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云南省保山市腾冲市第八中学 2025 届第二次全真模拟测试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 = 1(1 i)2，则 =( )
A. 2i B. 2i C. 12 i D.
1
2 i
2.已知集合 = {1,2,3,4,5}，且 ∩ = ，则集合 可以是( )
A. {2,3,4} B. { 2 > 1}
C. { 3 > 1} D. { log2( 1) < 3}
3.在 中， = 2, = 3, cos = 34，则 cos =( )
A. 18 B.
1
8 C.
1
9 D.
1
9
2
4 +
2
.已知点 为椭圆16 12 = 1 上任意一点，直线 : ( + 2) + ( + 1) 2 4 = 0 与⊙ :
2 + 2
4 + 3 = 0 交于 ， 两点，则 的取值范围是( )
A. [2,34] B. [3,35] C. [2,36] D. [4,36]
5.某公司对其新推出的服务系统进行用户满意测评，收集了 100 位用户的评分数据，整理得如图所示的频
率分布直方图.这组数据的平均数和中位数的大小关系为( )
A.平均数<中位数 B.平均数=中位数 C.平均数>中位数 D.不确定
6.已知数列{ }是等差数列，其前 项和为 ，若 3 + 10 > 0， 11 < 0，则数列{ }中最小的项是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
2
7 1.已知函数 ( ) = 4 + ln(e
+ )是偶函数，则 =( )
A. 14 B.
1
2 C. 0 D. 1
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8.在节目表演中为了增强舞台的亮度，且为了减弱演员面对强光的不适感，灯光设计人员巧妙地通过双曲
线的光学性质，发散光线以保护演员的视力，如图，从双曲线右焦点 2发出的光线，其经过双曲线的反射
后，反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点 1.已知双曲线的离心率为 2，则当入射光线 2 和反射光
线 互相垂直时，cos∠ 1 2 =( )
A. 6 24 B.
6+ 2
4 C.
3
2 D.
2
2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知抛物线 : 2 = 4 ，过焦点 的直线与 交于 ， 两点， 为坐标原点，则下列说法正确的有( )
A.弦 的最小值为 8
B.弦 | |+| |的中点到准线的距离小于 2
C. 5存在弦 ，使得 的中点坐标为 2 , 3
D.当 ⊥ 时，| | | | = 5
sin +π
10.已知函数 ( ) = 2cos 2π 2 +2，则( )
A. ( )是偶函数 B. π是 ( )的一个周期
C. ( ) π的图象关于直线 = π对称 D. ( )在区间 0, 5 上单调递减
11.在平面直角坐标系中， 为坐标原点，角 , 的始边与 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于 ,
两点，则下列说法中，正确的是( )
A. 在 上的投影向量为
B. | | = 2 sin 2

C. π若 的长度为 , 2 = 2
+ ，则 点的轨迹长度为 4π
D.设 ( , )，则 4 2 4的最大值为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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12.已知函数 ( ) = e , ≥ 1 ( + 1), < 1则 ln2 = ．
13.刘徽在《九章算术注》中首次明确提出了球缺和球分的概念，如图，球被平面截取，曲面部分为球冠，
球冠与截面围成的部分为球缺，祖暅精确推导了球缺的体积计算公式为 = π 2 3 ，其中 是球的半径，
是球缺的高(即球冠顶点到截面的距离).连接球心与截面，与球冠围成的部分为球分.若一球缺的高为 3，截
面半径为 21，则它对应的球分的体积为 ．
14.某研究性学习小组针对“使用大绿书 APP 的用户是否存在性别差异”，向 40 ∈ N 个人进行调查.
