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湖北省华大新高考联盟 2025 届高三 4 月联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数 = 1 + ，则 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2 .函数 ( ) = sin(2 + 3 )的一条对称轴为( )
A. = 2 3 B. = 12 C. = 12 D. =
5
12
3 (2 .在 )( + )
5的展开式中，含 2 3项的系数为( )
A. 0 B. 10 C. 20 D. 30
4.已知非零向量 ， ，且| | = 4| |，向量 在向量 方向上的投影向量为 2 ，则 ， 夹角的余弦值为( )
A. 12 B.
3
2 C.
1
2 D.
3
2
5.热干面最早起源于 20 世纪初的武汉，由街头小摊贩开始流行.最初被称作“红油胡麻汁面”，清朝时成为
武汉受欢迎的风味小吃.热干面是武汉人生活中不可或缺的一部分，代表着武汉独特的饮食文化和生活态度.
某商家为了调研顾客对本店热干面的满意度，从吃过该店热干面的顾客中随机抽取 100 名进行评分.整理评
分数据，将收集到的顾客满意度分值数据(满分 100 分)分成六段：[40,50)，[50,60)， ，[90,100]，得到
如图所示的频率分布直方图，则( )
A.这 100 名顾客评分的极差介于 40 分至 50 分之间
B. = 0.030
C.这 100 名顾客评分的中位数小于 80 分
D.这 100 名顾客评分的平均值介于 60 分到 70 分之间
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6.已知 ( ) = lg(100 + 1) 是偶函数，则 =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
2 27.设 1， 2分别是双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点， 是坐标原点，以 2为圆心的圆与 的

两条渐近线都相切，且其中一个切点为 .若∠ 1 = 6，则 的离心率为( )
A. 21 B. 2 73 3 C.
7
3 D.
3
3
8.已知关于 的方程 ( 2 1) + 2 ln( 2 + 1) 1 = 0 在[0, 1]上有解，则 2 + 2的最小值为( )
A. 3 B. 2 9 4 1 1 C. 2 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆锥的底面半径等于 3，高等于 4，则( )
A.圆锥的体积为 12 B.圆锥的侧面展开图的面积为 15
C.圆锥外接球的半径为 3.2 D.圆锥的母线与底面所成角的正弦值为 0.8
10.设集合 = { | 2 6 < 0}， = { | 2 + + ≤ 0}，若 ∩ = ( 2,2]，则( )
A. ≥ 0 B. < 0 C. ≤ 4 D. 2 + = 4
11.如图，直角△ 中 为直角顶点，∠ 的三等分线和 相交，交点离 较近的是 ，较远的是 .设
∠ = 3 ， = 1，则( )
A.线段 ， ， 的长度能构成等差数列
B.线段 ， ， 的长度不能构成等差数列
C.线段 ， ， 的长度能构成等比数列
D.线段 ， ， 的长度不能构成等比数列
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 1 1.已知 ， > 0 且 + = 1，若2 = 5 = ，则 = ．
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2 2
13 .写出与椭圆16+ 9 = 1 和抛物线
2 = 20 都相切的一条直线的方程 ．
14 sin .已知 ， 为锐角，且 sin( + ) = sin ，则 tan 的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知数列{ }的前 项和为 ，且 = 2 ，数列{ }为正项等比数列，且 1 = 1， 2 + 3 = 6．
(1)求{ }的通项公式;
(2)求{ }的通项公式;
(3)求{ + }的前 项和．
16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， ⊥平面 ， 为棱 的中点，且 = = 2．
(1)证明： / /平面 ;
(2)证明： ⊥平面 ;
(3)若 6与平面 所成角的正弦值为 9 ，求 ．
17.(本小题 15 分)
如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点 0 出发，每隔 1 等可能地向左或向右移动一个单位.设移动
次后质点位于位置 ．
(1)若 = 6，求 ( 6 = 0)的值;
(2)若 = 5，求 ( 5 = 3)和 ( 5)的值;
(3)已知移动 8 次后 8 = 2，求质点在这 8 次移动中，前 5 次移动后质点位于 5 = 3 的概率．
18.(本小题 17 分)
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2 2
已知椭圆 : 2 +

