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2025年山东省青岛市中考数学二模考前练习卷（二）
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）
1 . 春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》票房表现亮眼，截止到3月4日，累计票房已达145亿元，
据相关数据预测，电影《哪吒之魔童闹海》到3月30日下映时的总票房将达到160亿元以上，
数据16000000000用科学记数法表示约为（ ）
A． B． C． D．
2． 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，
是应对气候变化、推动绿色发展的战略举措．以下四个新能源汽车标志中，
既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．有理数，，在数轴上对应点的位置如图所示，且，则下列选项中一定成立的是( )
A． B． C． D．
4． 如图所示，水平放置的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6． 如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7． 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，
它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，
其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度，
站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，
此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（ ）

A．80米 B．米 C．160米 D．米
如图，的直径，是上一点，将沿直线翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点，
则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
9． 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，
则过点和点的直线一定不经过（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
第Ⅱ卷（共93分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
10．计算： ．
11．某次模拟训练中，甲、乙两名射击运动员各射击了发子弹，
随后教练员将他们的成绩绘制成了如图的折线统计图，由统计图计算可得(环)，进一步分析，
两人中成绩更加稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，
若，则的长为 ．
如图，为美化环境，某地准备将一片面积为的矩形空地建为一个花圃，
花圃中间共设有条等宽的水渠，将花圃分为了个形状相同的矩形区域，在每个区域内种植花草，
花草的总面积为，若测得空地的宽为，则水渠的宽度为 ．
14．如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ．
在矩形中，，将其沿对角线折叠，顶点C的对应点为E（如图1），
交于点F；再折叠，使点D落在F处，折痕交于点M，交于点N（如图2．
则折痕的长为 ．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
16．已知：如图，四边形，E为边上一点．
求作：四边形内一点P，使，且点P到的距离相等．
四、解答题（本大题共9小题，共71分）
17．（1）解不等式组．
（2）先化简：，再从中选择一个适当的数作为的值代入求值．
18．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：
阅读时间在范围内的数据：
40，50，45，50，40，55，45，40
不完整的统计图表：
课外阅读时间x（min）
等级 D C B A
人数 3 a 8 b
结合以上信息回答下列问题：
(1)统计表中的________；
(2)统计图中B组对应扇形的圆心角为________度；
(3)阅读时间在范围内的数据的众数是________；
调查的20名同学课外阅读时间的中位数是________；
(4)根据调查结果，请你估计全校800名同学课外阅读时间不少于的人数．
19．一个不透明的袋中装有个红球，个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别．
小明和小亮玩一种游戏，游戏规则如下：
规则：从袋中随机摸球一次，摸到红球者获胜；
规则：从袋中随机摸出一球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出另一个球，
两次都摸到红球者获胜．
直接写出规则中摸到红球的概率，不必说明理由；
为了提高获胜的机会，如果你是小明，你会选择哪种规则？请借助画树状图或列表的方法说明理由．
20 . 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，
安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．
已知试管，，，试管倾斜角为．
(1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度；
(2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，
且（点在一条直线上），
经测得：，，，求线段的长度．
（参考数据：，，）
为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．
已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，
用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的．
(1)求航空和航海模型的单价；
(2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，
且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
如图，平行四边形的两条对角线与相交于点是线段上的两点，
连接，已知．

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，求证：四边形为菱形．
如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2），
反比例函数（x0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；
（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，
求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．
我国高压输电技术领先全球，已建成覆盖全国的高压、超高压输电网络．输电电缆空中架设时，
在两铁塔之间下垂部分可以近似地看成抛物线形状．如图所示，是在水平地面架设电缆示意图，
相邻两铁塔之间的距离为，每个塔高均为，为保证安全，
要求电缆最低点距地面的最小垂直高度为米．
(1)请建立适当的坐标系，并求出电缆抛物线的解析式．
(2)如图所示，斜坡坡比为，两铁塔高度仍为，水平距离仍为，
电缆抛物线形状与水平架设相同，建立如图所示坐标系．
① 求此时抛物线的解析式．
② 电缆与斜坡最小垂直距离是否满足安全要求．
③ 为节约成本，在保证安全高度的情况下，是否可降低两铁塔的高度，降低多少？（直接写出结果即可）
25．已知：如图，在四边形和中，，，点在上，，，，延长交于点，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点作于点，交于点．设运动时间为．
解答下列问题：
（1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？
（2）连接，作于点，当四边形为矩形时，求的值；
（3）连接，，设四边形的面积为，求与的函数关系式；
（4）点在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在的平分线上？
若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2025年山东省青岛市中考数学二模考前练习卷（二）解答
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）
春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》票房表现亮眼，截止到3月4日，累计票房已达145亿元，
据相关数据预测，电影《哪吒之魔童闹海》到3月30日下映时的总票房将达到160亿元以上，
数据16000000000用科学记数法表示约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，
其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，
以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，
n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；
当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可．
【详解】解：16000000000用科学记数法表示为．
故选：A．
2． 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是应对气候变化、推动绿色发展的战略举措．以下四个新能源汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别．根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合要求；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
故选：B．
3．有理数，，在数轴上对应点的位置如图所示，且，则下列选项中一定成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两个数的正负以及加减乘除法法则，对每个选择作出判断，得正确结论．
【详解】解：由图可知，a＜b＜c，且-b＜a，
∴ac＞0，|a|＜|b|，b＞-a，2b不一定＜c，
故选C
4．如图所示，水平放置的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用空间思维结合几何体左视图的看法找出正确答案即可.
