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上海市金山区 2025 届高三下学期二模数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 ∈ ，则下列结论不恒成立的是( )
A. + 1 > B. + 1 ≥ 2
C. |1 | + | + 2| ≥ 3 D. 2 + + 1 > 0
2.某人统计了甲、乙两家零售商店在周一到周五的营业额(单位：百元)情况，得到了如下的茎叶图(其中茎
表示十位数，叶表示个位数)，关于这 5 天的营业额情况，下列结论正确的是( )
A.甲、乙两家商店营业额的极差相同
B.甲、乙两家商店营业额的中位数相同
C.从营业额超过 3000 元的天数所占比例来看，甲商店较高
D.甲商店营业额的方差小于乙商店营业额的方差
3.已知定义在 上的函数 = ( )，满足以下两个条件：(1) ( ) > 0 对任意 ∈ 恒成立，且 (1) = 1；(2)
对任意 1 2 ∈ 都有 1 + 2 22 = 4 1 2 ，则下列关于函数 = ( )的表述中正确的个数为
( )① (0) = 1 12；② ( ) ( ) = 4；③函数 = ( )有最小值．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4.已知点 1, 2 21 在圆 + = 9 上，点 2, 2 22 在圆 + = 12 上，且 1 2 + 1 2 = 1 + 2 1, 为
坐标原点.对于以下两个命题，判断正确的是( )
①在坐标平面内存在点 ，使得 ⊥ 恒成立；
②三角形 面积的最小值为 22．
A.①是真命题，②是真命题 B.①是假命题，②是真命题
C.①是真命题，②是假命题 D.①是假命题，②是假命题
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
5.已知集合 = ∣ 2 5 + 6 = 0 , = 2,4,6 ，则 ∩ = ．
6.已知复数 满足(1 + i) = 1 i(i 为虚数单位)，则 = ．
7.已知向量 = ( , 1), = (1,2 )，若 // ，则实数 = ．
8 4.若 为第二象限角，且 sin = 5，则 tan = ．
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9.在( + 1 )5 展开式中 的系数为 80，则实数 的值为 ．
10 2.若直线 是曲线 = 1在 = 3 处的切线，则 的斜率为 ．
11.已知圆锥底面半径为 1，高为 3，则过圆锥母线的截面面积的最大值为 ．
12.已知 是等差数列，若 3 7分别是函数 = 2 4 + 2 的两个零点，则 5 = ．
13.投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次
投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ．
14 1 1.已知函数 = ( )的图象是折线段 ，且 (0,0), 2 , 2 , (1,0)，则函数 = ( )(0 ≤ ≤ 1)的图
象与 轴围成的图形面积为 ．
15.如图，现对某景区一长 = 600m，宽 = 360m 的矩形空地进行建设.规划在边 , 上分别取点 ,
修建人行步道(不考虑宽度)，且满足点 关于步道 的对称点 在边 上.在 内种植花卉，在
内搭建娱乐设施，其余区域规划为露营区，则人行步道 的最短距离为 m. (结果精确到 1m)
16.设 1, 2, 3, 4, 5均是正整数，且 ∣ = , 1 ≤ < < < ≤ 5 = 108,144,288,432 ，则 1 +
2 + 3 + 4 + 5的值为 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
已知函数 = ( )是定义在 上的奇函数，当 > 0 时， ( ) = log2 ．
(1)求 ( 2) + (0)的值；
(2)若 ( ) = ( ) 4 , ∈ [1,8]，求函数 = ( )的值域．
18.(本小题 14 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 , = 2 = 4, = 2 2, ⊥ ， // ．
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(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2) π若∠ = 3，求点 到平面 的距离．
19.(本小题 14 分)
为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随
机抽样的方法抽取了 40 名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下：
数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计
每天都整理数学错题人数 14
不是每天都整理数学错题人数 15 20
合计 40
(1)完成上述样本数据的 2 × 2 列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率；
(2)是否有 99％的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？
( )2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + )；