2 = 1( > > 0) (4,
9 ) 4经过点 5 ，且离心率为5．
(1)求 的方程;
(2)设 ， ， 为 上的三个动点，且 和 关于坐标原点 对称.若直线 ， 的斜率存在，设直线 ，
的斜率分别为 1， 2，求 1 2的值;
(3)设 内部(包括边界)的圆满足：该圆在 短轴的右侧且与短轴相切.求满足条件的最大圆的方程．
19.(本小题 17 分)

定义：双曲函数是一类与双曲线相关的函数，其中双曲正弦函数 sinh = 2 ，双曲余弦函数 cosh =
+
2 ，双曲正切函数 tanh =
sinh
cosh .利用欧拉公式 = cos + sin (其中 为自然对数的底数， 为虚数单
+
位)，可以将双曲函数与三角函数联系起来.由欧拉公式可得 = cos sin ，从而 cos = 2 =

cosh( ) +

， sin = 2 = sinh( ).用 替换 ，可得 cos( ) = 2 = cosh ，sin( ) = 2 = sinh .
这样，可以把双曲函数看作是“虚角”的三角函数.利用以上关系，可将三角函数的结论类比得到双曲函数
相应的结论．
(1)根据正弦函数的二倍角公式 sin2 = 2sin cos ，类比到双曲正弦函数的二倍角公式，可得到什么结论
请直接写出你得到的结论．
(2)请利用题干的信息，把余弦函数的和角公式 cos( + ) = cos cos sin sin 类比到双曲余弦函数的和
角公式.请写出类比的推导过程和结论．
(3) sin 已知在三角函数中有不等式：cos < ( 3 ) ， ∈ ( , 0) ∪ (0, ).那么，在双曲函数中，不等式 cosh <
( sinh )3 ( ≠ 0)是否成立呢 若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.10
13. + 5 = 0 或 + + 5 = 0(任写一条即可)
14.43
15.解：(1)设正项等比数列{ }的公比为 ，则 > 0，
因为 1 = 1， 2 + 3 = 6，
所以 2 + 6 = 0，
即( 2)( + 3) = 0，解得 = 2，
所以 = 1 1 = 2 1；
(2)当 ≥ 2 时， = 2 1 = ( 1)2 = 2 1，
当 = 1 时， 1 = 1 = 1，也符合上式，
所以 = 2 1( ∈ )；
(3)设{ + }的前 项和为 ，
因为 1 + = 2 1 + 2 ，
所以 = 1 + 3 + 5 + . . . + (2 1) + 1 + 2 + 22 + . . . + 2 1

= 2 + 1 2 2 1 2 = + 2 1．
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16.解：(1)证明：如图 1 所示，连接 与 相交于点 ，连接 ，
因为底面 为矩形，
所以 为 的中点，
又 为棱 的中点，
所以 为△ 的中位线，
所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 / /平面 ；
(2)证法 1:因为 = ，且 为棱 的中点，
所以 ⊥ ，
因为 ⊥平面 ，
所以 ⊥ ，
又因为底面 为矩形，
所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，
所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ；
证法 2:以 为原点，因为 ⊥底面 ，底面 为矩形，
所以分别以 ， ， 所在的方向为 轴、 轴和 轴，建立如图 2 所示的空间直角坐标系，
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设 = ，则 (0,0,0)， (0,0,2)， (0,2,0)， ( , 2,0)，
故 (0,1,1)，从而 = (0,1,1)，
又 = ( , 0,0)，
所以 = 0，即 ⊥ ，
又因为 = ， 为 中点，
所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ；
(3)以 为原点，分别以 ， ， 所在的方向为 轴、 轴和 轴，建立如图 2 所示的空间直角坐标系，
设 = ，则 (0,0,0)， (0,0,2)， (0,2,0)， ( , 2,0)，
故 (0,1,1)，从而 = (0,1,1)，
又 = ( , 2,0)， = ( , 2, 2)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 0 + 2 = 0
则 ，即 ，可取 = (2, , )， = 0 + = 0
设直线 与平面 所成的角为 ，
·
> | = = 2 6则 sin = |cos < ， = ， 2+4+4× 4+ 2+ 2 9
化简得 4 17 2 + 16 = 0，即( 2 1)( 2 16) = 0，解得 = 1 或 = 4，
故 AB= 1 或 = 4．
17.解：设随机变量 表示“移动 n 次后质点向右移动的次数”,由于质点每隔 1秒等可能地向左或向右移动
一个单位,所以 ~B(n,12).
由题意知 = -(n- ),即 = 2 -n.
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(1)当 n=6时, P( 6=0)=P( =3)= 3
1
6( 2 )
6= 516.
(2) n=5 , P( =3)=P( =4)= 4( 1 )5= 5当 时 5 5 2 32.
D( 5)=D(2 -5)=4D( )=4×5×
1 1
2 × 2=5.
(3)设“移动 8次后 8= 2”为事件 A,“移动 5次后 5= 3”为事件 B.
则 P(A)=P( 5 1 8 568=2)=P( =5)= 8( 2 ) =256.
事件 AB 即“前 5 1 15次移动后 5=3且后 3次移动后 8=2”.故 P(AB)= 4 1 85 3( 2 ) =256.
( ) 15
所以前 5次移动后质点位于 5=3的概率为 P(B|A)= ( ) =56.
16 81
2 + 25 2 = 1
18.解：(1)由已知得 = 4 ，解得 = 5， = 3， = 4， 5
2 = 2 + 2
2
所以 的方程为 +
2
25 9 = 1;
(2)设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 ( 2, 2)，
因为 ， 在 上，
9 21 + 25 21 = 9 × 25所以 2 ,9 2 + 25 22 = 9 × 25
两式相减，得 9( 21 22) + 25( 21 22) = 0，
2 2 9
即 1 22 = ， 1 22 25
2 2
所以直线 ， 的斜率之积 = 1 2 1+ 2 1 2 91 2 1

