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强化反思，努力构建高三复习的高效课堂
绵阳市教科所 罗小兵
各位老师：
在2010级高三“一诊”不久的今天，我们坐在这里，共同总结前段时间的复习得失，研讨我们2010级的后期备考，这是我们近几年高三研讨会较早的一次了，我们期盼着通过今天这个研讨会能给我们的高三教学带来新的思路，能够让全市的数学教学有更大的提升。上周四，教育局召开了全市的高三工作会，在会上，教育局也公布了2010级的工作人数，教科所龚所长对一诊的数据进行了分析，对后期的教学提出了指导性意见，我们想结合的数学课的实际情况和一诊考试反映出来的一些问题，确定了本次教研会的主题——强化反思，努力构建高三复习的高效课堂。希望能引起大家的思考，甚至调整我们的教学策略。
一、问题的提出：
1、一诊反映出来的问题：
在一诊考试中，基础知识不过关，一些重要而又基本的知识点掌握模糊；答题中思路不严密，表述不准确；数学运算能力薄弱，运算技巧欠缺；数学阅读能力低下，信息整合应用能力差等等问题是最为突出的，又尤其是基础的知识点的运用方面更是出乎人的意料，例如理科第7题，本是对导数定义的简单考察，学生只需要对形式进行变形即能迅速得到答案，但最后的结果是选A的正确答案的仅有41.08%，有35.34%的学生选择B，有8.11%的学生选C，15.19%的学生选D，成为了全卷中第二难的选择题，这不能引起我们的思考，我们的教学出现问题，至少在对基础知识的复习策略上有研究的必要。第一轮复习的重点本就是抓基础知识，基本方法，基本技能的，本就是在完成对知识网络的构建的，如果这个问题不解决好，那么我们的高三复习的效果必将受到大的影响。
2、调研中发现的问题：
在前期的调研中，我们发现到了高三，我们的老师非常辛苦，学生也很卖力，我们都在朝着一个目标奋力前进，我们都是认真备课，全身心投入教学中，但是我们的效果却与我们想的差之太远，虽然有老师在阅卷的时候和我交流说道，一诊试题出的好，至少学生不会怪老师，考的都是我们教了的。这句话反过来想，那你教了的学生都考不好，那你是怎样教的呢？这至少说明我们的教学效果是不能让你自己满意的，我们必须要反思我们的教学效益了。
二、什么是高效课堂？
有这样几种观点：其一、所谓高效的课堂，一定是每一个学生在每一个时间段都有事做。在新课程条件下，我们强调要关注每一个学生，不是时髦的理念，而是保证课堂高效的必需。其二、所谓高效课堂，就是在具体的一节课中学生能达到厚积知识，破难解疑，方法优化，能力提高，学习高效的境界。其三、高效的课堂应该让学生过得心情舒畅，有良好的安全学习心理环境。高效的课堂即学生学习的高效。
从这个层面上讲，高效课堂至少关注这样几个问题：
（1）关注投入和产出的关系
（2）关注时间和效益的关系
（3）关注学生的能力发展，不同的学生得到不同的发展
（4）高效课堂并不是一个空洞概念，而是应该落实到每一节课的教学中。
（5）高效课堂关注的课堂本身，其教学模式是可以进行构建的。
三、如何构建高三复习中的高效课堂？
在高三复习课中，最常见的课型是常规复习课和试卷评讲课，如何打造高效的复习课堂呢？我们按照一般复习课的思路，把课堂划分为基础知识的梳理，例题的讲解，课堂及课后的练习等环节，我们试图在每一个环节都得到一些模式化的策略，如在基础知识的梳理方面，我们可以采取那些策略来完成，是指导看书？是学案填空？是教师口述？是学生自习？还是师生共同完成？是纯粹的知识点罗列，是用考题来呈现？还是交叉进行？等等，又比如在例题教学方面，我们选择几个例题较为合适？这几个题目深难度应如何搭配？在讲解时，师生的关系如何调配？又如何恰当的进行审题能力的培养？这些教学行为又如何进行落实？在班级教学制的过程中，如何实施分层教学？我们希望我们能针对我们教学的实际，加强我们的反思，总结我们的经验教训，试图构建合理的高三复习的高效课堂。为此，本次教研会我们给八所学校都提前布置了任务，改变了以往教研会的交流内容，重点在这些环节上进行研究。现在就让我们来听听他们的经验和思考。
四、课例分析：
五、以人为本，
　　高三数学课堂可分为两大课型：复习课与讲评课。
　　（1）复习课：高三复习尤其是一轮复习中，我们特别重视了基础知识的复习与夯实，“271”模式的具体体现就是预习、互动、测评三个环节。
①预习环节：
　　（a）展示预习目标，明确任务分工。（板书并且强调指导）
（b）预习过程：先自己研究学习教材，然后独立完成预习学案；让学生小组内交流各自预习成果，通过小组讨论，解决预习中形成的问题，将未解决问题与新提出的问题列在疑难问题反馈表上。（由小组长负责反馈上交）
（c）预习完成后，学生独立完成讲义上的典型例题与变式训练，达到巩固预习成果，演练典型题目，积累解题方法与技巧的效果，同时要求学生思考与记录做题中遇到的障碍与形成的好的思路，准备在互动环节中解决与交流。
　　②互动环节：
　　（a）老师批阅学案，根据批阅学案与疑难问题反馈表中提出的问题，提前分配任务，由已解决问题的小组展示。其他同学在展示过程中，对疑难问题进行讨论，并对展示的问题准备点评。
　　（b）师生互动，点评展示的疑难问题，以学生点评补充为主，老师进行必要的深化拓展，学生自己总结感悟。（学生点评要点：思路难点、易错点、一题多解、方法总结等）。小组合作探究未能解决彻底的问题，老师要进行必要的点拨；老师根据本节内容提前设计有针对性、层次性的问题进行巩固、拓展。因为学生先做并且经过独立的思考，在讨论中小组的针对性很强，并且相互启发，往往会对问题有根深刻的认识，对方法有更独到的研究。
　　通过在数学复习课上灵活的出了“271”课堂模式，改变了原来课堂上老师讲为主学生被动学习模式，学生成为了课堂的主人，主动去探究问题，合作解决问题，使课堂效率得到了很大的提高，也使原本枯燥的数学课堂精彩不断。
　 ③测评环节
