资源简介

2025年湖北省高考数学调研试卷（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边上的高为当底面水平放置时水面高度为如图当侧面水平放置时如图，水面高度为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，满足，且在上的投影向量为单位向量，则( )
A. B. C. D.
6.已知为坐标原点，为双曲线的右焦点，，为的左右顶点，为上一点，轴，过的直线分别交轴和线段于，两点，直线交轴于点，且，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.如图，半径为的与半径为的内切于点，沿的圆弧无滑动的滚动一周若上一定点从点出发随着的滚动而运动，设点的轨迹为，则( )
A. 是半径为的圆
B. 是半径为的圆
C. 是长度为的线段
D. 是长度为的线段
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. ，，，，是一组样本数据，去掉其中的最大数和最小数后，剩下个数的中位数小于原样本的中位数
B. 若事件，相互独立，且，，则事件，不互斥
C. 若随机变量，，则
D. 若随机变量的方差，期望，则随机变量的期望
10.已知，，分别为的内角，，所对的边，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. ，
11.已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，，设直线为抛物线在点处的切线，过点作的垂线交抛物线于另一点，若，则下列说法正确的是( )
A. B. 直线的斜率为
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.已知函数恰有个极值点，则实数的取值范围为______．
14.甲乙丙三个班级共同分配个三好学生名额，每班至少个名额，用表示这三个班级中分配的最少名额数，则的数学期望 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是无穷正整数数列，定义操作为删除数列中除以余数为的项，剩下的项按原先后顺序不变得到新数列若，，进行操作后剩余项组成新数列，设数列的前项和为．
求；
设数列满足，求数列的前项和．
16.本小题分
设函数，，．
当，时，讨论的单调性；
若，且和为的导函数的零点均在集合中，求的极小值．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，为坐标原点，，分别是椭圆的左焦点，右顶点，过的直线交椭圆于，两点，当轴时，的面积为．
求；
若斜率为的直线交椭圆于，两点，为以线段为直径的圆上一点，求的最大值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，为矩形，且，，．
求证：平面；
若在的左侧，设三棱锥体积为，四棱锥体积为，且．
Ⅰ求点到平面的距离；
Ⅱ求平面与平面所成夹角的正弦值．
19.本小题分
一电动玩具汽车需放入电池才能启动现抽屉中备有块规格相同的电池，其中块为一次性电池，另外块为可反复使用的充电电池每次使用时随机取一块电池，若取出的是一次性电池，则使用后作废品回收，若取出的是可充电电池，则使用后充满电再放回抽屉．
在已知第次取出一次性电池的条件下，求第次取出的是可充电电池的概率；
设，是离散型随机变量，在给定事件条件下的期望定义为
其中为的所有可能取值的集合，表示事件“”与“”均发生的概率设表示玩具汽车前次使用中取出一次性电池的块数，表示前次使用中取出可充电电池的块数，求；
若已用完一块一次性电池后，记剩下电池再使用次后，所有一次性电池恰好全部用完的概率为，求数列的通项公式．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，可知满足除以余数为，当时，为的倍数，
进行操作，即删除，剩余，，，，，
则，可得，
所以；
由可知，
则，
所以数列的前项和．
16.解：当时，，
所以，
当时，，在上单增，
当时，令，或，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
综上所述：当时，在上单增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
，令，所以或，
令，或，又，，，且，，互不相等，
所以，所以，
所以或或，
经检验，符合，
所以，，
令，或，
当，，，，，，
所以时，取得极小值．
17.解：依题意有，当轴时，在椭圆方程中，令，解得，
则，又，解得，；
设直线：设，，
联立，得，所以，
所以所以，所以的中点为，
所以．
又的轨迹是以为圆心，半径的圆，
所以，
令，
所以．
18.解：证明：在中，，，，
由余弦定理得，
所以，
所以，
又矩形中，，，
所以平面；
由知，平面，，
所以平面，平面，
所以，又在三角形中可求得，
在直角三角形中可求得，
又，又，
所以，又，
所以，
Ⅰ取中点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
设平面的法向量，
则，所以，
取，
又，
所以到平面的距离．
Ⅱ因为，，
设平面的法向量，
所以，所以，
取，
所以，，
所以平面与平面所成夹角的正弦值为．
19.解：设事件表示第一次取出时为可充电池，事件表示第一次取出时为一次性电池，事件表示第二次取出时为一次性电池，
则，
所以；
由题意，的可能取值为，，，
，
所以；
由题意，现有块可充电池和块一次性电池可使用，
经分析可得，
时，
．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