2 1+
= = ;
2 21
2
2 25
(3)根据圆的位置及圆的对称性，可知圆心的坐标为 ( , 0)，
故可设圆 的方程为( )2 + 2 = 2，显然 0 < < 52，
要求最大圆，即求半径 的最大值．
如图所示：
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设 右半侧上点 的坐标为 (5cos , 3sin )，则 2 ≤ ≤ 2，
由于 右半侧上点 只能在圆 外或者圆 上，

所以有(5cos )2 + (3sin )2 ≥ 2，对 ∈ (0, 5 ∈ [ , ]2 )及 2 2 恒成立，

因此(5cos )2 + (3sin )2 2 = 16(cos 5 2 25 216 ) + 9 16 在 ∈ [ 2 , 2 ]内的最小值 ≥ 0，
5
因为 ∈ (0, 2 )，
5 25
所以16 ∈ (0, 32 ) (0,1)，
cos = 5 = 9 25 12所以当 16时有最小值
2
16 ≥ 0，解得 ≤ 5，
故所求最大圆的方程为( 125 )
2 + 2 = 14425．
19.解：(1)类比正弦函数的二倍角公式，可得到双曲正弦函数的二倍角公式：
sinh(2 ) = 2sinh cosh ；
(2)用 和 替换 cos( + ) = cos cos sin sin 中的 和 ，
可得 cos( + ) = cos( )cos( ) sin( )sin( )，
由题干条件知 cos( ) = cosh ，sin( ) = sinh ，
从而得到 cos( + ) = cosh cosh sinh sinh ，
即 cosh( + ) = cosh cosh + sinh sinh ；
(3)不等式 成立．
证明如下：因为不等式左、右两边都是偶函数，
故只需证明 > 0 时的情况即可．
当 > 0 时， ，
1
令 ( ) = sinh cos 3( > 0)，
因为(sinh )′ = cosh ，(cosh )′ = sinh ，
2 4
则 ′( ) = 1 (cos ) + 13 3 (sin )
2 cos 3，
故 (0) = ′(0) = 0，
2 4
令 ( ) = 1 (cos )3 + 1 (sin )23 cos
3，
2 1 1 7因为 ′( ) = 3 (cos )
sinh + 13 3 [2sinh (cos )
43 3 (sin )
3(cos ) 3]
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7
= 49 (sin )
3(cos ) 3 < 0，
所以 ′( )在(0, + ∞)上单调递减，
从而 ′( ) < ′(0) = 0，
进而 ( )在(0, + ∞)上单调递减，
所以 ( ) < (0) = 0．
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