　　学生在掌握了例题的思路与方法，基本达到了本节课的复习要求后，跟上对学生学习效果的测评，我们采用的是限时闭卷完成，即每个专题后都相当于进行了一次考试。根据内容，测评内容一般40分钟完成，完成后马上上交，老师细致批阅，找准问题，再放在各小组第二次讨论，老师根据情况适当、深入的点拨。
　　（2）讲评课
　　传统的数学讲评课的模式是：老师阅卷，统计错题，根据错题讲评，跟踪练习。以老师讲为主，学生只要认真听就行了。我们采用“271”课堂模式后，讲评课是这样上的：
①阅卷：老师独立阅卷或老师与一个学习小组共同阅卷。
②评价：对优胜小组与个人进行表彰。然后对试卷评价，老师或阅卷小组的同学指出阅卷中发现的主要问题。
③讨论：充分发挥数学小组的作用，把问题放给小组研究解决，小组讨
　　论典型错题的解法、思路、易错点，交流考试心得，老师巡视各小组，对小组内的个别问题进行点评。
④展示：小组展示并点评试卷中出现的典型问题，老师注意对问题进行点评、拓展，并对规律性知识进一步总结。
⑤巩固：针对错题，老师预先设计针对性练习，限时训练并上交批阅。
　　这样，学生对错题有了更深刻的认识，知识点、方法通过讨论得到了拓展，考试经验，考试心态等应试能力通过沟通更得到了提高，通过小组整体评价又激起了学生的集体荣誉感与竞争的意识，使数学课堂效益得到了根本的提高。
　　总之，我们在这两种主要课型中，通过创设宽松、民主、合作、共赢的课堂学习环境和教师的启发引导，激发和唤醒了学生的求知欲望和内在的心理需求，培养和强化了学生的自主发展意识、自我表现意识和团队合作意识，让学生体验了成功的快乐，学会了学习，提供了效率，让我们的备考效益得到最大的提高。
如何设计好高三数学复习课的分层练习
三台一中高三数学备课组
高三数学复习课的练习是学生学习数学的一个不可缺少的重要组成部分，也是数学复习课上学生学习的主要方式之一，设计好数学复习课的练习，是提高数学复习课效率的重要一环。练习的设计既要注重知识重、难点的突破，又要考虑学生在“最近发展区”上有所提高，既要面向全体，又要照顾到学生的个别差异。因此，练习的设计必须有层次性，使每一位学生在不同层次上都有不同程度的提高。
如何设计好高三复习课的分层练习，我们备课组在教学中进行了如下尝试：
一、设计分层练习的依据：
从心理学的角度讲，学生的能力是经过由掌握基础知识和基本技能、并将其广泛迁移而逐步形成的一种稳定的个性心理特征，它是基础知识和基本技能掌握的进一步概括化、系统化、具体化的结果。然而并非是学生掌握了知识就必然会形成相应的能力，能力只有通过练习才能逐步发展起来。而我校的学生学习差异性较大，如何满足不同层次学生的学习需要,妥善地解决好既满足尖子生求知欲,又促进学困生达到教学的基本要求是我们课堂教学中所面临的且必须解决的一个矛盾。分层设计练习则为我们科学地解决这一矛盾提供了一个最有效的途径。我们根据学生平时的学习情况，依据《2009年考试说明》把每一个高考考点分解成三个层次：基本练习题（课本上的例、习题）、高考常考容易题和综合深化题；然后，根据学生的数学认知结构和学生的个体差异及学生智能结构的独特性，分层设计练习，使学生在不同层次的作业练习中，人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展，真正落实因材施教，促进学生整体发展。
二、分层练习设计的原则
分层练习作为课堂学习的延续和补充，要适当、适量、有效。既要能巩固课堂所学内容，又要有助于学生形成知识体系，有助于学生掌握相关的数学思想和方法。同时，还要为后续内容的学习做好适当的准备和铺垫。因此，练习的设置应遵循认知规律，由浅入深，由易到难，循序渐进，针对不同层次的学生，我们练习分为三个层次，即C优及以下的同学完成基本练习题（课本上的例、习题）、B2优同学完成高考常考容易题，A+B1优同学完成综合深化题。各层次题量各不相同，完成形式及要求也有区别，有的层次要详细解答，有的只要写出答案，允许学生不全部完成，量力而行，对难以完成综合灵活的稍难题的学生，则要求他们将客观题按解答题格式完成。这样布置作业，让学困生完成基本作业要求后，从成功的喜悦中，激发起获取更大成功的愿望；让上层生有百尺竿头更进一步的动力；让中层生从“前后夹击”中追求新的满足。
三、设计分层练习的分类：
设计分层练习时，从题量和难易程度上，我们要求小练习共设计10个题，其中1——7题为容易题，8——9题为中档题，10题为综合性较强的题。综合练习共22个题，其中1——20题为容易题，21题为中档题，22题为综合性较强的题。从功能上，我们分了如下几种练习，循序渐进的训练他们，使他们不断得到进步。
①每课小练习：针对每节课的复习内容所设计的小练习，目的是为巩固课堂教学效益。
②高考常考题练习：对本章节涉及到的高考中常考且容易的题进行反复性的练习。
③典例、易错知识练习：通过对本章的典型、易错题收集，进行整理并再呈现，使学生对典例、易错知识进一步掌握、巩固和强化。
④章节检测题：对每章复习的内容进行综合检测，了解学生对本章知识掌握程度，找到教学疏忽点、学生知识盲点，为下阶段教学提供依据。
⑤查漏补缺练习：针对章节检测中反映的典型问题进行集中再练习，使学生掌握知识程度由不牢变牢固。
⑥周周清：每周一次的定时练习，出题范围为本周内复习的内容，试题为已做过的原题出现，让学生每周都体会到成功的喜悦。
⑦综合练习：每两周一次的拉动性练习，出题范围为复习过的所有内容，为防止学生对已复习知识的遗忘。
⑧专项练习：根据教学进度及学生学习情况，有意识地设计《选择题专项练习》、《填空题专项练习》、《解答题专项练习》等题型练习和《向量在立体几何中的运用》、《如何提高解析几何的运算能力》等知识型练习，帮助学生构建知识网络，提升解题能力。
四、分层练习设计的练习内容：
给A+B1优同学布置的作业经常是那些高考题或者是与高考题难度相近的题目,这可以巩固他们所学的知识,充分发挥他们的空间想像能力和抽象思维能力,达到优良的学习效果;给B2优同学布置的就是那些中等难度的题目,给C优及以下的同学布置的当然就是那些课本上的基础题了!
