资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2025年山东省济南市九年级学业水平考试数学二模练习试卷
本试卷共25题，满分150分．考试时间为120分钟
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1 . 2025年是春意盎然，生机勃勃的“双春年”，实数的相反数是（ ）
A． B． C． D．
榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”
如图是其中一种卯，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
3 . 截至3月12日，《哪吒2》全球总票房已突破14900000000元，位居全球动画电影票房榜第1名．
全球影史票房榜第6位．其中数14900000000 用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
4. 如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．
若，，则α等于（　 　）
A． B． C． D．
5. 下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6 . 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7 . “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票（如图），他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A． B． C． D．
某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门测得历下亭在北偏东37°方向，
继续向北走105m后到达游船码头，测得历下亭在游船码头的北编东53°方向．
请计算一下南门与历下亭之间的距离约为（　　 ）（参考数据：，）
A．225 B．275 C．300 D．315
9 . 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交、于点、，若，，则的长为（ ）
A． B． C．1 D．
10 .已知y关于x的二次函数，下列结论中正确的序号是（ ）
①当时，函数图象的顶点坐标为；
②当m≠0时，函数图象总过定点：
③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；
④若函数图象上任取不同的两点、，
则当时，函数在时一定能使成立．
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．
11. 代数式与代数式的值相等，则x＝ ．
12 .如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次
（假设飞镖落在游戏板上），则停留在阴影区域上的概率是 ．
为倡导绿色出行，我市在地铁口设置了共享单车服务．图①是某款共享单车的实物图，
图②是其结构示意图．支架和与地面平行，．
当为多少度时，平行于支撑杆？________
14.某中学组织甲、乙两个生态兴趣小队在公园进行自然寻宝徒步，由出发点步行前往公里远的集合点．
学校安排两队在不同时刻出发，已知乙队始终以公里/小时的速度匀速前进，甲队匀速前进小时后，速度降低为原来的一半，最后两队恰好同时到达集合点．甲、乙两队前进的路程（单位：）
与甲队出发时间（单位：）的函数图象如图所示，当甲出发时间时，甲乙两队相距 ．
15 .如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，
若，则 ．
三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.计算：．
17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解．
如图，在平行四边形中，点E在边上，且，点F为线段上一点，且．
求证：．
如图1是某公交车的站台，主要由顶棚，站牌，底座构成．图2是其截面示意图，站牌截面是矩形，边平行于地面，边竖直于地面，顶棚与站牌上端的夹角，底座与地面的夹角．经测量，．
(1)求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离；
(2)求棚顶边缘点E到地面的距离．（结果精确到）（参考数据：，）
如图，为直径，C、D为上不同于A、B的两点，，连接CD，过点C作，垂足为E，直线与相交于F点．
(1)求证：为的切线；
(2)当时，求的长．
电影《哪吒之魔童闹海》全球票房突破150亿，进入全球票房榜前五，为了解大家对电影的评价情况，某社团从观影后的观众中随机抽取部分观众对电影进行评价，并对评分（十分制）进行统计整理，所有观众的评分均高于7.5分．
数据共分成五组（电影评分用表示）：
A：；B：；C：；D：；E：．
下面给出了部分信息：
组的数据：
9.1，9.1，9.2，9.2，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.5，9.5，9.5，9.5，9.5，9.5．
：不完整的观众评分频数直方图和扇形统计图如下：
请根据以上信息完成下列问题：
(1)求随机抽取的观众总人数；
(2)扇形统计图中C组对应扇形的圆心角的度数为 度；
(3)请补全频数直方图；
(4)抽取的观众对电影评价的中位数是 分；
(5)清明假期期间某电影院有1500人参加了此次评分调查，请估计此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数．
22. “明湖市集”作为首个“非遗版”春节的重要组成部分，通过非遗展演、民俗体验等特色活动，在大明湖畔绘就了传统与现代交融的节日画卷．某文创商店花费925元购进“泥塑兔子王”和“清照团扇”共80件．其中两种产品的成本价和销售价如下表：
成本价（元/件） 销售价（元/件）
泥塑兔子王 15 25
清照团扇 10 17.5
(1)该文创产品店第一次购进泥塑兔子王和清照团扇各多少件？
(2)因市集火爆，全部售完后该文创店第二次购进两种产品共100件．若此次购进泥塑兔子王的数量不超过清照团扇数量的1.5倍，且全部售完．设第二次购进泥塑兔子王a件，获利W元．则第二次如何进货，才能使获利最大？最大利润是多少？
23.如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)连接，，求的面积；
(3)如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标．
24 .如图所示，已知抛物线经过点、、，
与直线交于B，D两点．
(1)求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
(2)点P为直线下方抛物线上的一个动点，试求出面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)点Q是线段上异于B，D的动点，过点Q作轴于点F，交抛物线于点G，当为直角三角形时，直接写出点Q的坐标．
25. 【问题发现】
