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2025年河北省承德市高考数学模拟试卷（二）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的共轭复数在复平面上对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.以集合的子集为元素构成的集合记作集合，以集合的子集为元素构成的集合记作集合，则集合中元素的个数为( )
A. B. C. D.
3.已知点在抛物线上，抛物线的焦点为，则( )
A. B. C. D.
4.若向量与向量共线，则在上的投影向量是( )
A. B. C. D.
5.已知函数是定义在上的奇函数，若，且当时，，则不等式的解集可以表示为( )
A. B.
C. D.
6.在中，，，且，则的面积的最大值是( )
A. B. C. D.
7.一只纸箱中装有双不同鞋码的运动鞋，售货员从中随机取出只鞋子凑成了双相同鞋码的鞋，则的数学期望( )
A. B. C. D.
8.数列的前项和与前项积分别为，，已知，，，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机事件，满足，，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 事件，相互独立
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 若函数有两个极值点，，则
B. 函数至少有一个极值，且极小值为
C. 使得方程有三个不相等的实数根
D. 若函数的极大值点为，且，则
11.如图，飘带函数的图象类似于飘带，已知图象上两个点，关于原点对称点的横坐标，过点，分别作两坐标轴的垂线得到矩形，矩形与坐标轴的交点分别记为，，，将图象沿轴折叠，得到一个的二面角，此时的最小值记作；将图象沿轴折叠，得到一个的二面角，此时的最小值记作则下列结论正确的是( )
A.
B. 若，当图象沿轴折叠时，
C.
D. 若，当图象沿轴折叠时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.轴截面是等边三角形的圆锥称为等边圆锥若某等边圆锥的母线长为，过圆锥高的中点作平行于底面的平面，该平面将圆锥分割成一个小圆锥和一个圆台，则该圆台的体积为______．
13.若函数，，，且，满足，则的最大值为______．
14.已知椭圆的两个顶点分别是，，离心率为，直线与该椭圆交于点，，直线，，的斜率分别为，，，则的值为______；若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某市甲、乙两支足球俱乐部各有注册球员名，下表是两支俱乐部在冬训期间训练一小时的跑动数据信息：
步数万步 合计
甲俱乐部
乙俱乐部
其中，，，四个数据成等差数列，，，成公比为正整数的等比数列．
以每组数据的区间中点估计本组数据的平均值，求甲俱乐部队员跑动步数的平均数，并估计乙俱乐部队员跑动步数的分位数结果保留两位小数；
两队比赛半场休息期间，名队员，，，围圈传球热身，球从脚下开始，等可能地随机传向另外人中的人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外人中的人，如此不停地传下去，记第次传球之前球在脚下的概率为，求数列的通项公式．
16.本小题分
已知函数的部分图象如图所示，图象与轴的交点为，且在区间上恰有一个极大值和一个极小值．
求的值及的取值范围；
若是整数，将的图象向右平移个单位长度得到的图象，求的最大值．
17.本小题分
已知函数．
求函数的图象在处的切线方程．
函数是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，请说明理由．
证明：，且
18.本小题分
如图，已知三棱锥中异面的棱相等，即，，，，，，，，的中点为，，，．
证明：；
求三棱锥的表面积，以及三棱锥外接球的半径；
求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，过作以实轴为直径的圆的切线，在第二象限的切点为，直线与一条渐近线的交点在第一象限，且为坐标原点．
求双曲线的离心率．
双曲线经过点，动点，在双曲线的右支上，且直线经过右焦点，，的内心分别是，．
求证：点，在定直线上；
求的取值范围．
参考答案
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13.
14.
15.解：，因为，，，四个数据成等差数列，所以，公差，
所以，，
，因为，，成公比为正整数的等比数列，设公比为，
所以，解得或舍去，所以，．
．
因为乙俱乐部前两组人数为，前三组人数为，所以分位数在第三组中，
所以，解得．
第次传球之前球在脚下的概率为，易知，．
当时，第次传球之前球在脚下的概率为，不在脚下的概率为，
显然，故，
设，则，则，
故数列是公比为，首项为的等比数列，
因此，．
16.解：由题意可得， ，所以，
当时，
因为在区间上恰好有一个极大值和一个极小值，
所以，解得，
故；
因为，是整数，所以，，
故，
，
因为，令，故，
因为的图象的对称轴为直线，
当时，取得最大值，即函数的最大值为．
17.解：由题意得，，
，，
故切线方程为，
整理得．
函数在定义域上不存在极值．理由如下：
由得，令，则，
且，在上恒成立，
所以在区间上单调递增，且．
因此在上恒成立，函数单调递减，不存在极值．
又在上恒成立，所以单调递减，且．
因此在上恒成立，函数单调递减，不存在极值．
综上所述，函数不存在极值．
证明：由可知函数在上单调递减，
令，且，
当时，，显然，即，
也就是．
将，即，，，，
累加可得．
当时，，即．
综上所述，，且
18.解：证明：连接，，，，
因为，，，的中点分别为，，，，
所以，，且，，，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，又，
所以，
则四边形为菱形，
则；
由知，四边形为菱形，，连接，，，．
同理可证得四边形为菱形，，连接，，，，
同理可证得四边形为菱形，，
因为，，，
所以，
，
，
则，，，
在中，由余弦定理得，
则，
则，
所以三棱锥的表面积为．
将三棱锥补形成长方体，建立空间直角坐标系，如下图所示：
由几何知识得，，，，
解得，，，
易知三棱锥外接球的半径．
由知，，，，
则，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，
取，得，
设平面的一个法向量为，
则，
取，得，
设平面与平面夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
19.解：由题意得，，，
所以在中，，
所以切点是渐近线与圆的交点，
又，，
所以的斜边，，
因为点在第一象限内如图所示，则，
渐近线方程为，离心率为；
由得，，
故双曲线方程为，
将点代入，可得，
所以双曲线方程为．
证明：令点在第一象限内，设的内切圆与，，的切点分别为，，，
则，
因为，，，
所以，
因此，切点与右顶点重合，圆心在直线即上，
同理，圆心也在直线即上；
如图，连接，，由易得，都垂直于，
且，平分，，
设，．
当时，．
当时，
在和中，因为，，，
则，，
．
因为，
所以，
因为，
所以或，
所以的取值范围是，
综上所述，即的取值范围是．
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