五、分层练习如何选题:
编选好层次题是保证分练效果的关键。我们全组老师分工合作应对课本习题和配套的同步练习精加工、巧处理，编制成相应的练习。要求每个题都要亲自先做一遍, 了解哪些题容易出错, 哪些题较综合, 哪些属于一题多解, 同时, 还要反复推敲, 必要时进行适当的“增、删、添、换、并、改”加工, 力求使每道习题都具有代表性、实用性和层次性, 适合各层学生的练习需要, 然后分层落实到各组学生。
如文科在复习“一元二次不等式”时，设计了如下三个层次的练习供各层次学生选择：
第一层：解下列不等式：
1)? ，??????????? 2）
3），???????? 4)?
第二层：求下列函数中自变量x的取值范围：
l） =?? 2）? ＝??? 3） =
第三层：已知不等式 （k≠0）
1)如果不等式的解集是，求的值：
2）如果不等式的解集是实数集R，求的值；
六、分层练习完成:
把练习分为必做题和选做题，然后给学生布置难、中、易程度不同的三类题，由学生根据自己的情况做其中的一或两类或三类题。练习的设计和要求首先是采取“同”的原则，即对于练习的规范性、整洁性、格式等，不论哪个层次的学生，都必须用统一、严格的标准去要求。基本的练习都要做。其次是“异”，水平较低的学生，要完成基本作业，即完成课后的全部习题和小部分章节复习参考题；水平较高的学生，要完成较高作业要求，即选择完成有代表性的习题和全部章节复习参考题，并加以变形，重在培养学习能力；水平中等的学生，除完成基本作业要求外，可根据自己的能力，有选择地做一些较高作业要求中的习题。作业的宗旨是使差生“吃得了”，好生“吃得饱”。
又如在理科复习“二次函数”时，设计了如下三个层次的练习，对于A+B1优同学要求在三个层次中各任选一题完成；对于B2优同学要求完成A组和B组题；对于C优及以下同学就完成A组题。
A组：基础题
1.已知二次函数f(x)=（a≠0）满足f(2)=f(4)，求f(6).
2.已知函数y=是单调增函数,求a的取值范围.
B组：提高题
1.函数f(x)=的图象恒在x轴的下方, 求a的取值范围.
2.已知函数f(x)= (a＞0),在区间［0,1］上的最小值为g(a), 求g(a)的最大值.
3.若不等式对的所有m的值都成立,则实数x的取值范围.
C组：综合题
已知关于x的方程,其中2a+3b+6c=0,(1)当a=0时,求方程的根;(2)当a＞0时,求证方程有一根在0和1之间.
七、分层练习检查、评阅:
对于后进生的作业一般采取“面批”的方式，这有利于学生及时发现问题，巩固所学的知识。对于中等生可以采取“互批面批”的方式。对于好的学生因为他们自主性比较强，我则常采取“免批、抽查批或者集体批”的方式来处理的。经过实践的检验，取得了一定的效果。
总之，高三复习课中的分层练习要特别重视不同层次学生的反馈，要让他们体验到经过自身努力而获得成功的喜悦，激发了他们奋发向上的自信心从而并对促进学生形成乐观、顽强的心理品质起到了积极作用；同时，激发他们把当堂复习课的相应知识点与解决实际问题结合起来，回忆、系统整理知识网络，挖掘数学知识、数学方法之间的联系，提高了综合运用数学知识的能力。
例谈高三数学常规课中题目的选择
四川三台中学数学组 （执笔：蒋刚 廖义杰）
受绵阳市教科所罗小兵老师的委托，我们学校交流材料的主题是“例谈常规课中题目的选择”，研究内容是针对常规复习中的题目选择进行研讨，最好是附一节课的，用实例予以阐述。
我首先谈谈如何选择例题。
一个好的例题或习题要有典型性（与高考题有机结合），能做到举一反三的效果；要注重基础性，要求不要过高，过难，应使大部分学生“跳一跳”即可解决；要有针对性，学生需要什么，最容易犯错误的地方或思维死结在什么地方，要重点讲解；要留给学生一定的思维空间，应有相类似的题型的现场训练。
1. 例题的选择要有针对性.即要针对教学目标、针对知识点、针对学生的学习现状。数学的重点内容与概念是“双基”教学的核心内容，因而选择的例题要针对重点内容与概念，巩固“双基”，提高能力。
2. 例题的选择要有可行性.即应在学生“最近发展区”内进行选择，不宜过易也不宜过难，要把握好“度”。选择的例题可分步设问，由浅入深，由易到难，使学生掌握新东西，提高解题能力。例题的配备要有阶梯性．要注意题型的划分，习题类型一般有基础知识型、基本方法型、综合提高型、创新应用型等，在难度上要有低、中、高三级题型，这三级之间还应插入级与级之间的“缓冲”习题，形成“小坡度、密台阶”习题，这样安排有利于学生在“发现区”内解题，利于学生“步步登高”，利于学生树立解题的必胜信心.我们坚决反对把难题放在前面，坚决反对把整套习题安排得太难，要避免打击学生做题的积极性。适当安排综合提高型和创新应用型习题，有利于程度较好的学生的学习和提高.习题的安排，既要体现知识与方法，也要体现能力培养与积极性调动.