（1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接，则和的数量关系为 　 　；
【拓展延伸】
（2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
【归纳应用】
（3）在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，请直接写出当时的长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2025年山东省济南市九年级学业水平考试数学二模练习试卷解答
本试卷共25题，满分150分．考试时间为120分钟
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1 . 2025年是春意盎然，生机勃勃的“双春年”，实数的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相反数的定义：相反数是只有符号不同的两个数；熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
【详解】解：实数的相反数是，
故选：D．
榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”
如图是其中一种卯，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握组合体的三视图是解题的关键．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】
解：从正面看，卯的主视图是故选：A．
3 . 截至3月12日，《哪吒2》全球总票房已突破14900000000元，位居全球动画电影票房榜第1名．
全球影史票房榜第6位．其中数14900000000 用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可．
【详解】解：14900000000用科学记数法表示为．
故选：C．
4. 如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．
若，，则α等于（　 　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据旋转的性质得出，，，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，最后三角形内角和定理得出，即可得出答案．
【详解】解：∵绕顶点C逆时针旋转得到，且点B刚好落在上，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
5. 下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式；
根据同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式逐项计算即可．
【详解】解：A.，原式错误；
B.和不是同类项，不能合并，原式错误；
C. ，计算正确；
D. ，原式错误；
故选：C．
6 . 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案．
【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
故选：B．
7 . “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票（如图），他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查列表法与画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．
【详解】解：将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”分别用字母A、B、C、D表示，根据题意可画树状图如下．
由图知，一共有12种等可能性的结果，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性有2种，
小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是．
故选：D．
某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门测得历下亭在北偏东37°方向，
继续向北走105m后到达游船码头，测得历下亭在游船码头的北编东53°方向．
请计算一下南门与历下亭之间的距离约为（　　 ）（参考数据：，）
A．225 B．275 C．300 D．315
【答案】C
【分析】如图，作于．设，．构建方程组求出，即可解决问题．
【详解】如图，作于．设，．
在中，，即，
在中，，即，
解得，，
∴（），
故选C．
9 . 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交、于点、，若，，则的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】如图所示，过点D作，勾股定理求出，由作图可得，平分，垂直平分，证明出，得到，，设，则，勾股定理求出，，然后证明出，得到，然后代数求出，进而求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D作于H，
∵，，
∴
由作图可得，平分，垂直平分
∴，
又∵
∴
∴
∴
设，则
∴在中，
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴，即
∴
∴．
故选：A．
10 .已知y关于x的二次函数，下列结论中正确的序号是（ ）
①当时，函数图象的顶点坐标为；
②当m≠0时，函数图象总过定点：
③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；
④若函数图象上任取不同的两点、，
则当时，函数在时一定能使成立．
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】A
【分析】求出当时，二次函数图象的顶点坐标即可判断①；当m≠0时，二次函数，当时，y的值与m无关，求出x的值，即可得到定点，即可判断②；求出，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；即可判断③；当时，抛物线的对称轴为，则抛物线开口向下，当时，只有当对称轴在右侧时，y才随x的增大而减小，即成立，即可判断④．
【详解】解：当时，二次函数，此时函数图象的顶点坐标为，故①正确；
当m≠0时，二次函数，
当时，y的值与m无关，
此时，，
当时，，当时，，
∴函数图象总过定点，：故②正确；
当时，，
∵，
∵，
∴，
∴当时，
∴，
∴函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；故③正确；
函数图象上任取不同的两点、，则
当时，抛物线的对称轴为，
∴抛物线开口向下，
当时，只有当对称轴在右侧时，y才随x的增大而减小，即成立，故④错误，
综上可知，正确的是①②③，
故选：A
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．