【详解】该几何体从左面看可得到一个带有虚线的矩形.
故选：D.
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘除法运算法则、积的乘方运算法则、合并同类项逐项判断即可．
【详解】解：A、，故原运算错误，不符合题意；
B、和不是同类项，不能合并，故原运算错误，不符合题意；
C、，故原运算错误，不符合题意；
D、，故原运算正确，符合题意，
故选：D．
6．如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，全等三角形的性质与判定，先根据题意得到平移方式为向右平移3个单位长度，则可得平移后点A的对应点坐标为；如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，证明，得到，则，即点A的对应点的坐标是．
【详解】解：由题意得，平移前，
∵将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，
∴平移方式为向右平移3个单位长度，
∴平移后点A的对应点坐标为，
如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点A的对应点的坐标是，
故选：A．
7．港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，
它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，
其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度，
站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，
此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（ ）

A．80米 B．米 C．160米 D．米
【答案】B
【分析】
过点A作于点D，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
【详解】解：如图，过点A作于点D，

根据题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴米，
在中，米．
即该主塔的高度是米．
故选：B
如图，的直径，是上一点，将沿直线翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点，
则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接OC，BC，可证得， ，，再过点O作于点D，可求得OD、AD，最后根据，即可求得．
【详解】解：连接OC，BC，
，
，
，
，
，，
，
过点O作于点D，
，，
，
．
故选：B．
9．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴正半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴无交点，得到，则点在第二象限，据此可得答案．
【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴，
∴，
∵对称轴是直线，
∴，
∴，
∴，
∴在x轴正半轴上；
∵二次函数顶点在第二象限，
∴当时，，
∵二次函数与x轴无交点，
∴，
∴点在第二象限，
∴经过点和点的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
第Ⅱ卷（共93分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
10．计算： ．
【答案】
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
11．某次模拟训练中，甲、乙两名射击运动员各射击了发子弹，随后教练员将他们的成绩绘制成了如图的折线统计图，由统计图计算可得(环)，进一步分析，两人中成绩更加稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
【答案】甲
【分析】考虑甲乙的稳定性，由他们的平均数相同，集中趋势指标相同，稳定的要考虑离散指标，求两者的方差，用方差公式S2=计算，求甲乙两人的方差，方差越大越不稳定，方差越小越稳定健康．
【详解】甲名射击运动员各射击了发子弹的成绩为8、9、7、9、8、6、7、8、10、9，
S甲的方差=，
乙名射击运动员各射击了发子弹的成绩为6、7、9、7、9、10、8、7、7、10，
S乙的方差=，
∵，
S甲的方差两人中成绩更加稳定的是甲．
故答案为：甲．
12.如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质以及直角三角形斜边上中线是斜边的一半是解题的关键．根据菱形的面积公式求出对角线的长度，再利用菱形的性质和勾股定理求出菱形的边长，即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
13．如图，为美化环境，某地准备将一片面积为的矩形空地建为一个花圃，花圃中间共设有条等宽的水渠，将花圃分为了个形状相同的矩形区域，在每个区域内种植花草，花草的总面积为，若测得空地的宽为，则水渠的宽度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．先求出空地的长，设水渠的宽度为，根据题意列方程即可求解．
【详解】解：设水渠的宽度为，