0.10 0.01 0.001
2 ≥
2.706 6.635 10.828
(3)从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取 3 名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀
的人数为 ，求 的分布和期望．
20.(本小题 14 分)
2 2
已知椭圆Γ: + 4 3 = 1，左右焦点分别为 1, 2，上下顶点分别为 , ，左右顶点分别为 , ， , 是Γ上异于
椭圆顶点的两点．
(1)求 1 2的周长；
(2)若点 在第一象限且满足 的面积比 1 2 的面积大，求点 的横坐标的取值范围；
(3)记点 在直线 上的投影为 ，且直线 的斜率是直线 的斜率的 3 倍，试判断：过点 , , ( 为坐标
原点)三点的圆是否为定圆？若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由．
21.(本小题 14 分)
若函数 = ( )和 = ( )同时满足下列条件：①对任意 ∈ ，都有 ( ) ≤ ( )成立；②存在 0 ∈ ，使
得 0 = 0 ，则称函数 = ( )为 = ( )的“ 函数”，其中 0称为“ 点”．
(1)已知图像为一条直线的函数 = ( )是 = sin 的“ 函数”，请求出所有的“ 点”；
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(2)设函数 = ( )为 = ( )的“ 函数”，其“ 点”组成集合 ；函数 = ( )为 = ( )的“ 函数”，
其“ 点”组成集合 .试证明：“函数 = ( )为 = ( )的‘ 函数’”的一个充分必要条件是
“ ∩ ≠ ”；
(3)记 ( ) = e (e 为自然对数的底数)， ( ) = + ( ∈ )，若 = ( )为 = ( )的“ 函数”，且
“ 点” 0 > 0，求实数 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5. 2
6. i
7.1
8. 43
9.2
10. 12/ 0.5
11. 3
12.2
13. 81125
14.18
15.468
16.22
17.(1)因为函数 = ( )是定义在 上的奇函数，
所以 ( ) = ( ), (0) = 0，
所以 ( 2) + (0) = (2) + (0) = 1 + 0 = 1；
(2) ( ) = log2 log

2 4 = log2 log2 2 = log2
2 2log2 , ∈ [1,8]，
令log2 = , ∈ [0,3]，问题等价于求 ( ) = 2 2 , ∈ [0,3]的值域，
∵函数 ( ) = 2 2 图象开口向上，对称轴为直线 = 1，
∴ ( )min = (1) = 1, ( )max = (3) = 3，
∴函数 ( )的值域为[ 1,3]．
18.(1)因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，
又 ⊥ , ∩ = , , 平面 ，
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所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ；
(2)因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，
在 Rt 中， = 4, ∠ = π3，则 = 2，
如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，
则 (4,0,0), 0,0,2 2 , 2,0,2 2 , 1, 3, 0 ，
故 = 2,0,2 2 , = 3, 3, 0 , = ( 2,0,0)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 2 + 2 2 = 0
则有 ，令 = 2，则 = 6, = 1，所以 = 2, 6, 1 ， = 3 + 3 = 0

所以点 到平面 2 2的距离为 = 3 ．
19.(1)完善 2 × 2 列联表，如下：
数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计
每天都整理数学错题人数 14 6 20
不是每天都整理数学错题人数 5 15 20
合计 19 21 40
14
每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率为40 = 0.35．
(2) (1) 2 = 40(14×15 5×6)
2
由 得 20×20×19×21 ≈ 8.12 > 6.635，
所以有 99％的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”．
(3)不是每天都整理数学错题的学生有 20 人，其中数学成绩总评优秀人数为 5，
的所有可能值为 0，1，2，3，
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( = 0) = C
0 3 1 2
5C15 91
3 = 228 , ( = 1) =
C5C15
3 =
35
76，C20 C20
2 1 3 0
( = 2) = C5C15 53 = 38 , ( = 3) =
C5C15 1
C C3
=
20 20 114
，
所以 的分布列为：

