≤0)联立得
2 正确;x +3x+2 = 0,此时 Δ>0,所以直线 y= -x 与 y= x2 +2x+2( x≤0)的图
3 π 1
象有两个交点,而直线 y= -x 与 y = ln( x+ 1) ( x> 0)的图象没有交 对于 B 选项,若函数 f( x) = cos x+ ,满足已知条件,则2 3 2
点,所以此时直线 y= -x 与 y= f(x)的图象共有 2 个交点,不符合题 π π 3 1
意,排除选项 A 和 C;取 k= 3,直线 y= 3-x 与 y= x2 +2x+2(x≤0)联 f ′(x)= g(x)= - sin x,则 g ≠ ,故 B 错误;2 3 ( 2 ) 2
2 - -+ - = = 3 13
-3+= 13 对于 D 选项,由 f(3
-x) +f( x) = 1 及 f( x)是偶函数,得 f( x-3) +
立得 x 3x 1 0,解得 x1 ,x2 (舍去),所以直2 2 f(x)= 1,所以 f(x)= -f(x-3) +1,所以 f(x+3)= -f(x) +1,即 f(x+
线 y= 3-x 与 y= x2 +2x+2(x≤0)的图象只有 1 个交点,直线 y= 3-x 6)= -f(x+3) + 1 = f( x),所以函数 f( x) 的周期为 6,所以 f(1) +
与 y= ln(x+1)(x>0)的图象有 1 个交点,所以此时直线 y = 3-x 与 f(2) +f(3) +f(4) +f(5) + f( 6) = [ f( 1) + f( 4)] +[ f( 2) + f( 5)] +
y= f(x)的图象共有 2 个交点,不符合题意,排除选项 B.故选 D. [ f(3) +f(6)] = 1+1+ 1 = 3,因为 f(3-x) + f( x) = 1,所以令 x = 0
9. ACD 得 f(0) +f(3) = 1,又 f(0) = 2,则 f(3) = - 1,令 x = 1 得 f( 1) +
π
【 】 A, , f( x) = sin (2x- ) , ω = 2 025 深度解析 对于 由题可得 函数 所以6 f(2)= 1,则∑ f(n)= 337×3+1-1 = 1 011,故 D 正确.故选 ACD.n= 1
2π 12. 122
2,所以最小正周期 T= = π,故 A 正确;
2 【深度解析】令 x = 1 得,a0 +a1 +a2 +a3 +a4 +a5 = 1①,令 x = - 1 得,
- π = π π kπ
5
对于 B,令 2x +kπ(k∈Z),解得 x= + (k∈Z), f(x) a0 -a1 +a2 -则 a3 +a4 -a5 = ( -3) ②,① - ②得,2 ( a1 + a3 + a5 ) = 1 -
6 2 3 2
( -3) 5 = 244,所以 a1 +a3 +a5 = 122.
π kπ
图象的对称轴为直线 x= + (k∈Z),故 B 错误;
3 2 213.
e2
π 5π π π 3π
对于 C, 当 x ∈ ( , ) , 2x - ∈ ( , ) , ax +b时 则 f ( x ) 在3 6 6 2 2 【深度解析】 设 y = f( x) = eax+b,切点为 ( x0 , e 0 ),则 f ′( x) =
ax+b ax0+b ax +b ax +b
( π 5π ) ae ,f ′(x0 )= ae ,则切线方程为 y-e
0 = ae 0 (x-x0 ),整理
, 上单调递减,故 C 正确;
3 6 = ax0+b ax +b可得 y ae x + ( 1 - ax0 ) e 0 . 因为切线方程为 y = 2x,所以
π π 11π
对于 D, 当 x ∈ ( 0, π ) 时, 2x - ∈ (- , ) , 令 f ( x) = ax +b6 6 6 {ae
0 = 2,
= 1 ax0+b = 1+b = = 2
- ax +b
解得 x0 ,则 ae ae 2,所以 a b+1 ,
( π π π π (1 ax )e
0 = 0, a e
sin 2x- ) = 0, 2x- = 0 2x- = π, x = x = 0所以 或 解得 或6 6 6 12 2b 2x 2(1-x)
所以 ab= b+1 . 设 h( x) = x+1 ,则 h′(x) = x+1 ,令 h′( x) > 0,即7π e e e
,所以 f(x)在(0,π)上有 2 个零点,故 D 正确.故选 ACD.