空地的长为：，
根据题意得：，
整理得：，即，
解得：，（不合题意，舍去），
则水渠的宽度为，
故答案为：．
14．如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于证明，根据等边对等角推出，则可证明得到，再由切线的性质得到，则解求出的长即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴在中，，
∴，
∴半径的长为6，
故答案为：．
15．在矩形中，，将其沿对角线折叠，顶点C的对应点为E（如图1），交于点F；再折叠，使点D落在F处，折痕交于点M，交于点N（如图2．则折痕的长为 ．
【答案】
【分析】首先 折叠性质求出DF长度，再由和分别求出MG、NG的长，相加即可．
【详解】解：如图MN与AD交于点G
由折叠性质可知，FG=DG，
∵四边形ABCD是矩形
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴BF=DF
在中，由勾股定理可得
∴
则
解得AF=3
则BF=8-AF=8-3=5
∴DF=5
∴DG=
∵，
∴
∴即
解得MG=
∵
∴，
∴
∴即
∴GN=
则MN=MG+NG=
故答案为：．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
16．已知：如图，四边形，E为边上一点．
求作：四边形内一点P，使，且点P到的距离相等．
【答案】见解析
【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，解题的关键是掌握作角平分线和作一个角等于已知角的尺规作图方法．作的平分线，以E为顶点，为一边作，交于P，点P即为所求．
【详解】解：作的平分线，以E为顶点，为一边作，交于P，如图，点P即为所求．
四、解答题（本大题共9小题，共71分）
17．（1）解不等式组．
（2）先化简：，再从中选择一个适当的数作为的值代入求值．
【答案】（1）；（2），当时，原式．
【分析】本题考查解一元一次不等式组、分式的化简求值及分式有意义的条件，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）分别求出两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分即可得答案；
（2）先计算括号内的分式加法，再根据分式除法法则计算除法，得出最简结果，最后根据分式有意义的条件选择数据，代入计算即可得答案．
【详解】（1）解：
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为：．
（2）
，
∵，
∴，，
∴当时，原式．
18．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：
阅读时间在范围内的数据：
40，50，45，50，40，55，45，40
不完整的统计图表：
课外阅读时间x（min）
等级 D C B A
人数 3 a 8 b
结合以上信息回答下列问题：
(1)统计表中的________；
(2)统计图中B组对应扇形的圆心角为________度；
(3)阅读时间在范围内的数据的众数是________；调查的20名同学课外阅读时间的中位数是________；
(4)根据调查结果，请你估计全校800名同学课外阅读时间不少于的人数．
【答案】(1)5
(2)144
(3)40；40
(4)480
【分析】（1）用调查的总人数乘以C组对应的百分比，即可求解；
（2）用乘以B组对应的百分比，即可求解；
（3）根据众数和中位数的意义，即可求解；
（4）用800乘以课外阅读时间不少于的人数所占的百分比，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：；
故答案为：5
（2）解：B组对应扇形的圆心角为；
故答案为：144
（3）解：阅读时间在范围内的数据中，40出现的次数最多，
∴阅读时间在范围内的数据的众数是；
把阅读时间在范围内的数据从小到大排列为：40，40，40，45，45，50， 50， 55，
∵，
∴调查的20名同学课外阅读时间位于正中间的两个数分别为40，40，
∴调查的20名同学课外阅读时间的中位数是；
故答案为：40；40
（4）解：根据题意得：，
∴全校800名同学课外阅读时间不少于的人数为人．
19．一个不透明的袋中装有个红球，个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别．
小明和小亮玩一种游戏，游戏规则如下：
规则：从袋中随机摸球一次，摸到红球者获胜；
规则：从袋中随机摸出一球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出另一个球，
两次都摸到红球者获胜．
(1)直接写出规则中摸到红球的概率，不必说明理由；
(2)为了提高获胜的机会，如果你是小明，你会选择哪种规则？请借助画树状图或列表的方法说明理由．
【答案】(1)摸到红球的概率是
(2)我会选择规则1；理由见解析
【分析】本题主要考查了利用概率公式进行计算，画树状图或列表法求概率，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格．
（1）根据概率公式进行计算即可；
（2）先画出树状图，然后再根据概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意可知，从袋中随机摸球一次，摸到红球的概率为，
∴规则1摸到红球的概率是．
（2）解：我会选择规则，理由如下：
根据题意画出树状图如下：

