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2024-2025学年湖北云学名校联盟高一下学期4月期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的面积是( )
A. B. C. D.
5.在中，点为线段的中点，点在线段上，且，若，则( )
A. B. C. D.
6.设的面积为，角，，所对的边分别为，，，且，若，则此三角形的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
7.已知，都是锐角，，，则( )
A. B. C. D.
8.法国数学家皮埃尔德费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点在费马问题中所求的点称为费马点已知，，分别是三个内角，，的对边，且，，若点为的费马点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 若复数，则
B. 若复数，则
C. 若复数，则实数或
D. 若复数满足，则
10.已知三个内角，，的对边分别为，，，且，则下列选项正确的是( )
A. 若，则边上高的最大值为
B. 若，则周长的最小值为
C. 若的角平分线长为，且，则
D. 若是锐角三角形，且，则的取值范围是
11.已知函数，若方程有三个不相等的实根，，，则下列选项正确的有( )
A. B.
C. D. 方程有三个不相等的实数根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，且，则
13.在中，已知，，且满足条件的三角形有两个，则边的取值范围是
14.在中，边长为，为的中点，长为，点、分别为的重心和外心，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，其中为虚数单位，
若为纯虚数，求的值
若是关于的方程的一个根，求实数，的值．
16.本小题分
已知，，函数．
求函数的对称中心及单调减区间
若，且，求的值．
17.本小题分
在中，已知，，，分别是，上的点，且，，与相交于点，．
求实数的值
求的余弦值．
18.本小题分
如图，四边形中，，，，，，且．
求
求的取值范围
求四边形周长的最小值．
19.本小题分
已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径．
若，求的值
在的条件下，求边长的最大值
若的面积为，且，求面积的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，而为纯虚数，
所以，解得，即的值为．
因为是关于的方程的一个根，且、为实数，
所以也是关于的方程的一个根，
因此，．
16.解：
令，，解得，，所以函数的对称中心为，，
令，，解得，。
所以函数的单调减区间为，
，则。
因为，所以，可得，
所以
17.解：如图：
因为，所以，
因此．
因为，所以．
因为，所以．
因为，，三点共线，所以，
因此，
而与不共线，所以，解得，即实数的值为．
因为，，，所以，，，
因为，，
所以
，
，
，
因此．
18.解：已知，
则，
则，即
因为，所以，
即
因为，，为公共边，
所以．
设与相交于点，则，
在中，，
在中，
所以
由，得
，
又
因为，所以，所以．
，
所以的取值范围是．
四边形的周长，
，，．

令，则，
，
，
，
所以四边形周长的最小值为．
19.
解： 由 得 ，因为 为锐角三角形，所以 ，由题知 ，故 ；
设 ，且 ，同理 ，由 得 ，
又 ，则 ，
则，当且仅当时等号成立，
即，即，
所以，
所以边长的最大值为；
由 ，则 ，且 ，同理 ，
因为 ，即 ，
又 ，
所以 ，
则 ，则 ，
由 ，，得，
得，得 ，所以 ，
所以，
所以 ．

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