3. 例题的选择要有典型性。例题的安排要有非常强的示范性．首先要让某些例题体现主要知识点的运用，体现通法通解，以起到加强双基的示范性，再通过适当的变式引申、变式训练，以达到夯实双基、举一反三之效.例题的安排要体现教学解题方法的训练和解题技能的培养，要揭示例题的解题规律和体现例题的思想方法，这样才能体现例题的典型性，分析例题前可适当回顾知识要点及解题的基本方法，以便例题的学习更自然、更轻松.选题要克服贪多、贪全，既要注意到对知识点的覆盖面，又要能通过训练让学生掌握规律，达到“以一当十”的目的。
4. 例题的选择要有研究性，选择例题要精，要有丰富内涵，既要注重结果，更要注重质量，以期“一题多解，达到熟悉；多解归一，挖掘共性；多题归一，归纳规律。”
5. 例题的选择要注意对课本例题的挖掘.课本例题均是经过专家多次筛选后的精品.高三复习课中，我们应精心设计和挖掘课本例题，编制一题多解、一题多变、一题多用的例题，提高学生灵活运用知识的能力。
其次，例题教学中应坚持“五度”原则：
1.精度
有效教学的核心是教学的效益，教学效益取决于单位时间内学生学习的过程与学习的结果。这就要求我们教师在例题、习题选择上要精益求精，要根据学生和教材的要求认真选题。选题时应注意以下几个原则：①题目应有利于学生掌握相关基本知识和基本技能；②题目应能综合其它知识点，能举一反三、触类旁通，有一定的综合性；③题目应有多种不同的思路和解法或能出现开放型命题，培养学生发散性思维和创造性思维；④题目应有一定的发展空间和研究价值，并能体现一定的数学思想；⑤题目要有一定的现实意义，强调科学知识同生活世界的交流，理性认识同感性经验的融合。
2.广度
依据建构主义理论，知识不是通过教师传授得到的，而是学习者在一定情境下，借助其他人的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得的，从而使学习能适用不同的问题情境，并在实际生活中能更广泛的迁移。因此在例题教学中要对一个例题的题干创设不同的情境，一题多变：改变题设背景、设问方式、引申新问题等，培养学生思维的灵活性。从而让学生确定基本知识点—联想其他知识点—巩固基础知识点—得出系统知识的体系。
3.角度
学生的发展不仅包括认知的发展，也包括各种能力的发展及个性的发展，学生的想法中也许就蕴涵着创造性的火花，也许就是对知识更深刻的理解。因此在例题教学中应注意一题多解，引导学生运用所学，多方位、多角度探索题目，培养学生的创造性思维。
4.深度
著名教育学家布鲁纳认为：“认识是一个过程，认识过程本身包含有积极的意义，而不是消极的。”新课程要培养学生的信息收集和整理能力、发现问题和思考问题的能力、分析和解决问题的能力、学生终生学习和创新能力以及生存和发展的能力。因此例题教学应逐层递进，有梯度和深度，让学生去探索和发现问题，为学生主动构建知识体系，实现认知结构的整体优化建立桥梁。
5.开放度
数学除了落实双基、培养文化素质外，还应根据《新课程标准》的要求，充分挖掘教学内容，以培养学生其他方面的素质。从片面追求知识的深度和广度转向开发学生的智力和能力。因此例题教学中应引入开放题的设计，突出学生个性发展的要求，将死知识变得能灵活运用，以致于融会贯通、全面掌握的层次。
有效教学是为了提高教师的工作效益，强化过程评价和目标管理，关注每一位学生进步和发展而提出的一种现代教学理念，体现了新课程改革的精神。因此教师要按自身的优势来选择尊重教学规律、适合学生个性发展的教学行为。恰当利用现代科学教学手段，采用各种教学策略，设计符合自己特点的个性化教学，形成独特的教学风格，不断提高教学的有效性
然后，说说我们学校平时的教学中的处理方法。
在火箭班，课前热身一般是选3—4个基础题，1—2个中档题作为检测学生现有知识和解题技能的检测手段。针对学生出现的问题开始串讲本单元的知识点、考点及易错点等。例题选择一般是3个左右（其中2个中低档题，1 个稍难的题），往往是对其中某一例题给予适度的变式训练。每个例题讲完后，选择与资料配套的相关作业题让学生动手。这个过程重点是引导学生自己分析、自己处理问题，达到举一反三，触类旁通的效果，包括其中的易错点，最好是让学生讲讲这个地方为什么出错？找到易错的原因，提出避免下次出错的方法。而在平行班，课前热身题目个数略有减少，一般是3—4个基础题目，主要针对本单元的重要知识点或基本的解题方法而选定例题仍然是3个左右，但难度降低些，少选或不选难题，并以其中某一个中档题目作为变式题材，变式的要求也有所降低，每个例题讲完后，仍有配套训练，达到讲练结合，学生过手的效果最好。
下面我以一节课为实例进行阐述，我们所选的内容是“解斜三角形”的第一课时。
课前热身题目有：
在中，，，则。
（这个题目是引出正弦定理，三角形面积公式，并灵活应用比例的性质。）
在中，三个角A、B、C的对边边长分别为则
（这个题目是直接应用余弦定理解决问题。）
在中，若则 ）。
A．； B.； C.或； D.。
（这是个易错题，学生易误选C，原因是由无法确定的正负从而导致出错。这个题目主要是复习两个常用结论：①在中，；
②在中，有。）
在中，，,
求的值；
若，求。
（平面向量与解三角形相结合，这是高考易出现的题型，在复习时应引起足够的重视。）
例题及对应练习的选择：
例1.在中，已知求A、C及边c。
这道题目主要解决解斜三角形的几类题型：①已知两角及一边；②已知两边及其中一边的对角③已知三边， ④已知两边及夹角，怎样确定该三角形的三边及三角，要求达到任意一类问题均能熟练解决的效果
练习1：在中，AB=，45，75，则BC等于（ ）
A 3－ B C 2 D 3+
练习2：在三角形中，若tanA=，150，BC=1，则ＡＢ＝_________
2．例2. 在三角形中，a , b, c,分别表示三个角的对边，如果（）sin(A－B)=（）sin(A+B),试判断三角形的形状
思路分析：判断三角形形状问题，主要围绕三角形的边角关系进行思考，一般是角化成边或边化成角加以解决，看其是否为等腰三角形，直角三角形，锐角或钝角三角形，等边三角形等等。所选例题两种化法都可以解决问题。
练习3：在中，若sinC=2cosAsinB,则此三角行必是（ ）
A 等腰三角形 B 正三角形 C 直角三角形 D 钝角三角形
3. 例3，已知锐角三角形中，sin(A+B)=, sin(A－B)= ,
(1) 求证：tanA=2tanB
(2 ) 设ＡＢ＝３，求ＡＢ边上的高
此题要解三角形的综合应用，结合图形思考，解决问题后，引导并解决以下变式
变式一：改条件回到教材高一（下）第42页第1题
在△ABC中，已知AD⊥BC，垂足为D，且BDDCAD=236,
求BAC的度数（复习中要充分重视教材的作用，以不变应万变）
变式二：求其内切圆半径及该三角形的面积（条件与题3相同）
变式三：（09年全国高考卷Ⅰ理科第17题）
在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别是已知，且，求
法一：由余弦定理知：
将代入上式得：= ①
又知：，即
则：②
由正弦定理： ③
由①②③ 知
法二：直接用正余弦定理。
由，即
又
法三：几何法

知
设，，


又


数学例题教学中的误区及对策
绵阳南山中学