12 1-x>0,解得 x<1,令 h′(x) <0,即 1-x<0,解得 x>1,所以函数h(x)
在区间( -∞ ,1)上单调递增,在区间( 1,+∞ ) 上单调递减,所以
10. AC
h(x) =h(1)=
2 2
,所以 ab 的最大值为 .
【深度解析】对于 A,把点(4,80)的坐标代入 y = -10. 5x+ a,解得 max e2 e2
D　2
3 16. (1)证明见解析(4 分)
14.
5 (2)证明见解析(5 分)
【深度解析】由题意,设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a, π
(3) (6 分)
2
b +c2 -a2 1+= = = 1
-3 1 3
b,c,不妨令 a 3 ,b c 1,则 cos A = = = - ,所
2bc 2×1×1 2 (1)【证明】第一步:构造中位线,证明线线平行
以 A=
1 1
120°,B = C = 30°,则△ABC 的面积 S = bcsin A = × 1 ×
2 2 如图,连接 AC 交 BD 于点 Q,连接 EQ,则点 Q 为 AC 的中点,
因为 E 为 PC 的中点,所以 EQ∥PA. ………………………… 2 分
× = 31 sin 120° ,所以 →AB·→AC = | →
AB | · | →AC | · cos A = 1× 1×
4 第二步:用线面平行的判定定理证明结论
1 → → → → 3 又因为 EQ 平面 EDB,PA 平面 EDB,cos 120° = - ,同理 BA·BC= |BA | · |BC | cos B = ,→CA·C→B =
2 2 所以 PA∥平面 EDB. ………………………………………… 4 分
→ 3 (2)【证明】第一步:证明 BC⊥平面 PCD |CA | · |C→B | ·cos C= . 设△ABC 的“勃罗卡角”为 θ,则根据性
2 因为 PD⊥平面 ABCD,BC 平面 ABCD,所以 PD⊥BC.
质 1,2 知△ABC 的面积 S = S△PAB +S△PBC +S△PCA(提示:分割法的应
因为底面 ABCD 为正方形,所以 CD⊥BC,
而 PD∩CD=D,PD,CD 平面 PCD,
1
用)= (→AB·→AP+→BC·→BP+→CA·→CP)tan θ(提示:利用性质 1 表示出 所以 BC⊥平面 PCD. ………………………………………… 6 分
2
第二步:证明 DE⊥平面 PBC
1 → → → → → →
三角形的面积)= (AB·AC+BC·BA+CB·CA)·tan θ(提示:利用 又 DE 平面 PCD,所以 BC⊥DE.
2
因为 PD=DC,E 为 PC 的中点,所以 DE⊥PC.
= 1
又 PC,BC 平面 PBC,PC∩BC=C,
性质 2 转化) ×(- 1 + 3 + 3 3 3tan θ= ,解得 tan θ= .2 2 2 2 ) 4 5 所以 DE⊥平面 PBC. ………………………………………… 8 分
15. (1)有 99%的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关(6 第三步:证明 PB⊥平面 EFD
分) 因为 PB 平面 PBC,所以 DE⊥PB.
