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2025年浙江省绍兴市高考数学适应性试卷（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知向量满足，且与的夹角为，则( )
A. B. C. D.
4.直线被圆截得的弦长为( )
A. B. C. D.
5.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则可以是( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则( )
A. 当时，是偶函数，且在区间上单调递增
B. 当时，是奇函数，且在区间上单调递减
C. 当时，是偶函数，且在区间上单调递减
D. 当时，是奇函数，且在区间上单调递增
7.已知双曲线：的左焦点为，点，在的右支上，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知的两个内角，都是关于的方程的解，其中，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在某校文艺汇演中，六位评委对某小品节目进行打分，得到一组分值，，，，，，若去掉一个最高分和一个最低分，则( )
A. 这组分值的极差变小 B. 这组分值的均值变大
C. 这组分值的方差变小 D. 这组分值的第百分位数不变
10.已知函数，则( )
A. 在区间内存在零点 B. 是的极小值点
C. 在区间内存在极大值 D. 在区间上单调递减
11.已知数列满足，，则( )
A. 数列为递增数列 B. ，
C. ， D. ，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记的内角，，的对边分别为，，，若，则 ______．
13.已知偶函数的定义域为，且，则的值域为______．
14.设点在“笑口”型曲线上，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
记的两个零点分别为，，求曲线在点处的切线方程．
16.本小题分
已知数列满足，
记，求，，并证明数列是等比数列；
记，求满足的所有正整数的值．
17.本小题分
已知椭圆的焦距为，且过点．
求的方程；
设，为的左、右顶点，在过点且垂直于轴的直线上任取一点，过作的切线，切点为异于，作，垂足为记和的面积分别为，，求的值．
18.本小题分
如图，在四面体中，，，，记二面角为，，分别为，的中点．
求证：；
若，，求直线与平面所成角的正弦值；
设在四面体内有一个半径为的球，若，求证：．
19.本小题分
某科技公司招聘技术岗位人员一名经初选，现有来自国内三所高校的名应届毕业生进入后面试环节其中校和校各名，校名，名面试者随机抽取，，，，号的面试序号．
若来自校的名毕业生的面试序号分别为，，，，且，来自校的名毕业生的面试序号分别为，，，，且，来自校的名毕业生的面试序号分别为，，且．
求概率，；
记随机变量，求的均值．
经面试，第位面试者的面试得分为，且他们的面试得分各不相等，公司最终录用得分最高者为提高今后面试效率，现人事部门设计了以下面试录用新规则：，且，，集合中的最小元素为，最终录用第位面试者如果以新规则面试这名毕业生，证明：面试得分第一、二按得分从高到低排的两名毕业生之一被录用的概率不小于．
参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
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7.【答案】
8.【答案】
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10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.解：由题可得，函数的定义域为，
则，
所以当时，，
当时，，
所以函数的单调递减区间为，
单调递增区间为；
由知，，
，
由题，的两个零点分别为，，
所以，则，
则所求切点为，斜率，
所以切线方程为，
故所求切线方程为．
16.解：因为，，，所以，．
又因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
由知，所以，
所以，
因为单调递增，
且，
所以正整数的所有取值为，，，．
17.解：因为椭圆的焦距为，
所以，
解得，
因为椭圆过点，
所以，
又，
解得，，
则椭圆的方程为；
设直线的方程为，，
联立，消去并整理得，
因为直线与相切，
所以，
整理得，
所以，
所以，
因为点在直线上，
所以，
设与交于点，
因为直线的方程为，
又，
所以，
所以，
则为中点，
所以点，到直线的距离相等．
故．
18.解：证明：取中点，连接，，又，分别为，的中点，
则，，
因为，
所以，，又，，平面，
所以平面，又平面，
所以；
由知是二面角的平面角，所以．
如图，以为原点，直线，分别为，轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，
可取，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
证明：因为与的面积为，
设在平面内的射影为，即平面，
又平面，所以，又，，平面，
所以平面，又平面，所以，又，
所以为二面角的平面角，
所以点到平面的距离，
因此四面体的体积为．
又，，平面，所以，
所以到直线的距离等于，
所以边的高，
所以的面积，
注意到≌，因此的面积也为，
所以四面体的表面积为，
因此四面体的内切球半径，
所以，
即．
19.解：，．
的可能取值为，，，，，则，
所以
证明：第一种情况，录用了面试得分第一的人．若面试得分第一的人在第位，要使得其被录用，
则在他前面的个人中的最高分必然在前位，其他个人可以任意排列，在得分第一后面的个人任意排列，这种情况的概率为：．
第二种情况，录用了面试得分第二的人．
若面试得分第一的人在前三位，则第二的人在第位，其他人任意排列，
这种情况的概率为，若面试得分第一的人不在前二位，那么他一定在第二的人后面，
第二的人在第位，同样在他前面的个人中的最高分必然在前位，
其他个人可以任意排列，在得分第二后面的含第一个人任意排列，
这种情况的概率为：，
综上，面试得分第一、二的两名毕业生之一被录用的概率为：．
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