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2024-2025学年河北省衡水市第二中学高一下学期第二次调研考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，是奇函数且周期为的是( )
A. B.
C. D.
2.在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则( )
A. B. C. D.
4.已知平行四边形中，点为的中点，，，若，则( )
A. B. C. D.
5.魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正边形，求出圆周率约等于，和相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知的近似值还可以表示成，则的值约为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的部分图象如图所示，若是直线与函数图象的从左至右相邻的三个交点，且，则实数( )
A. B. C. D.
7.已知在中，，，设是的内心，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知圆的半径为，和是圆的两条动弦，若，，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 若，则存在唯一实数使得
B. 已知非零向量、和实数，则“”是“”的必要而不充分条件
C. 若且，则三角形为等腰直角三角形
D. 若平面向量，，两两夹角相等，且，，，则
10.如图，在平面直角坐标系中，，，，则下列说法正确的有( )
A. B. 四边形的面积为
C. 外接圆的周长为 D.
11.设函数，则( )
A. 的图象有对称轴 B. 是周期函数
C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.是钝角三角形，内角，，所对的边分别为，，，，，则最大边的取值范围是 ．
13.如图放置的边长为的正方形的顶点，分别在轴、轴正半轴含原点滑动，则的最大值为 ．
14.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理如图假定在水流量稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个半径为米的圆，筒车按逆时针方向每旋转一周用时秒，当时，筒车上的某个盛水筒位于点处，经过秒后运动到点，点的纵坐标满足已知筒车的轴心距离水面的高度为米，设盛水筒到水面的距离为单位：米盛水筒在水面下时，则为负数，则筒车在秒的旋转运动过程中，盛水筒位于水面以下的时间有为 秒．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角所对的边分别为，已知．
求的值；
若的面积为，求的值．
16.本小题分
如图，在中，是的中点，点满足与交于点．
设，求实数的值；
设是上一点，且，求的值．
17.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求角；
若是的角平分线，，的面积为，求的值．
18.本小题分
某公园规划一个凸四边形区域种植两种花卉以供欣赏，具体设计如下：如图，将四边形划分为两个三角形区域分别种植两种花卉，，设．
用表示的面积，并求的最大值；
为了提高观赏效果，计划在和边上安装护栏，其中边上的护栏需要进行延长设计，因此一共需安装长度为的护栏，若该护栏每米造价为元，求建造护栏所需费用的最小值参考数据：
19.本小题分
对于定义在上的连续函数，若存在常数，使得对任意的实数都成立，则称是阶数为的回旋函数．
试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由；
若是回旋函数，求实数的值；
若回旋函数在上恰有个零点，求的值．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.，
由余弦定理可得：，
，
又，
，即，
又，，可得，
，即，
．
由知，，
又，故，，
，
解得．
．
16.以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则．
由，得，所以．
由是的中点，得，所以．
设，则．
因为三点共线，
所以，即，
因为三点共线，
所以，即，
联立解得点的坐标为，
所以．
所以，所以实数的值为．
因为上的点满足，
设，
则．
因为，所以，解得，所以点的坐标为，
所以．
又，所以．
17.由可得
故，进而，
由于所以
由面积公式得，解得，
，，
即，，
又，，
．
18.在中，，，则，
由正弦定理，，即，
解得，
，
，则，，
所以当，即时，取得最大值，最大值为．
在中，由正弦定理，得，
同理可得，
，
，，
因为在上单调递增，所以，
，
所以建造护栏所需费用的最小值为元
19.因为，
所以，
所以不恒成立，
所以函数不是一个阶数为的回旋函数．
设是阶数为的回旋函数，则，
若，上式对任意实数均成立；
若，，
因为的值域为，所以，
当时，对任意实数有，
则，，
所以，；
当时，对任意实数有，
则，，所以，．
综上所述，，．
因为对任意的都成立，
由可知，，，
所以．
令，解得
因为函数在上恰有个零点，所以，所以．
又因为，所以，所以．

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