又因为 EF⊥PB,DE∩EF=E,DE,EF 平面 EFD,
34
(2) (7 分) 所以 PB⊥平面 EFD. ………………………………………… 9 分
55
(3)【解】第一步:根据定义证明∠DFE 为二面角 C-PB-D 的平面角
【解】(1)第一步:完成 2× 2 列联表,算出 χ2 的值,并与对应临界
由(2)知 PB⊥平面 EFD,又 DF 平面 EFD,所以 PB⊥DF,
值比较大小 所以∠DFE 为二面角 C-PB-D 的平面角. ………………… 10 分
由题意完成 2×2 列联表如下: 第二步:分别求 DE,DF,EF 的长
女 男 合计 设 AB= 2a,则 BD=PC= 2 2 a,PB= 2 3 a,
PC
未参加跳绳比赛 75 90 165 在 Rt△PCD 中,DE= = 2 a,2
参加跳绳比赛 25 10 35 PD·BD 2 6
在 Rt△PBD 中, DF = = a ( 提 示: 等 面 积 法 表 示
100 100 200 PB 3合计
Rt△PBD 的面积,从而求解 DF 的长度),
200×(75×10-90×25) 2 600 PC·BC 2 6
则 χ2 = =
100×100× ×
≈7. 792>6. 635, ……… 4 分
165 35 77 在 Rt△PBC 中,点 C 到 PB 的距离为 = a,PB 3
第二步:得出结论 1 2 6所以 EF= × a=
6
a. ………………………………… 13 分
2 3 3
所以有 99%的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关. 第三步:由余弦定理求夹角
…………………………………………………………… 6 分 在△DFE 中,由余弦定理得
2 2 2
(2)第一步:利用比例分配的分层随机抽样方法算出各层人数 EF +DF -DEcos∠DFE= =
1
,
2EF·DF 2
利用比例分配的分层随机抽样方法从这 100 人中抽取 12 人, ……………………… 14 分
12 因 为 ∠DFE ∈ ( 0, π ), 所 以
则未参加跳绳比赛的有 75× = 9 人,参加跳绳比赛的有 25×
100 π∠DFE= ,
3
12 = 3 人. …………………………………………………… 8 分 即平面 CPB 与平面 PBD 的夹角
100 π
为 . …………………… 15 分
第二步:利用对立事件求概率 3
老师甲从这 12 人中随机选取 3 人, 17. (1)( -∞ ,2](6 分)
记“至少有 1 人参加跳绳比赛”为事件 A, (2)证明见解析(9 分)
C39 (1)【解】第一步:求 f(x)的定义域及导数
则 P(A)= 1-P(A)= 1- 3 = -
21 = 341 ,
C12 55 55 由题意知,函数 f(x)的定义域为(1,+∞ ) .
34
所以至少有 1 人参加跳绳比赛的概率是 . ……………… 13 分
55 D　3
x Δ= 16m2 +8(m2
+3)== - + - 24m
2 +24>0 恒成立.
f ′(x) ln(x 1) a.
x-1
第三步:设出点 M 和 N → →的坐标,通过判断 QM·QN 的符号,得出
第二步:求 f ′(x)的导数和 f ′(x) min 点 Q 与圆的位置关系
-
令 G(x)= =
1 - 1 = x 2f ′(x),则 G ′(x) - 2 2 , ……… 2 分 设 M(x1 ,y1 ), N(x2 ,y2 ), …………………………………… 7 分x 1 (x-1) (x-1) -
当 14m = 2y2 2 ,y1y2 2 ,
当 x>2 时,G ′(x) >0,f ′(x) m +3 m +3单调递增.
所以 f ′(x) min = f ′(2)= 2-a. ………………………………… 4 Q
→M·Q→分 N = (x1 +3)(x2 +3) +y1y2 …………………………… 9 分
2
第三步:利用导数研究函数单调性的结论,把问题转化为恒成立问题 = (my1 +1)(my2 +1) +y1y2 = (m +1)y1y2 +m(y1 +y2 ) +1
2 2 2
因为 f(x)在定义域上单调递增,所以 f ′( x) ≥0 恒成立(提示:函 -= 2m
-2+ 4m + 3m
+1
2 2 1 = 2 >0,
数在某个区间上单调,求参数的范围,一般情况下,要先转化为导 m +3 m +3 m +3
函数在这个区间上恒大于等于 0 或者恒小于等于 0,然后借助不 故点 Q 在以 MN 为直径的圆外. …………………………… 10 分
等式恒成立的解法即可求出参数的范围), (ii)【解】第一步:考虑直线 MN 斜率不存在的情况
所以 2-a≥0,即 a≤2,故 a 的取值范围为( -∞ ,2] . ……… 6 分
(2)【证明】第一步: 假设在 l 上存在点 E 使得△EMN 是等边三角形,当直线 MN 的斜利用函数零点存在定理判断 f ′(x)零点的个
2b2数及范围 率不存在时, |MN | = =
2 6
,此时点 Q 到 MN 的距离为 1,此时
a 3
由(1)可知,当 y= f(x)有极大值时,a>2,
此时 f ′(x) min = f ′(2)= 2-a<0, 不存在△EMN 为等边三角形.