例题教学是高三首轮复习中非常重要的一个环节，它既能帮助学生深化对基础知识的理解，构建知识网络，形成知识模块又能帮助学生树立数学思想，进行思维训练，提高分析问题和解决问题的能力。它的成功与否会一定程度地决定最后的复习效果。因此任何针对首轮复习的特点，轻松高效地做好例题教学是我们必须要思考的问题。现实中“老师讲过了，学生仍不会”的现象还是不少的，造成这种情况的原因是多方面的，例题教学中存在的一些误区就是其中的原因之一，这里就其中几种典型的误区及其对策进行一些分析：
一、题量过大，学生消化不良
教师选例题往往容易贪多求全，面面俱到，造成表面的课堂“大容量”实际是例题机械重复和简单叠加，一节课下来，教师声嘶力竭，学生却收效甚微。
教师出示的例题应遵循典型性、针对性和实效性，做到重点突出。这些例题可以是教学中积累的，也可以是报刊资料，网络上的，当然切不可忽视课本中的例题和习题，因为它们更具有方向性和辐射性。
如复习椭圆第一定义时，有的老师选取两个甚至三个例子，实际我们可以选如下例题：
化简方程
此例看似平淡，但仔细思考，深入挖掘，同样可以达以点带面的复习效果。
此例既可以用课本中的“移项，平方”的方法，也可将其看作点到和的距离之和等于6，从而利用椭圆的定义将其化简为，在此基础上将右边的6换为“4或3”，前者可得线段，后者不成立（不表示任何图形），这样既突出了椭圆的定义这个重点，又多方面地培养了学生的能力，基于此，还可继续变式：
1）
2）
1）中对的不同取值进行讨论涵盖了上述三种情况，既体现了由特殊到一般的思维方式，又加深了学生对椭圆定义的理解。
2）则是1）的变化延伸，时表示圆，时表示椭圆，表示线段，时不表示任何图形，1）2）是例题的顺应和强化，可使学生从不同的角度对椭圆定义有更深刻的理解，可培养学生思维的深刻性和创造性。
二、单线条讲解，就题论题，忽视总结发散
有时由于我们对例题挖掘的不够，对课堂可能出现的各种情况准备不足，就会造成只能单线条的讲解，不能放开，发散。不能充分发挥例题的增值功能。
体现在讲解时，当学生的方法，思维与我们既定方案不一致或思路有误时，就立即提示或另换其它学生作答，直到与自己的思路相吻合。
其实学生有与教师不一致的思路和方法，无论正确与否都应让其充分阐明自己的观点，若正确则给予肯定和鼓励，激发学生积极思考的兴趣和积极性。如果有误则更是暴露学生弱点的良机，这时我们正好抓住机会进行错解剖析，正本清源，改善学生的思维品质。
例：已知，求的最大值。
教师本想介绍三角换元和数形结合，但有的学生可能提出如下解法：
不妨设，由基本不等式可得
针对这种解法，我们首先应肯定其想法，然后再提出不足：为什么要设呢？进而与学生共同讨论得到对任意，均有，但最后又应强调此类问题的常规解法是换元法和数形结合。
三、个人承包，忽视学生的主体作用
所谓个人承包有两种表现：一是指教师从审题到解答一人承包，一讲到底，忽视学生的主体地位。二是指教师指定某位学生，一问一答，一说一写直到结束，忽视了大多数学生的参与，教学变成了个别指导，其它学生成了观众。
其实教师应营造和谐、民主的课堂氛围。读题审题由学生自己完成，然后发动全体学生进行讨论，或由一位学生介绍自己的思路，其它学生就其思路的成功和不足进行讨论和修正。教师也可以引导者的身份加入其中，使师生思维产生共鸣，引起共振，形成共识。
例 ①过点并与曲线在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是______________
②已知则过点（2，4）的切线方程是________
在①中求在点M处的切线方程，点M即是切点，故点M处的导数即是切线的斜率，学生很容易做对。但②题求的是过点P的切线方程，点P不一定是切点，很多学生仍然照搬①的解法，就会导致错解。大家知道一道高考填空题四分，真可谓“一字之差，谬之千里”。反思其错解的原因就是审题不清。教学中我们让学生养成良好的审题习惯：仔细读题，挖掘已知和问题之间的联系，深抠概念，严谨思维，紧紧抓住关键词语，自觉进行三种数学语言间的转化。只有这样才能提高解题的准确度。
当然例题教学中的误区还不止这些，其它的如重结果、轻过程、重技巧、轻常规、板书不规范等等不再一一赘述。教学中，我们要尽可能走出这些误区，针对学生实际和认知水平，精选、精讲例题，更多的给学生思考的时间和空间，真正让学生做学习的主人。
2009年11月

全面梳理知识与方法

　 安县中学高010级数学备课组　　2010年高三学生究竟怎样复习数学？高三教师又怎样指导学生复习数学？　　从高考数学命题的变化谈数学复习理念　　高考命题由仅考查数学学科的能力向既考查数学学科能力，又考查一般能力转变；由知识立意向能力立意转变。针对“考试目标”与“命题原则”的变化，高三学生与教师在数学复习过程也应有适合于这种变化的应对策略。　　1、贯彻与落实《考试大纲》是数学复习的准则　　2009年数学高考试题既遵循了《考试大纲》所显现的考试目标与原则，同时又体现了与学生的实际水平相匹配。所以在复习中，学生与教师应该贯彻与落实《考试大纲》所提出的各项目标与要求，同时把握今年试题的命题意图，理解数学内涵进行复习。　　2、立足教材、夯实基础是数学复习的关键? ? 分析2009年高考试题，不难发现试题大多源于教材，或在教材中能找到其相应的影子。这就告诫我们在平时复习中应该重视教材中概念、定理、公式等基础知识、基本技能；同时，更应注重知识的发展形成过程，例题的分析思路，求解过程。在复习中应立足教材、夯实基础，以课本为主，全面梳理知识、方法，注意知识结构的重组与概括。　　3、着眼于培养数学思想方法、提高数学能力是数学复习的方向　　在复习中要注重把提高自己的数学能力作为目标，提高逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力、数学探究与创新能力。扩大新视野，完善高考要求的知识结构，优化思维品质，从根本上提高数学素养。这些都是数学复习中必须重点突破的方向与追寻的目标。　　今年高三数学复习的几点建议
? ? 1、“量体裁衣”确立复习目标、制订复习计划
? 每个学生应根据自己实际水平与状况，系统地梳理知识，找出自己的弱项，挖掘根源。若是知识理解方面存在的问题，应该反复阅读教材、逐字理解概念前因后果，深入理解课本例题与习题的阶梯思路、解题方法、内涵与外延。若是本身学习态度、学习习惯方面存在的问题，那么应寻找那些干扰自己的非智力因素，找出主要矛盾与次要矛盾，一一排除。若是解题方法存在的问题，教师必须精选习题，学生必须精做、精练，领悟解题途径与方法，才能起到举一反三的效果。　　2、数学复习中的的几个注意点? ? ■关注知识交叉点的训练。知识的交叉点，即知识之间纵向、横向的有机联系，既体现了数学高考的能力立意，又是高考命题的“热点”，而这恰恰是学生平时学习的“弱点”。　　■关注思维过程培养。数学思维过程表现形式，是数学思想方法的集中体现，又是师生共同交流的纽带。在复习中教师要让学生人人参与讨论，相互进行交流，得以共同提高。　　■强化数学语言的互译。在高三复习中，教师应强化对学生数学语言互译的引导、训练，使学生理解题意、进行互译，从而正确解答问题。
课例 等比数列
——安县中学高2010级数学备课组
考纲点击：
1、理解等比数列的概念；
2、掌握等比数列的通项公式和前项和公式，并能解决简单实际问题.
