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2024-2025学年第二学期初一数学第十一周滚动练习卷
考察范围：第9章-第10章
一．选择题（共8小题）
1．我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜36文，问两种布每尺各多少钱？设绫布每尺x文，罗布每尺y文，那么可列方程组为（　　）
A．； B．； C．； D．
2．若多项式9x2﹣mx+1是一个完全平方式，则m的值为（　　）
A．3 B．±3 C．6 D．±6
3．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为（　　）
A．； B．； C．； D．
4．若多项式x2﹣2mx+16是一个完全平方式，则m的值为（　　）
A．8 B．±8 C．4 D．±4
5．被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各重多少斤？”设每只雀重x斤，每只燕重y斤，可列方程组为（　　）
A．； B．； C．； D．
6．我国古典数学文献《增删算法统宗 六均输》中这样一个题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当”．译文：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问原来甲，乙各有多少只羊？设原来甲有羊x只，乙有羊y只，则符合题意的方程组是（　　）
A．； B．； C．； D．
7．边长分别为a和b（其中a＞b）的两个正方形按如图摆放，如果a+b＝6，ab＝8，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．8.5 B．10 C．18 D．36
第7题第8题
8．如图，在△ABC中，已知点D为BC的中点，点E在AC边上，且EC＝2AE，AD、BE相交于点F，若△ABC的面积为24，则四边形CDFE的面积是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
二．填空题（共8小题）
9．若是的解，则a＝　 　 ，b＝　 　 ．
10．若a+b＝7，ab＝12，则代数式a2+b2﹣4ab的值等于 　 　 ．
11．已知方程组，则x2﹣y2的值等于 　 　 ．
12．已知a+2b＝1，则a2﹣4b2+4b的值为 　 　 ．
13．在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E在AC上，∠C＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°．小明将△ADE从图中位置开始，绕点A按每秒6°的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第 　 　 秒时，边AB与边DE平行．
第13题第15题第16题
14．已知2x+3y＝5，用含x的代数式表示y，则y＝　 　 ．
15．如图，先将两个全等的直角三角形ABC、DEF重叠在一起，再将三角形DEF沿CA方向平移2cm，AB、EF相交于点G．若BC＝8cm，GE＝3cm，则阴影部分的面积为 　 　 cm2．
16．我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫格．图1就是一个幻方，将9个数填入幻方的空格后，幻方的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和都相等．图2是一个未完成的幻方，则m的值是 　 　 ．
三．解答题（共14小题）
17．解下列方程组：
（1）； （2）． （3）．
18．对于有理数x、y定义一种新运算“※”：规定x※y＝ax﹣by+2，等式右边是通常的四则运算．例如：2※1＝2a﹣b+2．
（1）若1※（﹣1）＝﹣4，3※2＝4，求a、b的值；
（2）若运算“※”满足交换律，即对于任意有理数x、y（x≠y），都满足x※y＝y※x，求a、b之间的数量关系．
19．已知关于x，y的二元一次方程组（m是常数）．
（1）若方程组的解满足3x+y＝14，求m的值；
（2）若方程组的解满足x﹣3y≤5，求m的取值范围．
20．2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛于5月14日至5月21日在苏州奥体中心举行．决赛中，中国队以3：0战胜韩国队，完成三连冠壮举，历史上第13次登顶.5月15日该项赛事的小组赛票价如下：
2023 年通达尔能源苏打迪曼杯世界羽毛球混合团体识标赛TotalEnergies BIYF Sudirman Cup Finals 2023 票价总览图
小组赛
日期 时间 A B C
5/15MON 10：00 ￥380 ￥180 ￥80
17：00 ￥480 ￥280 ￥180
（1）若购买10：00场次的A类门票和B类门票共7张，总票价为1860元，A、B两类门票各买了多少张？
（2）若再次购买17：00场次的A类门票和C类门票共10张，且总票价不超过2100元，最少购买C类门票多少张？
（3）已知购买10：00场次的B类门票和C类门票各若干张，共花费1620元，有哪些购买方案？
21．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：
阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知a2+4ab+5b2+6b+9＝0，求a＝　 　 ，b＝　 　 ；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求c的值；
（3）若A＝3a2+3a﹣4，B＝2a2+4a﹣6，试比较A与B的大小关系，并说明理由．
22．2024长三角国际田径钻石赛（上海/苏州）于2024年4月27日19：00在苏州奥体中心体育场举行．本站赛事名将云集，来自全球的近200名顶尖运动员参与了16个项目的激烈角逐．本站赛事门票价格如下：
门票类别 VIP A区 B区 C区 D区
票价（元） 880 580 380 180 80
（1）若购买C区、D区门票共5张，总票价为700元，C区、D区门票各购买了几张？