∵不放回摸两次球的结果共有种，而两次都摸到红球的结果只有种，
∴两次都摸到红球的概率为．
由（1）得：规则摸到红球的概率为．
∵，
∴我会选择规则．
20 . 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，
安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．
已知试管，，，试管倾斜角为．
(1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度；
(2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，）
【答案】(1)酒精灯与铁架台的水平距离的长度为19.6
(2)线段的长度为21.8
【分析】本题主要考查了三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
（1）过点作于点，根据题意可得，，利用三角函数可得（），易得，即可获得答案；
（2）过点作于点H，于点，过点作于点，利用三角函数可解得，的值，再证明为等腰直角三角形，并解得，然后由求解即可．
【详解】（1）解：过点作于点，如下图，
∵，，
∴，，
∵，
∴（），
∴，
答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为19.6；
（2）如图，过点作于点H，于点，过点作于点，
则（），（），
∵，
∴（），
∴，
∵，
∴，
∴（），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（），
答：线段的长度为21.8 ．
为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．
已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，
用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的．
(1)求航空和航海模型的单价；
(2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
【答案】(1)航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元；
(2)当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，根据用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的列出方程求解即可；
（2）设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，先根据航空模型数量不少于航海模型数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出y关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，
由题意得，，
解得，
检验，当时，，
∴是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元；
（2）解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，
由题意得，，
解得，
，
∵，
∴y随m增大而增大，
∴当时，y有最小值，最小值为，
此时有，
答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少．
如图，平行四边形的两条对角线与相交于点是线段上的两点，
连接，已知．

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，求证：四边形为菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质和判定等知识点；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）由平行四边形的性质得，再证明，得，进而得，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）证明平行四边形是菱形，得，再由菱形的判定即可得出结论．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
．
在和中，
，
，
，
即，
四边形是平行四边形．
（2）证明：四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，
．
由（1）可知，四边形是平行四边形，
平行四边形是菱形．
如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2），
反比例函数（x0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；
（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，
求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）点G的坐标为或，这两个点都在反比例函数图象上
【分析】（1）求出D（，2），再用待定系数法即可求解；
（2）证明 ，即可求解；
（3）①当点F在点C的下方时，求出FH＝1，CH＝，求出点F（1，），则点G（3，），即可求解；②当点F在点C的上方时，同理可解．
