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2024-2025学年河南省天一大联考高二下学期4月期中测试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
2.的展开式的第项为( )
A. B. C. D.
3.若随机变量的分布列为，则( )
A. B. C. D.
4.已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
5.若随机变量的所有可能取值为，，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知等差数列的公差，前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
7.年月深圳福田区推出基于开发的数智员工，并上线福田区政务大模型版，该模型能进一步驱动政务效能全面跃升某地也准备推出名数智员工假定这名数智员工没有区别，分别从事，，三个服务项目，若每个项目至少需要名数智员工，则不同的分配方法种数为( )
A. B. C. D.
8.已知盒中装有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有个白球，个红球，每次从盒中随机抽取个小球，观察颜色后再放回盒中，直到两种颜色的球都取到，且取到的一种颜色的球比另一种颜色的球恰好多个时停止取球，则停止取球时取球的次数为的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间直角坐标系中，已知点，与点不重合，则下列结论正确的是( )
A. 若点，关于平面对称，则
B. 若点，关于轴对称，则
C. 若，则
D. 若，则
10.已知函数的导函数为，则( )
A. 一定是偶函数
B. 一定有极值
C. 一定存在递增区间
D. 对任意确定的，恒存在，使得
11.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，点从点处出发，每次向上或向右移动个单位长度，直至到达点时停止移动，则下列结论正确的是( )
A. 移动的方法共有种
B. 仅有次连续向上移动的方法有种
C. 经过点的移动方法有种
D. 若对任意，从第次到第次的移动方向相同，则移动的方法有种
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某地高中生的肺活量单位：服从正态分布，若该地有名高中生，则其中肺活量低于的高中生的人数约为 ．参考数据：．
13.若函数的图象在处的切线与在处的切线互相垂直，则的一个值为 ．
14.甲、乙、丙三人进行篮球传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则第次传球传给乙的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知椭圆经过点，且的离心率．
Ⅰ求的方程
Ⅱ若直线经过点且与相切，求的方程．
16.本小题分
如图，在长方体中，，，，D.
Ⅰ求证：平面
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
河南省是我国小麦产量第一大省，约占全国小麦产量的小麦品种是在河南省广泛种植的一个品种，某科研基地在实验田种植的品种小麦收获时，随机取个该小麦的种子样本，每个样本均为粒，测得每个样本的质量称为千粒重，单位：分别为，，，，，，，，，，记这个数据的平均数为．
Ⅰ从这个数据中随机选取个，记这个数据中大于的个数为，求的分布列
Ⅱ用这个样本中千粒重大于的频率作为每个样本千粒重大于的概率，从品种小麦种子中随机抽取个样本，千粒重大于的样本最有可能是几个
18.本小题分
已知数列满足，．
Ⅰ求证：是等比数列
Ⅱ若，求数列的前项和
Ⅲ判断是否存在，使得，，成等差数列，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
若函数在区间上有意义，且存在，使得对任意的，当时，单调递增，当时，单调递减，则称为上的“抛物线型函数”，其中为在上的峰值．
Ⅰ若函数，试判断是否是区间上的“抛物线型函数”
Ⅱ若是区间上的“抛物线型函数”，求实数的取值范围
Ⅲ若函数，求证：是区间上的“抛物线型函数”，并求在区间上的峰值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题可得解得
所以的方程为．
由题知直线的斜率存在，设的方程为，即．
由得．
因为与相切，
所以，解得，
故的方程为．
16.解：Ⅰ因为平面，平面，所以．
又，，、平面
所以平面D.
Ⅱ由题易知∽，所以，解得．
以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则令，
得为平面的一个法向量．
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：(Ⅰ)==46,
10个数据中大于46的有4个,
所以X的所有可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(Ⅱ) 从A品种小麦种子中随机抽取20个样本,记千粒重大于g的样本数为Y,
则Y~B(20,),
,
因为40-2n-(3n+3)=37-5n,
所以当n7时,37-5n>0,P(Y=n+1)>P(Y=n),
当n8时,37-5n<0,P(Y=n+1)< P(Y=n),
所以P(Y=8)的概率最大,
所以千粒重大于g的样本最有可能是8个.
18.Ⅰ证明：由条件得，，
所以．
所以是首项为，公比为的等比数列
Ⅱ解：由Ⅰ知，，所以，即．
设，
则，
两式相减，得
，
所以，
所以．
Ⅲ解：由Ⅱ知，所以，
假设存在，使得，，成等差数列，
则，
所以，
即，即，
当时，，，，
当时，，
所以不存在，使得，，成等差数列．
19.解：因为，所以，
设，则当时，，
所以在区间上单调递减，且，
所以，在区间上单调递减，
故不是区间上的“抛物线型函数”．
因为，所以．
当时在区间上单调递增，在区间上单调递减，
但区间为在区间上单调递增，故不满足题意，
当时，令，得或．
若，当时，，在区间上单调递增，
当时在区间上单调递减，
当时，在区间上单调递增，
若是区间上的“抛物线型函数”，则解得．
若在区间上单调递减，在区间上单调递增，
在区间上单调递减，不存在，使得在区间上先增后减，故不满足题意．
综上，的取值范围是．
Ⅲ因为，所以
设，则在区间上单调递减，且，，
所以存在，使得，
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
所以是区间上的“抛物线型函数”
由，得，，
所以，
即在区间上的蜂值为．
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