11. 代数式与代数式的值相等，则x＝ ．
【答案】7
【分析】根据题意列出分式方程，求出方程的解，得到x的值即可．
【详解】解：∵代数式与代数式的值相等，
∴，
去分母
，
去括号号
，
解得，
检验：当时，，
∴分式方程的解为．
故答案为：7．
12 .如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次
（假设飞镖落在游戏板上），则停留在阴影区域上的概率是 ．
【答案】
【分析】此题考查几何概率．根据几何概率的求法：飞镖停留在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：∵总面积为，
其中阴影部分面积为，
∴飞镖停留在阴影部分的概率是，
故答案为：．
为倡导绿色出行，我市在地铁口设置了共享单车服务．图①是某款共享单车的实物图，
图②是其结构示意图．支架和与地面平行，．
当为多少度时，平行于支撑杆？________
【答案】60
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，找出角度之间的数量关系是解题关键．由两直线平行内错角相等，得到，再结合三角形内角和定理去，求出，再根据平行线的判定定理求解即可．
【详解】解：由题意可知，，
，
，
，
，
，
，
即当为60度时，平行于支撑杆，
故答案为：60
14.某中学组织甲、乙两个生态兴趣小队在公园进行自然寻宝徒步，由出发点步行前往公里远的集合点．
学校安排两队在不同时刻出发，已知乙队始终以公里/小时的速度匀速前进，甲队匀速前进小时后，速度降低为原来的一半，最后两队恰好同时到达集合点．甲、乙两队前进的路程（单位：）
与甲队出发时间（单位：）的函数图象如图所示，当甲出发时间时，甲乙两队相距 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质．先求出乙队所用的时间，进而得到乙队比甲队晚出发，分别求出甲乙两队的函数解析式，即可求解．
【详解】解：由图象可得，乙队所用的时间为：，
故乙队比甲队晚出发，
设甲队在时前进的路程（单位：）与甲队出发时间的函数解析式为，
将点，代入得：
，
解得：，
，
设乙队的解析式为，将，代入得：
，
解得：，
，
，
当时，，
即当甲出发时间时，甲乙两队相距，
故答案为：．
15 .如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，
若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．利用矩形的性质和翻折的性质，得到，，，可得，从而证明，得到的长，同理可得，即可求得的长．
【详解】四边形是矩形，
，，
将矩形分别沿，翻折后点A，点C都落在点H上，
∴， ， ，，
，
，
，
，
，
，
即，
解得或（舍去），
同理可得，
，
即，
解得，
即．
故答案为：．
三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则计算，再合并即可．
【详解】解：原式，
，
．
17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】，整数解为：0，1，2，3．
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再找不等式组的解集，即可得到整数解．
【详解】解：解不等式①，得
解不等式②，得
在同一条数轴上表示不等式①②的解集
原不等式组的解集是
整数解为0，1，2，3
如图，在平行四边形中，点E在边上，且，点F为线段上一点，且．
求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质推出，得到，由推出．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
如图1是某公交车的站台，主要由顶棚，站牌，底座构成．图2是其截面示意图，站牌截面是矩形，边平行于地面，边竖直于地面，顶棚与站牌上端的夹角，底座与地面的夹角．经测量，．
(1)求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离；
(2)求棚顶边缘点E到地面的距离．（结果精确到）（参考数据：，）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形．
（1）过点E作于点G，过点D作于点H，在中求出，进而求出即可；
（2）过点C作于点P，于点K，由题意得，在中求出，在中求出，即可解答．
【详解】（1）解：过点E作于点G，过点D作于点H，
∵，
∴，
∴，
答：站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离为；
（2）解：过点C作于点P，于点K，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：棚顶边缘点E到地面的距离为．
如图，为直径，C、D为上不同于A、B的两点，，连接CD，过点C作，垂足为E，直线与相交于F点．
(1)求证：为的切线；
(2)当时，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】(1) 连接，如图，只要证得，即可得到，再加上，可证得，进而可得为的切线；
(2) 连接，只要证得可得，结合求得，然后在中，即可求解．
【详解】（1）证明：连接．
∵，
∴．
又∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
又∵为的半径，
∴为的切线；
（2）解：连接．
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴
在中，
∴
电影《哪吒之魔童闹海》全球票房突破150亿，进入全球票房榜前五，为了解大家对电影的评价情况，某社团从观影后的观众中随机抽取部分观众对电影进行评价，并对评分（十分制）进行统计整理，所有观众的评分均高于7.5分．
数据共分成五组（电影评分用表示）：
A：；B：；C：；D：；E：．
下面给出了部分信息：
组的数据：
9.1，9.1，9.2，9.2，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.5，9.5，9.5，9.5，9.5，9.5．
：不完整的观众评分频数直方图和扇形统计图如下：
请根据以上信息完成下列问题：
(1)求随机抽取的观众总人数；
(2)扇形统计图中C组对应扇形的圆心角的度数为 度；
(3)请补全频数直方图；
(4)抽取的观众对电影评价的中位数是 分；
(5)清明假期期间某电影院有1500人参加了此次评分调查，请估计此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数．
【答案】(1)50
(2)72
(3)见详解
(4)9.3
(5)930
【分析】本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图中的相关知识，中位数的定义以及样本估计总体等知识，掌握这些知识是解题的关键．
（1）根据A组的人数以及占比即可得出抽取的观众总人数．
（2）用360度乘以C组人数的占比计算即可．
（3）先求出B组的人数，即可补全条形统计图．
（4）根据中位数的定义求解即可．