（2）若购买A区、B区门票共5张，总票价不超过2400元，最多购买了几张A区门票？
（3）若购买VIP、A区、B区门票共10张，总票价为5500元，可能购买了几张VIP门票？
23．对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝ax+by+4（其中a、b均为非零常数）．例如：T（0，0）＝a×0+b×0+4＝4，已知T（1，1）＝5，T（﹣1，2）＝0．
（1）则a＝　 　 ，b＝　 　 ；
（2）已知m＞0，n≥0，且T（m，﹣n）＝6，求T（3m，n）的取值范围；
（3）求T（2x2，4y）+T（2y2，﹣4x）的最小值．
24．先化简，再求值：（x﹣2y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣x（x﹣4y），其中x＝﹣1，y＝2．
25．解方程组：（1）； （2）．
26．海南省图书馆现需购买一批书架，有木质和铁质两种书架可供选择，已知购买2个木质书架比购买1个铁质书架少用40元，购买3个木质书架和2个铁质书架共需780元，求这两种书架的单价分别为多少元？
27．小丽在进行因式分解时发现一个现象，关于x的二次多项式ax2+bx+c若能分解成两个一次整式相乘的形式（mx+p）（nx+q），当mx+p＝0或nx+q＝0时，原多项式的值为0，则定义和为多项式ax2+bx+c的“零值”，两个“零值”的平均值为多项式的“对称值”．例如：3x2﹣5x﹣2＝（3x+1）（x﹣2），当3x+1＝0或x﹣2＝0时，3x2﹣5x﹣2的值为0，则多项式3x2﹣5x﹣2的“零值”为和x＝2，3x2﹣5x﹣2的“对称值”为．
根据上述材料，解决下列问题：
（1）多项式9﹣4x2的“零值”为 　 　 ，“对称值”为 　 　 ；
（2）若关于x的多项式（x+1）2+m（x+1）+9的两个“零值”相等，求m的值以及多项式（x+1）2+m（x+1）+9的“对称值”；
（3）若关于x的多项式x2﹣ax有一个“零值”为x＝6，关于x的另一个多项式x2+bx+c与多项式x2﹣ax的“对称值”相同，且多项式x2+bx+c的两个“零值”之比是2：1，求a、b、c的值．
28．阅读与思考
“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题：已知实数x，y满足，求x﹣4y和7x+5y的值．
小明：利用消元法解方程组，得出x，y的值后，再分别代入x﹣4y和7x+5y求值．
小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，可通过适当变形，整体求得代数式的值，3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，由①﹣②，可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2，可得7x+5y＝19．
李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．
请你参考小逸同学的做法，解决下面的问题．
（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝ 　 　 ，5x+4y＝ 　 　 ．
（2）已知关于x，y的二元一次方程组，若方程组的解满足x﹣y＝﹣1，求k的值．
29．阅读理解：已知实数x，y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝　 　 ，x+y＝　 　 ；
（2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买10支铅笔、10块橡皮、10本日记本共需多少元？
（3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知3*5＝15，4*7＝28，求6*11的值．
30．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图1，图2中阴影部分的面积分别能解释的数学公式．
图1：　 　 ；图2：　 　 ．
【例题解析】：如图3，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
方法一：从“数”的角度解：
∵a+b＝3，∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9；
又∵ab＝1，∴a2+b2＝7．
方法二：从“形”的角度解：
∵a+b＝3，∴S大正方形＝9，又∵ab＝1，∴S2＝S3＝ab＝1，
∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7．
其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．
【类比迁移】：
（2）若（3﹣x）（x+1）＝3，则（3﹣x）2+（x+1）2＝　 　 ．
（3）如图4，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝7，两正方形的面积和S1+S2＝29，求图中阴影部分面积．
解①得：，解②得：，故答案为：；．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，利用二元一次方程组的解的定义正确得出关于a、b的方程是解题关键．
10．【解答】解：∵a+b＝7，ab＝12，
∴a2+b2﹣4ab＝（a+b）2﹣6ab＝72﹣6×12＝49﹣72＝﹣23．故答案为：﹣23．
【点评】本题考查了对完全平方公式的应用，能正确根据公式进行变形是解此题的关键，用了整体代入思想，注意：完全平方公式有：①（a+b）2＝a2+2ab+b2，②（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
11．【解答】解：，
①+②得：5x+5y＝10，即x+y＝2，①﹣②得：x﹣y＝﹣2，则原式＝（x+y）（x﹣y）＝﹣4．答案：﹣4．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及平方差公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