热点提示：
1、以等比数列定义及等比中项为背景，考察等比数列的判定；
2、以考查通项公式，前项公式和为主，同时考察函数与方程思想及其分类讨论思想；
3、以选择题、填空题形式考察等比数列的性质.
双基自测
1、等比数列{}，若，，则该数列的前10项和为（B）
A. B. C. D.
分析：知三求二，构造方程求出，另外两个量，再求
引申出知识点：
①.等比数列通项公式：（）（从函数角度看）
②.等比数列前项和：
2、如果-1、a、b、c、-9成等比数列，那么（B）
A.b=3 ac=9 B.b=-3 ac=9
C.b=3 ac=-9 D.b=-3 ac=-9
方法1.由等比中项知：即，由等比中项：，则，由奇数项同号，得.
方法2. ，则，再由，或，由等比数列偶数项同号，奇数项同号，则，得出.
引申出知识点：
①.等比中项；
②.等比数列中奇数项同号，偶数项同号；
③.等比数列的证明方法：且（）则数列是等比数列；是数列{}是等比数列的必要不充分条件；
④.{}是有穷数列时，与首末两项等距离的两项之积都相等，都等于首末两项之积.
3、已知数列{}为等比数列，且其前几项和=,则为（D）
A.0 B.-1 C. D.
方法1：当时，令A=则；
方法二：特值法.
引申出知识点：
①.时，等比数列的前项和，其中；
②.明确等比数列前项和公式的结构特点，利用这些可以判断一个数列是不是等比数列.
4、若等比数列{}的前几项和为，,,则公比
方法1：
方法2：+a2 +a2q=21+1+q=q=或2.
引申出知识点：
①. 在等比数列{}中，通项公式可推广为（）
②. 在等比数列{}中，若（），则；
③.三个数成等比数列，可设为，，；四个数成等比数列，可设为，，，.
5、设{}为公式的等比数列，若和是方程的两根，则 18
分析：由已知得
∴
引申出知识点：
韦达定理与数列的关系.
典型例题：
一、等比数列的基本量的计算
例1.等比数列{}中，已知，求数列{}的前8项和
解法一：由知：；由知：或-2(舍)
∴=2或-2
当=2时，∴
当q=-2时，=-1∴=85
解法二：由题知
可得
或-
∴=4或=-2(舍去)
当=2 时，, =255
当=-2 时，, =85
解法二明显过于复杂，我们在解题时能运用性质，一定要运用性质.
点评：
1、在等比数列{}的通项公式和前几项和公式中共有五个量：一般可以知三求二、通过列方程组求出另外两个量.
2、在进行等比数列基本量的计算时，要恰当运用等比数列的性质，这样可以大大简化运算，有效避免解题错误.
3、利用等比数列的前项和公式时需注意，这是学生在解题过程中最容易忽略的.
同步练习：正项等比数列{}的前n项和为，已知,.
(1)求和; (2)若210-1求.
提示：（1）， =2 ∴=1
（2）=2n-1=-.2n+ =10
二、等比数列的判定与证明
例2.数列{} 的前项Sn,若,.
求证：数列{}是等比数列.
证明：∵ ，①
∴得= ∴=-
又②
②-①得
∴
∵=即：=
∴{} 是以为首项，公比为的等比数列.
点评：数列{}是等比数列 =q (nN*)
且（）
()
(≠0且≠1,其中=-)
注意：
1、前两种是判定数列是等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选填题.
2、若要判定一个数列是等比数列，只需判定其中任意连续三项成等比数列.
同步练习：
1、（06闽）已知数列满足，，
求证：{} 是等比数列.
点拨：求解的关键在于对递推式作合理有效的变形.
2、（08川）设数列{} 的前项和为,已知.
证明：当时，{}是等比数列.
小结：
课后作业：略
课后反思：
①.在本节中学生最容易忽略在等比数列前项和公式中，特别强调公比为字母时一定要讨论；
②.等比数列运算中，首先想到运用性质解题，简化运算，学生很容易直接去解方程组，增加运算量；
③.高考中数列性质运用，主要是1个选择题或填空题，大题经常作为压轴题，第1、2问一般是求通项公式或证明等比数列（较简单），最后一问较难，学生不易完成，我们要求学生重点解决1、2问，必须熟练解决，第3问该丢就丢.
浅谈课堂教学行为的落实
四川省绵阳中学数学组 高应瑜
各位领导、老师们：
大家好！
今天，我代表绵阳中学高三数学组发言，谈谈在第一阶段复习中，课堂教学行为的落实问题。以下是我在课堂教学中的一些想法和做法。
一、关于基础知识的记忆与理解。
我要求学生每节课的前五到十分钟时间，朗读《数学记忆手册》中与本堂课相关的知识要点，这样做便于调控和督促学生过记忆关。如果你让学生在课外去记忆基础知识，那几乎不可能落实，因为高三了，作业多，很多同学完成作业都成问题，哪有间去记这些。即使有的同学有时间，但他也不愿意去记忆基础知识，而更愿意去找题来做。因为他认为只要多做些题，解题能力就会提高，成绩也会上升，殊不知往往事与愿违。这种忽视基础知识记忆的同学相当普遍，因此我们必须让学生过好记忆关。记住了，还在讲课的时候深入分析概念的内涵与外延，公式的正用、逆用、变形用。比如：相等向量的概念，学生记得熟，但做习题“已知点、，向量按向量平移后所得向量是（ ），A. ，B. ，C. ，D. 以上都不是”的错误率相当高，绝大多数同学选B，这是因为学生将图形平移与向量平移相混，忘了向量在平移过程中，方向与模均不变，故向量无论怎样平移，其结果都与原向量相等。这个概念没理解透，对向量平行与向量共线的理解也有问题，这本是同一概念的两种不同的说法而已，但学生往往将它们视为两个不同的概念。于是总认为命题“向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D共线”是真命题。
另外，还要让学生弄清概念与概念之间的本质联系。比如定比分点概念（若，则称是点P分有向线段P1P2所成的比），其本质就是向量共线。因此，有关定比分点的问题，都可以用向量共线求解，并且简洁明了，不易出错。而用定比分点坐标公式求解，常会在坐标代入时出错，或是将定比弄错。如：
例1：已知点，，.
