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2025年福建省福州三中高考数学第十六次质检试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合和，则( )
A. B.
C. D.
2.复数在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
4.记为等差数列的前项和若，，则( )
A. B. C. D.
5.在“，，，，，，，”这个素数中，任取个不同的数，则这两个数之和仍为素数的概率是( )
A. B. C. D.
6.如图，点，，，，为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是( )
A. B.
C. D.
7.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知满足，且在上单调，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一口袋中有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中无放回的随机取两次，每次取个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件：取出的两球同色；事件：取出的两球中至少有一个红球，则( )
A. 事件，为互斥事件 B. 事件，为独立事件
C. D.
10.设函数，则下列说法正确的是( )
A. 没有零点 B. 当时，的图象位于轴下方
C. 存在单调递增区间 D. 有且仅有两个极值点
11.已知椭圆：的两个焦点分别为，其中，点在椭圆上，点是圆：上任意一点，的最小值为，则下列说法正确的是( )
A. 椭圆的焦距为
B. 过作圆切线的斜率为
C. 若、为椭圆上关于原点对称且异于顶点和点的两点，则直线与的斜率之积为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，则 ______．
13.在平面直角坐标系中，已知，，若上有且仅有四个不同的点，的面积为，则实数的取值范围是______．
14.已知抛物线，弦过抛物线的焦点，过两点、分别作准线的垂线，垂足分别为、，设的中点为，线段的垂直平分线交轴于，则 ______；若的中点为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列，若，点，在斜率是的直线上．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
已知在中，其角、、所对边分别为、、，且满足．
若，求的外接圆半径；
若，且，求的内切圆半径．
17.本小题分
在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，．
求证：；
若，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
恰逢盛世，风调雨顺某稻米产地今秋获得大丰收，为促进当地某品牌大米销售，甲、乙两位驻村干部通过直播宣传销售所驻村生产的该品牌大米通过在某时段名顾客在观看直播后选择在甲、乙两位驻村干部的直播间简称甲直播间、乙直播间购买的情况进行调查假定每人只在一个直播间购买大米，得到以下数据：
网民类型 在直播间购买大米的情况 合计
在甲直播间购买 在乙直播间购买
本地区网民
外地区网民
合计
依据小概率值的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关；
用样本分布的频率分布估计总体分布的概率，若共有名网民在甲、乙直播间购买大米，且网民选择在甲、乙两个直播间购买大米互不影响，记其中在甲直播间购买大米的网民数为，求使事件“”的概率取最大值时的值．
附：，其中．
19.本小题分
已知函数．
判断函数的单调性；
证明：当时，；
．
参考答案
1.
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14.
15.

16.解：因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，
所以，所以外接圆半径．
所以；
因为，由题可知，所以，
又因为，可得，
因为．
由的面积，得．
17.证明：取的中点为，连结，，
易得，
又，，，
，
则且为的中点，
，
，面，
面，；
解：
过作面，垂足为，连接，，
，
，，，平面，
，同理可证，
为等腰直角三角形，，
四边形为正方形且边长为．
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，
设平面的法向量，则，解得，
取，则，，
，
设平面的法向量，则，解得，
取，则，，
，
设平面与平面夹角为，
，
故平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：零假设：网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区无关．
经计算得：，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关，这种推断出错的概率小于．
利用样本分布的频率估计总体分布的概率，可知网民选择在甲直播间购买大米的概率为，
则，记，，
则，
则问题等价于求当取何值时取最大值．
由，化简得，
即，所以，
因为，解得，
所以使事件“”的概率取最大值时的值为．
19.解：，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
当时，，，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，，，
，，
，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
当时，，
所以在上单调递增，
当时，，
，，
，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在，上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
证明：由知，当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，故，
由可得，当时，，则，
所以，
所以，即，
令，则，
所以，即，
令，
则，且不恒为零，
所以在上单调递增，
所以，
所以，
所以，，
所以．
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