12．【解答】解：∵a+2b＝1，∴a2﹣4b2+4b＝（a+2b）（a﹣2b）+4b
＝a﹣2b+4b＝a+2b＝1．故答案为：1．
【点评】本题考查代数式求值，解题的关键是将所求式子变形，再整体代入．
13．【解答】解：①当DE在AB的上方时，如图1，
∵∠C＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°，∴∠BAC＝30°，∠E＝45°，
∵AB∥DE，∴∠BAE＝∠E＝45°，∴∠CAE＝∠BAC+∠BAE＝75°，∴其旋转的时间为：（秒）；
图1图2
②DE在AB的下方，如图2，
∵∠C＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°，∴∠BAC＝30°，∠E＝45°，
∵AB∥DE，∴∠BAE+∠E＝180°，∴∠BAE＝180°﹣∠E＝135°，∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝105°，
∴旋转的角度为：360°﹣∠CAE＝255°，∴旋转的时间为：（秒），
综上所述：当旋转过程中，第或秒时，边AB与边DE平行．故答案为：或．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是对DE的位置进行讨论，明确有两种情况．
14．【解答】解：2x+3y＝5，解得：y．故答案为：．
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作未知数，y看作未知数．
15．【解答】解：由全等三角形的性质可知CF＝2cm，EF＝BC＝8cm，∠DFE＝∠C＝90°，
∴FG＝EF﹣GE＝8﹣3＝5cm．由平移的性质可知CF＝2cm，
∴S阴影＝S直角梯形BCFG（FG+BC）×CF（5+8）×2＝13（cm2）．故答案为：13．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，平移的性质，求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转化为规则图形面积是解题的关键．
16．【解答】解：由题意可得，
图2中右下角的数字为：（6﹣2+m）﹣（m+4）＝0，
图2中第二行第二个数字为：（6﹣2+m）﹣（6+0）＝m﹣2，
图2中第一行第二个数字为：（6﹣2+m）﹣（4+m﹣2）＝2，
故6+2＝m+（m﹣2），解得m＝5，故答案为：5．
【点评】本题考查一元一次方程的应用、数学常识，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
三．解答题（共14小题）
（3）A＞B，理由如下：∵A＝3a2+3a﹣4，B＝2a2+4a﹣6，
A﹣B＝3a2+3a﹣4﹣（2a2+4a﹣6）＝3a2+3a﹣4﹣（2a2+4a﹣6）＝3a2+3a﹣4﹣2a2﹣4a+6
＝a2﹣a+2＝（a）2，∵（a）2≥0，∴（a）20，∴A＞B．
【点评】本题考查了配方法的应用，结合偶次方的非负性求值的问题，本题属于中档题．
22．【解答】解：（1）设购买x张C区门票，则购买（5﹣x）张D区门票，
根据题意得：180x+80（5﹣x）＝700，解得：x＝3，∴5﹣x＝5﹣3＝2．
答：购买3张C区门票，2张D区门票；
（2）设购买y张A区门票，则购买（5﹣y）张B区门票，
根据题意得：580y+380（5﹣y）≤2400，解得：y，又∵y为正整数，∴y的最大值为2．
答：最多购买了2张A区门票；
（3）设购买m张VIP门票，n张A区门票，则购买（10﹣m﹣n）张B区门票，
根据题意得：880m+580n+380（10﹣m﹣n）＝5500，∴n，
又∵m，n，（10﹣m﹣n）均为正整数，∴或．
答：购买了1张或3张VIP门票．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
23．【解答】解：（1）∵T（1，1）＝5，T（﹣1，2）＝0，
∴，解得；故答案为：2，﹣1；
（2）∵T（m，﹣n）＝6，∴2m+n+4＝6，∴n＝﹣2m+2，
∴T（3m，n）＝6m﹣n+4＝6m+2m﹣2+4＝8m+2，
∵m＞0，n≥0，∴﹣2m+2≥0∴0＜m≤1，∴2＜8m+2≤10，∴2＜T（3m，n）≤10；
（3）∵T（2x2，4y）+T（2y2，﹣4x）＝4x2﹣4y+4+4y2+4x+4＝（2x+1）2+（2y﹣1）2+6≥6，
∴T（2x2，4y）+T（2y2，﹣4x）的最小值为6．
【点评】考查解二元一次方程组、新定义，能理解新运算，并能将新运算与所学运算相结合是解题的关键．
24．【解答】解：（x﹣2y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣x（x﹣4y）
原式＝x2﹣4xy+4y2+4x2﹣y2﹣x2+4xy＝4x2+3y2，
当x＝﹣1，y＝2时，原式＝4×（﹣1）2+3×22＝4+12＝16．
【点评】本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是关键．
25．【解答】解：（1），
①×2，得4x﹣6y＝﹣10③，②×3，得9x+6y＝36④，③+④，得13x＝26，解得：x＝2，
把x＝2代入①，得2×2﹣3y＝﹣5，解得：y＝3，∴方程组的解为；
（2），
整理，得，②×5，得﹣5x+45y＝10③，①+③，得46y＝46，解得：y＝1，
把y＝1代入②，得﹣x+9×1＝2，解得：x＝7，∴方程组的解为．
【点评】考查解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法：加减消元法和代入消元法是解题的关键．
26．【解答】解：设木质书架单价为x元，铁质书架的单价为y元，
根据购买2个木质书架比购买1个铁质书架少用40元，购买3个木质书架和2个铁质书架共需780元可得：，解得，
答：木质书架单价为100元，铁质书架的单价240元．
【点评】本题考查二元一次方程组，正确找到等量关系列出方程是解题关键．
27．【解答】解：（1）9﹣4x2＝（3+2x）（3﹣2x），∴3+2x＝0，3﹣2x＝0，∴x和，
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