（1）求点P分的比及x的值；
（2）求点P1分P2P的比；
（3）若且，求Q点的坐标.
讲解：（1）由是P分P1P2的比，有：；
向量关系坐标化，有：；
坐标关系方程化，有：，即得
（2）由是P1分P2P的比，有：
所以，即，即
（3）由且，有（同向共线）或（反向共线），然后坐标化、方程化，轻松求解。
这样处理，强调概念（定比分点、向量共线），突出转化（概念向量化、向量坐标系、坐标方程化）。
再比如图形平移（点P按向量平移至），其本质就是向量加法：，故有关点平移问题，就直接用这一关系求解，轻松自然。若用平移公式求解，学生常将与的意义相混而出错。
例2：将函数的图象C按向量平移后得到的图象。使C上面的一点移至点，求图象对应的函数解析式。
讲解：由题设知：
∴
即将图象C向右平移个单位，再向下平移1个单位得到图象。则图象的解析式为。
二、例题讲解重通法，善归纳。
对一个例题而言，除了介绍常规的通解通法外，尽量少介绍其它特殊解法。有次学情调查，学生给我的意见是“高老师，你不要给我们讲那么多解法，我们容易搞混，到头来一个解法都没掌握。”看来，我们的学生并不是想象的那么聪明。因此应该注重通法，善于归纳。
例3：已知等比数列前n项和为2，其后2n项和为12，求再后面3n项的和。
此题很多资料上都用“等比数列中，，，…也成等比数列”求解。我认为此解法增加了学生的记忆负担，而弱化了对等比数列前n项和公式的理解与应用，不好！我是这样讲解的：先将问题转化为“已知，求的值”，然后由求和公式得（由于，所以），视与为整体，解得或，所以或，进而得出结果112或。
此解法既突出整体思想，又不脱离求和公式，简洁明了，还没有增加学生的记忆负担，爽哉！
有的习题解法多，如果一次将各种解法呈现给学生，学生听得惊叹，听得热闹，但课后可能一个解法都没有多深的印象。
例4：已知，，求证：。
此题至少有以下四种方法。
法1：
法2：
，所以。
法3：由，可设：
，，，
则。
法4：设向量，，由有：
。
若在一堂课上将各种解法都讲解，效果不一定很好，在第一轮复习时，只能起个欣赏的作用。不如在复习均值不等式和绝对值不等式时，讲解法1和法2；复习三角函数数时，讲解法3；复习向量数量积时讲解法4。同时配以适当的巩固练习，让学生在练习中领会解法的要领，以形成一种解题技能。
三、课堂上老师懒一点，学生勤一点，效果会好一点。
老师精讲，不要满堂灌，学生勤练，不会听后忘。因此必须留有足够的时间，当堂过手练习，以逐渐形成解题技能。同时，练习题针对性要强。
比如上面讲解例1、例2、例3、例4后，可分别配上习题1：点，，P在直线P1P2上，且，求点P的坐标；习题2：将函数的图象F按向量平移后的图象的解析式为，则 ；习题3：已知等比数列中，，，求；习题4:已知,求的最大值。学生练习后，一定要小结，最好让学生说出，不足或不到之处老师补充，点评。
由于本人水平有限，不足或不妥之处，望大家批评指正。
谢谢大家！
构建完善知识网络，高效备战2010
芦溪中学高三数学组 钟 涛
教育心理学家布鲁纳指出：“不论我们教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构．‘教学’与其说是单纯地掌握事实和技巧，不如说是教授和学习结构．”重视教授和学习学科的基本结构，布鲁纳认为目的有四：第一，有利于对学科知识的理解，“懂得基本原理可以使学科更容易理解．”第二，可以更好地记忆学科知识．他告诫我们：“获得的知识如果没有完整的结构把它们联在一起，多半会遗忘的”．第三，有利于知识的迁移．他认为“领会基本原理和观念，看来是通向适当的训练迁移的大道”．第四，“能够‘缩小’‘高级’知识和‘初级’知识的差距”．
目前各校大多实行“周考”、“月考”，不少学生的数学成绩总不理想，于是失望、焦虑，不知道下一步该怎么办？有的还产生了畏惧情绪，心理压力很重，这样势必越考越差．产生这种情形其实并不奇怪，“游山来到山穷处，终被青山碍着眼”．实际上这时候的学生正处在接受和运用知识的“瓶颈”阶段，数学知识和考点在学生的思维中还是孤立的，没有建构成便于应用的“知识网络”．数学知识本身是有结构的，数学基本概念、基本原理（规律）都按着一定的内在联系方式联系着，客观上存在着一种结构．而数学的知识结构怎样才能转化为学生的认知结构？这需要教师引导学生及时把学过的知识梳理、整合，联系，把这些知识梳理成一个知识网络，留在头脑里．我们的学生才能在高考中脱颖而出．根据建立知识结构图的目的，建立知识结构的步骤可以划分为两步．第一步：认真学好每一个知识点的内容，打下坚实的基础；第二步：把握知识点之间的逻辑联系与体系结构．因此，我个人认为要构建完善知识网络可以从以下几个方面入手：
以基础知识为主线，进行梳理
我们应该充分利用《考试说明》，把知识点从整体上再梳理一遍，既要有横向的串联，又要有纵向的并联，构建数学概念、定理、公式的体系，通过画知识框图，理顺并形成知识网络．由于高考强调在知识网络的交汇点处命题，即增加综合性，考查单一知识点和方法的试题一般不会出现．因此，全面、系统地掌握基础知识和基本方法，构建数学知识网络非常重要．这里特别强调一点：零散的数学知识最终以一定的网络结构形式存在于学生头脑中．知识网络结构不应该是零乱的，只有良好的知识网络结构才更利于学生认知结构的建构与优化．一般地，知识网络形式有以下两种类型：
树状结构：这种结构能清晰地反映出知识的产生过程，帮助学生理解知识的来龙去脉，形成良好的认知结构．由于这种结构比较形象，学生更易接受，并且不易遗忘．
网状结构：这一结构就是我们通常用的知识网络结构．这一结构能清楚的反映知识之间的内在逻辑联系，帮助形成良好知识结构．
二、抓好基础训练，以数学思想方法为主线，进行梳理归类
建立知识体系并不只是罗列１，２，３，４，……，而是在系统的内部结构中，认识它们的内在联系并提炼理性的认识．高考的要求是：“系统地掌握知识的内在联系，对所列的知识内容有较深刻的理性认识”． 即构建数学思想、数学方法的知识体系．
