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湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期月考卷（八）
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.在中，点是的中点，点在上，若，则( )
A. B. C. D.
4.在的展开式中，的系数是( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是( )
A. B. C. D.
7.设随机变量服从二项分布，则函数有零点的概率是( )
A. B. C. D.
8.雅礼中学科技社成员设计的一款机器人，其手臂可以向前、向后、向左、向右、向上、向下六个方向自由伸展，每接到一次方向指令，它向指定方向移动一个单位．假设该机器人接到六个方向指令是等可能的，现向机器人随机发次方向指令，它按指令依次做了次伸展，其手臂回到原来位置的概率为( )
A. B. C. D. 以上都不对
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 线性相关系数越小，两个变量的线性相关性越弱
B. 在线性回归模型中，决定系数越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
C. 独立性检验方法不适用于普查数据
D. 已知随机变量，若，则
10.设，，表示三个不同的平面，表示直线，则下列选项中，使得的是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
11.已知曲线，，则下列选项正确的是( )
A. ，使得曲线为圆
B. ，曲线都关于点中心对称
C. 当时，
D. 当时，直线是曲线的一条渐近线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.写出一个同时具有下列性质的函数 ．；在上是增函数．
13.已知为双曲线的左焦点，是的右顶点，是上一点，且，，则的离心率为 ．
14.数列的前项和为，且满足，，则可能的不同取值的个数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点．
证明：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
16.本小题分
在中，角、、所对应的边分别为、、，已知．
求角；
若，所在平面内有一点满足，且平分，设．
求面积表达式；
确定面积的取值范围．
17.本小题分
椭圆的右焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，为坐标原点，，设直线的斜率为，且．
求椭圆的方程；
若为椭圆上一点，且为的重心，求．
18.本小题分
已知函数．
若在区间上单调，求实数的取值范围；
若函数有两个不同的零点．
求实数的取值范围；
若恒成立，求证：．
19.本小题分
已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局．
如果约定先净胜两局者获胜，求恰好局结束比赛的概率；
如果约定先净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜局．设甲在净胜局时，继续比赛甲获胜的概率为，比赛结束甲、乙有一方先净胜三局时需进行的局数为，期望为．
求甲获胜的概率；
求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一，形如都可以
13.
14.
15.在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，
以点为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
又，点是棱上靠近端的三等分点
则．
，
设平面的一个法向量为，
则，即
令，得，则，
又，可得，
因为平面，所以平面．
易知，设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，
由知，平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．

16.由，
即，即，
所以，即，所以，
又，所以．
由题知，又，，
在中，，故，
则，
由正弦定理有，，则，
故面积，所以；
因为，
又，所以，知函数在区间上单调递增，
又，，故面积的取值范围为．

17.设，，则，又，在椭圆上，
，两式作差，整理得：，
，又，
，，故椭圆的方程为．
设直线的方程为，
与椭圆联立并整理得：，，
，则，
又恰为的重心，故坐标为，即
因为在椭圆上，即，
故，即，解得，
，
而，，
故；
．

18.由题设，当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
而在区间上单调，所以；
，且，
令且，则，
若，，即在定义域上递增，所以函数至多有个零点，不符；
当时，时，时，
在上单调递增，在上单调递减，
则，得，
又，，
另且，则，
所以在上单调递增，则，所以，
即在和各存在一个零点，满足题设，
所以；
(ⅱ)记两个零点为，结合恒成立，
则为的两个零点，则，，
且，要证，
即证，即证
令，即证，
令，则，
所以，得证；
要证，即证
令，则，则，
所以，得证．
综上，．

19.局结束比赛时甲获胜，则在前局甲乙各胜一局，并且第，局甲胜，
概率为；局结束比赛时乙获胜，则在前局甲乙各胜一局，并且第，局乙胜，概率为，所以恰好局结束比赛的概率为．
在甲净胜局前提下，继续比赛一局：
若甲赢，则甲的状态变为净胜局，继续比赛获胜的概率为；
若甲输，则甲的状态变为净胜局，比赛结束，
根据全概率公式，，同理，，，，
由，，得，
与联立消去，得，
又，，得，
与联立消去，得，
所以甲获胜的概率为．
在甲净胜局前提下，继续比赛一局：
若甲赢，则甲的状态变为净胜局，继续比赛至结束，还需要局，共进行了局；
若甲输，则甲的状态变为净胜局，比赛结束，共进行了局，
则，即，
同理，即，
，即，
，即，
，即
联立与，得，
联立与，得，
代入，得，
所以．

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