且当 x→1 时,f ′(x)→+∞ ;当 x→+∞ 时,f ′(x)→+∞ , 第二步:考虑直线 MN 斜率为 0 的情况
所以当 f ′(x)= 0 时,x= x1 ,x= x2(1在定理的应用), ……………………………………………… 8 分 当直线 MN 的斜率为 0 时,易知不存在△EMN 为等边三角形.
第二步:求极大值的表达式 …………………………………………………………… 11 分
x 第三步:考虑直线 MN 的斜率存在且不为 0 的情况,设出该直线
则 ln(xi -1) +
i =
- a( i
= 1,2) .
xi 1 方程
当 10,f(x)单调递增;
x =
当 1 2 时,f ′(x) <0,f(x)单调递减;
当 x>x 时,f ′(x) >0,f(x)单调递增, my-2(m≠0) .2
所以 x= x1 为 f(x)的极大值点,则 m= f(x1 ) . ……………… 10
分 第四步:设线段MN 的中点为 G,根据弦长公式表示出|EG |和|MN |
第三步:证明极大值小于-4 设线段 MN 的中点为 G(xG,yG),M( x1 ,y1 ),N( x2 ,y2 ),由( i)得
x
f( x ) = x [ ln ( x - 1) - a] = x éêêln(x
1 ù y1 +y2 2m -61 1 1 1 1
-1) -ln(x1 -1) - =x -1ú ú yG = = 2 ,由于点 G 在直线 x=my-2 上,所以 xG = 2 ,1 2 m +3 m +3
x2
- 1 . 　 …………………………………………………………… 12 分
x1 -1
2 - 　 2 -
= - x x(x 2) - = +
6 + = 　 + 2
设 g(x) - ,则 g ′(x)
= - 2 >0 在(1,2) ,
直线 EG 的斜率为 m,所以 |EG | 1 m 2 3 1 m ·上恒成立
x 1 +(x-1) m 3
2
所以 g(x)在(1,2)上单调递增,所以 g(x)2 , ……………………………………………………… 14 分
　 …………………………………………………………… 15 分 m +3
x2 y2 　 2
18. (1) + = 1(3 分) 　
6 2 |MN | = 1+m
2 |y1 -y =
　 + 2 　 2 6 (m
+1)
2 | 1 m (y +y )21 2 -4y1y2 = 2 .m +3
(2)(i)证明见解析(7 分)
(ii)存在,直线 MN 的方程为 y= x+2 或 y= -x-2(7 分) 第五步:求出 m 的值和直线 MN 的方程
(1)【解】 　第一步:根据题意求出 b 和 c |EG | 　 3 m2 += 1(3m
2 +3)
因为△EMN 是等边三角形,所以 ,则 =
　 　
由题意得 c= 2,b= 2 , |MN | 2 2 6(m2 +1)
第二步:求出 a 　并写出椭圆的标准方程 3
,解得 m2 = 1,即 m= ± 1,故直线 MN 的方程为 y = x+ 2 或 y =
所以 a= 6 . …………………………………………………… 2 分 2
x2 y2 -x-2. ……………………………………………………… 17 分
则椭圆 C 的标准方程为 + = 1. ………………………… 3 分
6 2 19. (1)对任意 G>0,存在 n∈N , | xn | >G(2 分)
(2)(i)【证明】第一步:考虑直线 MN 倾斜角为 0 的情况 (2){An}有界,{Bn}无界(8 分)
由题意得 Q( -3,0), (3)证明见解析(7 分)
当直线 MN 的倾斜角为 0 时,以 MN 为直径的圆的方程为 x2 + (1)【解】对任意 G>0,存在 n∈N , | xn | >G. ……………… 2 分
y2 = 6,显然点 Q 在此圆外. …………………………………… 5 分
(2)【解】第一步:判断数列{A }的有界性
第二步:直线 MN 倾斜角不为 0 n时设出该直线方程,并与椭圆方
程联立 对于数列{an}:当 n= 1 时,A1 =a1 = 1<2;
当直线 MN 的倾斜角不为 0 时,设直线 MN 的方程为 x=my-2,联 1 1 1 1当 n≥2 时,an =
2 2 n2
< = -
x y n(n-
.