0 1 2 3
91 35 5 1
228 76 38 114
期望 ( ) = 0 × 91 35 5 1228 + 1 × 76 + 2 × 38 + 3 × 114 =
3
4．
2 2
20.(1) 由椭圆Γ: 4 + 3 = 1，
得 2 = 4, 2 = 3, 2 = 1，所以 = 2, = 1，
所以 1 2的周长为 2 + 2 = 6；
(2)设 0, 0 > 0, 0 > 0 ，
由 1 1 > 1 2 ，得2 | | 0 > 2 1 2 0 ，
所以 3 > ，即 3 2 > 20 0 0 0，
2 2 3 2
又因为 0 0 2 04 + 3 = 1，所以 0 < 0 = 3 4 < 3
2
0，
2 5
解得 5 < 0 < 2，
2 5
即点 的横坐标的取值范围为 5 , 2 ；
(3) ( 2,0), (2,0)，
设直线 的方程为 = 3 ( + 2)，直线 的方程为 = ( 2), ≠ 0，
2 2+ = 1
联立 4 3 ，消 得 4 2 + 3 2 16 2 + 16 2 12 = 0，
= ( 2)
16 2 12 8 2 6 8 2 6 12
则 2 = 4 2+3 ，所以 = 4 2+3，所以 = 4 2+3 2 = 4 2+3，
8 2 6 12
故 4 2+3 , 4 2+3 ，
2 2
4 +
= 1
联立 3 ，消 得 12 2 + 1 2 + 48 2 + 48 2 4 = 0，
= 3 ( + 2)
2 = 48
2 4 24 2+2 24 2+2 12
则 12 2+1，所以 = 12 2+1 ，所以 = 3 12 2+1 + 2 = 4 2+3，
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24 2+2 12
故 12 2+1 , 12 2+1 ，
当 ≠ ，即 2 ≠
1
4时，
12 12
= 4 2+3 12 2+1 4 8 2 2 = ， 6 24 +2 1 4 2
4 2+3 12 2+1
12 4 8 2 6
则直线 的方程为 + 4 2+3 = 1 4 2 4 2+3 ，
即 = 4 1 4 2 ( + 1)，过定点 1( 1,0)，
当 = 2
1
，即 = 4时，
此时 = = 1，直线 过定点 1( 1,0)，
设 ( , )，因为 ⊥ , ⊥ 1，
所以过点 , , ( 为坐标原点)三点的圆即为过点 , 1, ( 为坐标原点)三点的圆，
因为( + 1) + 3 = 0 过原点，点 1( 1,0)，点 0, 3 ，
1 2 3 2
所以过点 , , ( 为坐标原点)三点的圆是定圆 + 2 + 2 = 1．
21.(1)取 π0 = 2 + 2 π, ∈ Z， ( ) = 1，
π
此时 sin 0 = sin 2 + 2 π = 1, ∈ Z， 0 = 1，
故函数 ( ) = 1 是 = sin 的“ 函数”，“ 点”为 0 =
π
2 + 2 π, ∈ Z；
(2) = ( )为 = ( )的“ 函数”，其“ 点”组成集合 ，
故 ( ) ≤ ( )，设 = 1, 2, 3, , ，
函数 = ( )为 = ( )的“ 函数”，其“ 点”组成集合 ，
故 ( ) ≤ ( )，设 = ′ ′1 , 2 , ′3 , , ′ ，
显然对任意 ∈ ， ( ) ≤ ( ) ≤ ( )成立，①成立，
充分性，若 ∩ ≠ ，
不妨设 = ′ ，此时 = = ′ ′ = ，②成立，
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故②成立，所以函数 = ( )为 = ( )的‘ 函数’，充分性成立；
必要性，若函数 = ( )为 = ( )的‘ 函数’，
则存在 ，使得 = ，
由于对任意 ∈ ， ( ) ≤ ( ) ≤ ( )成立，故 = = ，
故 ∈ , ∈ ，所以 ∩ ≠ ，充分性成立；
故“函数 = ( )为 = ( )的‘ 函数’”的一个充分必要条件是“ ∩ ≠ ”；
(3) ( ) = e 定义域为 ，
′( ) = 1 e ，当 < 1 时，
′( ) > 0，当 > 1 时， ′( ) < 0，
所以 ( ) = e 在( ∞,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减，
且当 > 0 时， ( ) = e > 0 恒成立，
又 (1) = 1e，取
1
0 = 1， ( ) = e，
满足 ( ) ≤ ( )且 0 = 0 ，
= ( )为 = ( )的“ 函数”，此时 = 1e，
当 ∈ (0,1)时，取 = ，
故当 = ( )为 ( ) = e 在 = 处的切线方程时，才满足要求，
′ = 1 e ，故切线方程为 e =
1
e ，
2
令 = 0 得 = e ，
2
由于 ∈ (0,1)

，设 ( ) = e ， ∈ (0,1)，
2
所以 ′( ) = 2 (2 )e = e > 0 在 ∈ (0,1)上恒成立，
( ) =
2
故 e 在 ∈ (0,1)上单调递增，
2 12
所以 = e < e1 =
1
e，
当 ∈ (1, + ∞) 时，结合图象，可知 ( ) = e 单调递减且下凸，
对任意的 ( ) = + ( ∈ )，无法做到 ( ) ≤ ( )恒成立，
1
综上，实数 的最大值为e．
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