【详解】解：（1）∵B（2，2），则BC＝2，
而BD＝，
∴CD＝2﹣＝，故点D（，2），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：2＝，解得k＝3，
故反比例函数表达式为y＝ ，
当x＝2时，y＝，故点E（2，）；
（2）由（1）知，D（，2），点E（2，），点B（2，2），
则BD＝，BE＝，
故＝＝，＝ ＝＝，
∴DE∥AC；
（3）①当点F在点C的下方时，如下图，
过点F作FH⊥y轴于点H，
∵四边形BCFG为菱形，则BC＝CF＝FG＝BG＝2，
在RT△OAC中，OA＝BC＝2，OB＝AB＝2，
则tan∠OCA＝＝＝，故∠OCA＝30°，
则FH＝FC＝1，CH＝CF cos∠OCA＝2×＝，
故点F（1，），则点G（3，），
当x＝3时，y＝＝，故点G在反比例函数图象上；
②当点F在点C的上方时，
同理可得，点G（1，3），
同理可得，点G在反比例函数图象上；
综上，点G的坐标为（3，）或（1，3），这两个点都在反比例函数图象上．
我国高压输电技术领先全球，已建成覆盖全国的高压、超高压输电网络．输电电缆空中架设时，
在两铁塔之间下垂部分可以近似地看成抛物线形状．如图所示，是在水平地面架设电缆示意图，
相邻两铁塔之间的距离为，每个塔高均为，为保证安全，
要求电缆最低点距地面的最小垂直高度为米．
(1)请建立适当的坐标系，并求出电缆抛物线的解析式．
(2)如图所示，斜坡坡比为，两铁塔高度仍为，水平距离仍为，电缆抛物线形状与水平架设相同，建立如图所示坐标系．
①求此时抛物线的解析式．
②电缆与斜坡最小垂直距离是否满足安全要求．
③为节约成本，在保证安全高度的情况下，是否可降低两铁塔的高度，降低多少？（直接写出结果即可）
【答案】(1)
(2)①；②能满足安全要求，③；
【分析】本题考查二次函数与实际问题结合问题，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键；
（1）建立合适的坐标系，代入坐标即可求解；
（2）①根据题意设，，代入即可求解；
②根据函数解析式可得，当函数最小值为：，斜坡坡比为，则斜坡最小垂直距离为：，由此可以求得电缆与斜坡最小垂直距离是否满足安全要求；
③根据题意可设函数解析式为：，结合电缆与斜坡最小垂直距离为，解即可求出降低两铁塔的高度；
【详解】（1）根据题意建立坐标系如下：
，，，
设二次函数表达式为：，
将点，坐标代入，
可得：，，，
故此时抛物线的解析式为：
（2）①解：根据题意设，
电缆抛物线形状与水平架设相同，，
设二次函数解析式为：，
将，点坐标代入函数解析式可得：，
故函数解析式为：
②根据函数解析式可得，当函数最小值为：
，
斜坡坡比为，则斜坡最小垂直距离为：，
电缆与斜坡最小垂直距离为：
保证安全，要求电缆最低点距地面的最小垂直高度高于米，满足安全需要，
③根据题意可设函数解析式为：
当函数最小值为，
则电缆与斜坡最小垂直距离为，
解得：，
为节约成本，在保证安全高度的情况下，可降低两铁塔的高度，降低米
25．已知：如图，在四边形和中，，，点在上，，，，延长交于点，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点作于点，交于点．设运动时间为．
解答下列问题：
（1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？
（2）连接，作于点，当四边形为矩形时，求的值；
（3）连接，，设四边形的面积为，求与的函数关系式；
（4）点在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） t=；（2）t=3;（3）S与t的函数关系式为；（4）存在，t=,
【分析】（1）要使点M在线段CQ的垂直平分线上，只需证CM=MQ即可；
（2）由矩形性质得PH=QN，由已知和AP=2t，MQ=t，解直角三角形推导出PH、QN，进而得关于t的方程，解之即可；
（3）分别用t表示出梯形GHFM的面积、△QHF的面积、△CMQ的面积，即可得到S与t的函数关系式；
（4）延长AC交EF与T，证得AT⊥EF，要使点P在∠AFE的平分线上，只需PT=PH，分别用t表示PT、PH，代入得关于t的方程，解之即可．
【详解】（1）当=时，点在线段的垂直平分线上，理由为：
由题意，CE=2，CM∥BF，
∴即：，
解得：CM=，
要使点在线段的垂直平分线上，
只需QM=CM=，
∴t=；
（2）如图，∵，，，
∴AC=10，EF=10，sin∠PAH=，cos∠PAH=，sin∠EFB=，
在Rt△APH中，AP=2t，
∴PH=AP·sin∠PAH=，
在Rt△ECM中，CE=2,CM=,由勾股定理得：EM=，
在Rt△QNF中，QF=10-t-=，
∴QN=QF·sin∠EFB=()×=，
四边形为矩形，
∴PH=QN，
∴=，
解得：t=3；
（3）如图，过Q作QN⊥AF于N，
由（2）中知QN=，AH=AP·cos∠PAH=，
∴BH=GC=8-，
∴GM=GC+CM=，HF=HB+BF=，
∴
=
=
=，
∴S与t的函数关系式为：；
（4）存在，t=．
证明：如图，延长AC交EF于T，
∵AB=BF,BC=BF, ，
∴△ABC≌△EBF，
∴∠BAC=∠BEF，
∵∠EFB+∠BEF=90 ，
∴∠BAC+∠EFB=90 ，
∴∠ATE=90 即PT⊥EF，
要使点在的平分线上，只需PH=PT，
在Rt△ECM中，CE=2,sin∠BEF=，
CT=CE·sin∠BEF =，
PT=10+-2t=，又PH=，
=，
解得：t=．
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