（5）用样本估计总体即可．
【详解】（1）解：（人）
则随机抽取的观众总人数为50人．
（2）解：，
扇形统计图中C组对应扇形的圆心角的度数为72度．
（3）解：B组的人数有：（人）
补全条形统计图如下：
（4）解：∵一共有50名观众，
∴中位数位为第25，26名评分的中位数，且位于D组，
则中位数位为：
（5）解：（人）
则清明假期期间某电影院1500认为电影特别优秀的观众人数为930人．
22. “明湖市集”作为首个“非遗版”春节的重要组成部分，通过非遗展演、民俗体验等特色活动，在大明湖畔绘就了传统与现代交融的节日画卷．某文创商店花费925元购进“泥塑兔子王”和“清照团扇”共80件．其中两种产品的成本价和销售价如下表：
成本价（元/件） 销售价（元/件）
泥塑兔子王 15 25
清照团扇 10 17.5
(1)该文创产品店第一次购进泥塑兔子王和清照团扇各多少件？
(2)因市集火爆，全部售完后该文创店第二次购进两种产品共100件．若此次购进泥塑兔子王的数量不超过清照团扇数量的1.5倍，且全部售完．设第二次购进泥塑兔子王a件，获利W元．则第二次如何进货，才能使获利最大？最大利润是多少？
【答案】(1)该创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件；
(2)第二次购进泥塑兔子王件，清照团扇件时获利最大，最大利润为元．
【分析】本题主要考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题的关键．
（1）设文创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件，根据题意列出二元一次方程组计算即可；
（2）根据题意得到，求出即可得到答案．
【详解】（1）解：设文创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件，
根据题意得，，
解得，
答：该文创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件；
（2）解：由题知：，
解得，，
，
，
随的增大而增大，
当时，元，
此时，件，
答：第二次购进泥塑兔子王件，清照团扇件时获利最大，最大利润为元．
23.如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)连接，，求的面积；
(3)如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标．
【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的表达式为；
(2)16
(3)点E的坐标为．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解；
（2）利用的面积，即可求解；
（3）先设出点E的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点F的坐标即可解决问题．
【详解】（1）解：将代入反比例函数，
解得，
∴，
将代入，
得，
将，点代入，
，解得，
∴；
（2）解：设一次函数与x轴交于点D，
令，则，令，则，
∴的面积；
（3）解：设点E的坐标为，
过点A作y轴的平行线l，分别过点E和点F作l的垂线，垂足分别为M和N，
由旋转可知，
，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，．
∵，点E的坐标为，
∴，，
∴点F的坐标为．
∵点F在函数的图象上，
∴，
解得，（舍去），
所以点E的坐标为．
24 .如图所示，已知抛物线经过点、、，
与直线交于B，D两点．
(1)求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
(2)点P为直线下方抛物线上的一个动点，试求出面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)点Q是线段上异于B，D的动点，过点Q作轴于点F，交抛物线于点G，当为直角三角形时，直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)，
(2)面积的最大值为，
(3)或
【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的性质、待定系数法求二次函数的表达式，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解答本题的关键．
（1）设抛物线的解析式为，将点的坐标代入可求得的值，然后将与抛物线的解析式联立方程组并求解即可；
（2）过点作轴，交直线与点，设，则，则，然后依据，列出的面积与的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可；
（3）设直线与轴相交于点，则，设点坐标为，点点坐标为，先证明为等腰直角三角形，然后根据和两种情况求解即可．
【详解】（1）解：抛物线与轴的交点坐标是、，
设该抛物线解析式为，
将点代入函数解析式代入，得，
解得，
该抛物线的解析式为：，
联立方程组：，
解得或，
∵，
∴点的坐标是；
（2）解：如图所示：
过点作轴，交于点，
设，则，
，
，
当时，的面积的最大，最大值为，此时；
（3）解：设直线与轴相交于点，则，
∵过点Q作轴于点F，交抛物线于点G，
∴设点坐标为，则点点坐标为，
，
，
，
轴，
，
若为直角三角形，则是等腰直角三角形，
①当时，过点作于，
，，，
，解得：（舍去）或，
；
②当，则，
，
解得（舍去）或，
；
综上所述，当为直角三角形时，点Q的坐标为或．
25. 【问题发现】
（1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接，则和的数量关系为 　 　；
【拓展延伸】
（2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
【归纳应用】
（3）在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，请直接写出当时的长．
【答案】（1）相等（2）成立，理由见解析（3）6或2
【分析】（1）利用证明 ，得；
（2）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立；
（3）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立．
【详解】解：（1）相等，∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
故答案为：相等；
（2）成立，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴∠；
（3）当点D在线段上时，如图2，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴．
当点D在线段的延长线上时，如图3，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
综上可知，的长为2或6．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