1) n-1 n
{ + = 1, 立 6 2 可得(m2 +3)y2 -4my-2 = 0, 所以 A = + + + 1 1 1a a a … + a < 1 + 1- + - + … +
x=my-2, n 1 2 3 n ( 2 ) ( 2 3 )
D　4
( 1 - 1 ) = 12- <2. 第二步:讨论点 Pn-1,Pn-2 重合时的情形n-1 n n
=
又对任意 n∈N
a a ,
,An >0,所以 0n-1 n-2
所以 n 有界 分 若点 n-1 ,Pn-2 重合,则{bn-1 = bn-2 ,
第二步:先证不等式 x>ln(x+1)(x>0)
所以(a -a 2n n-2 ) +(bn -b 2n-2 ) = 0,
对于数列{bn}:先证当 x>0 时,x>ln(x+1) . 所以 an =an-2 . ……………………… 14 分
1 x
令 f(x)= x-ln(x+1),则 f ′(x)= 1- = >0, 第三步:讨论点 Pn-1,P+ + n-2
不重合时的情形
x 1 x 1
所以 f(x)在(0,+∞ )上单调递增,所以当 x>0 时,f(x) >f(0)= 0,
②若点 Pn-1 ,Pn-2 不重合,则点 Pn 在以线段 Pn-1Pn-2 为直径的
+ 圆上,所以 x>ln(x 1),x>0 恒成立.
所以{ |P 2n-1Pn | }是单调不增的数列(提示:后一个圆的直径小于
第三步:赋值得出不等关系 或等于前一个圆的直径) .
= 1 1 1x ,k∈N , >ln (1+ ) , 因为 an,bn∈Z,所以 |P 2令 则 n-1Pn | ∈N.k k k 第四步:得出结论
第四步:利用放缩法求和并得出结论 当 n 充分大时,要么 |P P | 2 2n-1 n = |Pn-2Pn-1 | ,所以 Pn 与 Pn-2 重合,
n n n
所以 Bn =
1
∑ >∑ln (1+ 1 ) = ∑[ ln( k+ 1) -ln k] = ln 2-ln 1+ 所以 an =an-2 ;k= 1 k k= 1 k k= 1 要么 |Pn-1Pn | 2 = 0,所以当 n 充分大时,所有点 Pn 均重合,所以存
ln 3-ln 2+ln 4-ln 3+…+ln(n+1) -ln n= ln(n+1), 在 k∈N ,使得 ak =ak+2 . …………………………………… 16 分
对任意 G>0,令 n= [eG],则 Bn >ln(n+1) >G,所以{Bn}无界. 综上,存在 k∈N ,使得 ak =ak+2 . ………………………… 17 分
　 …………………………………………………………… 10 分
(3)【证明】 第一步:记 点 Pn ( an, b
→
n ),由 已 知 写 出 Pn-2Pn 与
P →n-1Pn 之间的关系
记点 Pn(an,bn),则由条件得 P
→ →
n-2Pn·Pn-1Pn = 0,n≥3,n∈N .
…………………………………………………………… 12 分
D　5

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