1．基础训练应充分体现“基础性”主要是源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，相关章节知识点的选择题、填空题、低中档题，进一步了解高考命题特点，激发兴趣，增强信心．一个单元复习完成后，应作单元小综合训练，应该着眼于基本内容、基本方法的考查，是一种把关性的训练，提高根据不同问题和要求去恰当地调动相关知识和方法的灵活性和警觉性．如单调性问题的解法．可总结所有有关单调性问题，定义法，图像法，导数法，复合函数的单调性问题，单调性问题中参数的讨论等，又如立体几何小题以点线面的关系判断为考察对象而大题则以线线平行或垂直的证明，线线角，线面角二面角的求解为主．只要总结出线面角的求法有定义法，法向量法，等积求点面距离等，二面角求法有定义法，法向量法，射影法．类似题目迎刃而解．
2．以数学方法为载体，强化知识网络中各结构的特点,分别以函数与方程的思想，数形结合思想，转化与划归思想，分类讨论思想等总结相应问题的解法，做到多题一法．譬如数形结合有三个载体，函数本身既有数又有形，是代数问题和几何问题的结合体，又有解析几何，也是用代数问题解几何问题体现数形结合．立足基础，突出通法，揭示知识发生、发展和深化过程，展示问题的思维过程，从中领悟基础知识、基本方法的应用，通过变式训练归纳解题方法、技巧、规律和思想方法，促进由知识向能力转化，实现自我完善，争取收到做一题得一法，会一类通一片的效果．
三、以错题本为载体，梳理易错难懂的问题
1．准备一个错题本，这事说的容易，其实坚持下来很难．要有恒心，最后你就会发现努力没有白费！
2．要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，应尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举．认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应不造成不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决．
3．在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系．
4．老师在教学中要引导学生查缺补漏，相当于对知识的一个补充，做到万无一失，构成完整的知识体系．
四、持之以恒，加强研究性学习
众所周知，习惯的培养是一个持之以恒的过程，往往需要很长的时间，而且习惯养成的必要步骤也在于不断地讲，不断地让学生实践．特别是自觉性较差的学生，由于多种原因，使他们有时表现看起来还可以，稍加放松，他们又会反复出现不自觉的坏习惯，这就需要老师时时监督，一定要严格要求．通过学生亲历知识梳理的过程，他能够对整个知识网络进行了解，也对知识之间的这种不同联系有一个不同的认识；学生在知识的梳理过程中，那么他的心中有很多的疑惑和感触，需要教师引导学生把这些疑惑和感触记录下来，然后充分利用晚自习复习，整理，归纳，这样能够使学生得到更多的收获．
俄国教育家乌申斯基有句名言“智慧不是别的，而是组织得好的知识体系”．数学是思维的学科，数学知识是一个逻辑系统，不能死记硬背，只有把各个概念之间的区别与联系搞清楚，才能灵活地运用，更好地解题．所以我个人建议把复习的着眼点放在建构完善的“知识网络”上，完善知识，总结方法，做到由一题多解到多题一解，“以不变应万变”，教好数学，在高考中取得好的成绩．
附件1 　　解析几何知识网络
附件2　　　　　　　案例《导数应用复习课》
教师：学习了导数之后，我们研究函数如虎添翼，对函数的性质有了更好、更深刻的了解．这节课我们一起来领略导数的巨大作用．
问题1：对于函数，同学们利用导数可以研究哪些？
学生活动（板演）：求解单调区间和极值．
教师：很好！有了这些，我们还能对这个函数有更深一步的了解吗？
学生活动：描绘出图像．
教师：能求这个函数的最大和最小值吗？
学生：不能，从图像上看出函数无最值．但添上闭区间就可以了．
教师：那好，求在区间上的最值．
学生活动：列表或根据图像可得，最大值为，最小值为.
教师：设，是否存在实数使得对任意的,有恒成立？
学生活动：只要看的最大和最小值之差为20，所以.
教师：非常好！同学们能根据所学知识非常严谨规范地解决函数的单调性问题、极值和最值问题，更关键的是我们可以了解函数的图像，为我们进一步研究函数问题做好了准备．
问题2：函数是上的增函数，上的减函数，求.
学生活动：由题意=0，得.
教师：有问题吗？导数为0的点一定是极值点吗？一定保证－1是极大值点吗？
学生：不能，要检验．
教师：如果函数是上的增函数，求的取值范围．
学生活动(讨论交流)：.结合二次函数图像或利用参数分离求得.教师：如果函数是上的减函数，求的取值范围.
学生活动(讨论交流)：.结合二次函数图像或利用参数分离求得.
教师：大家做的非常棒！对于含有参数的有关问题，利用导数的相关知识，结合其他相关的方法和知识，问题可以得到解决．但对于第一个问题，要注意问题的严谨性，加以检验．
问题3：通过问题1，我们能够利用导数得到函数图像；通过问题2，我们可以研究含有参数的问题．那么请同学们讨论，能否编制一道结合这两个知识点的题目？
学生交流活动，教师加以指导，请同学发言：
试讨论函数的图像与函数的图像的交点个数？
学生活动：通过导数描绘出的图像，观察可得
当时,有一个交点；
当时,有两个交点；
当时,有三个交点.
教师：题目很好，但提示太明显．能否对图像的作用隐晦点表露出来，以代数的形式来表达？
学生讨论：讨论方程的解的个数．
教师：这道题目更好地体现了数形结合的数学思想方法，实属高层次！
师生总结本节课收获．
【评述】导数的应用主要体现在函数的相关知识之中，其中有数的运算，有形的结合．本节课在例题的设置上，教师利用学生已有的知识基础，极好地整合了学生的主体性和教师的主导性，通过变式，使得问题层次不断提高，知识不断呈现巩固，强化了重要的知识点，让学生在头脑中清晰地形成本章节的知识脉络；同时思想方法在无形中渗透，使学生的能力得到了提高，思考问题有了一定的高度和深刻性．
【后记】高三数学的课堂教学以复习为主，一轮重基础，达到基本知识点和基本方法的梳理；二轮重专题，知识的强化是目标．但更重要的应是如何在复习中使得学生达到能力的提高，能站在一定的高度来把握每章节的知识点、方法以及不同章节之间的联系，使知识达到一种整体性，即构建成知识的网络结构，从而使得学生对问题的剖析更有深度，让思考有一定的外延，培养创新意识和能力．

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