用Ω表示所有调查对象构成的集合.以Ω为样本空间建立古典概型，并定义一对分类变量 和 如下：对于Ω中
0,调查对象为女性 0,调查不是大绿书 APP 的用户
的每一名学生， = , = 现得到下表：
1,调查对象为男性 1,调查是大绿书 APP 的用户
是大绿书 APP 的用户( = 1) 不是大绿书 APP 的用户( = 0)
男性( = 1) 8 12
女性( = 0) 12 8
若根据 = 0.05 的独立性检验认为 ( = 1∣ = 0) > ( = 1∣ = 1)(其中 0.05 = 3.841)，则 的最小值
. ( ( )
2
为 参考公式： 2 = ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + )
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
π
小明同学用“五点法”作函数 ( ) = cos( + ) > 0, | | < 2 在某一周期内的图象时，列表并填入部
分数据如下表：
π
4π 7π3 3 3
π
+ 0 3π2 π 2π2
( ) 0 2 0 2
(1)求 ( )的解析式，并说明函数 = ( )的图象由 = 2cos 的图象经过怎样的变换得到？
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(2)解不等式 ( ) ≤ 1．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 + 1， ( ) = ln ．
(1)求证： ( )在(0, 1)处的切线与 ( )只有一个公共点；
1 +5
(2)设 ( ) = 2 4 ，请在以下三个函数：① ( ) + ( )
( )
；② ( )；③ ( ) ( )中选择一个函数，使得该
函数有最大值，并求出最大值．
17.(本小题 15 分)
如图，已知三棱锥 中， = 2, ∠ = 90 ，且∠ = ∠ = 60 ．
(1)若 = ，求证： ⊥ ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
某地区为了检测某种农业有机肥料的效果，农业专家播撒肥料到 200 块试验田中，一段时间后测量土地的
某项肥力指标，按[0,20), [20,40)，[40,60), [60,80)，[80,100]分组，绘制成如下频率分布直方图.试验后发现，
产生土地肥力的为 160 块，其中该项指标不小于 60 的有 110 块.假设各块试验田播撒肥料后是否产生肥力
相互独立．
(1)填写下面的 2 × 2 列联表，并根据列联表及 = 0.01 的独立性检验，判断能否认为播撒肥料试验田产生
肥力与指标值不小于 60 有关；
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指标值
合计
小于 60 不小于 60
产生肥力
未产生肥力
合计
(2)为了检验有机肥第二次播撒的有效性，对第一次播撒有机肥后没有产生肥力的试验田进行第二次播撒，
结果又有 20 块试验田产生肥力.用频率估计概率，求一块试验田播撒 2 次有机肥料产生肥力的概率 ．
2 = ( )
2
参考公式： ( + )( + )( + )( + ) (其中 = + + + 为样本容量)
参考数据：
0.100 0.050 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
19.(本小题 17 分)
定义二元函数 ( , )( , ∈ N )，同时满足：① ( + 1, ) = ( , ) + 2 ；② ( , + 1) = ( , ) + 2 ；
③ (1,1) = 1 三个条件．
(1)求 (1,3)， (3,3)的值；
(2)求 ( , )的解析式；
(3) = (1, ) = sin 若 ， 1 sin 2 sin 3 sin + + + + ， ∈ (0,2π).比较 与 0 的大小关系，并说明理1 2 3
由．
附：参考公式 sin cos = 12 [sin( + ) + sin( )]
1
；cos sin = 2 [sin( + ) sin( )]；cos cos =
1
2 [cos( + ) + cos( )]；sin sin =
1
2 [cos( + ) cos( )]．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2e
13.50π
14.3
π + = π
15.解：(1)由表格知 = 2, 3 24π ，解得 =
1 , = π，
3 + = π
2 3
所以 ( ) = 2cos 1 + π2 3 ．
先把函数 = 2cos π π的图象向左平移3个单位，得到 = 2cos + 3 的图象；
然后使曲线上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，
得到函数 ( ) = 2cos 1 + π2 3 的图象．
(2)由(1)可得 2cos 12 +
π
3 ≤ 1，
1
解得 cos 2 +
π
3 ≤
1
2，
所以 2 π + π3 ≤
1 π 5π
2 + 3 ≤ 2 π + 3 , ∈ ，
解得 4 π ≤ ≤ 4 π + 8π3 , ∈ ，
8π
所以不等式 ( ) ≤ 1 的解集为 4 π, 4 π + 3 , ∈ ．
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16.解：(1)对函数 ( ) = 2 + 1， ′( ) = 2 + 1 ，
′(0) = 1，∴ ( )在(0, 1)处的切线方程为 = 1
设 ( ) = 1 ln ( > 0)，
′( ) = 1 1 ，易知 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，
∴ ( )min = (1) = 0，
∴ ( ) = 1 ln ≥ 0，当且仅当 = 1 时， 1 = ln ，
∴ = 1 与 ( ) = ln 只有一个公共点(1,0)．
1 +5
(2) ( ) = 2 4 = ，
若选①，则 ( ) + ( ) = + ln ，
易知 ( ) + ( )在(0, + ∞)上单调递增，无最大值；
( ) ln 1 ln
若选②，则令 ( ) = ( ) = ( > 0)，
′( ) = 2 ，
由 ′( ) = 1 ln 2 > 0，得 0 < < e；
由 ′( ) = 1 ln 2 < 0，得 > e；
所以 ( )在(0, e)上单调递增，在(e, + ∞) 1上单调递减，∴ ( )max = (e) = e；
若选③，则令 ( ) = ( ) ( ) = ln ( > 0)， ′( ) = ln + 1
由 ′( ) = ln + 1 > 0 1，得 > e；
由 ′( ) = ln + 1 < 0，得 0 < < 1e；
所以 ( ) 1 1在 0, e 上单调递减，在 e , + ∞ 上单调递增，
∴ ( ) = 1min e =
1
e， ( )无最大值．
17.解：(1)
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证明：因为∠ = ∠ = 60 , = , = ，
所以 ≌△ ，所以 = ，
假设 是 的中点，连接 , ，又 = ，
则有 ⊥ , ⊥ ，又 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ；
(2)过点 分别做 ⊥ , ⊥ , ⊥平面 ，垂足分别为 , , ，
连结 , , ，因为∠ = ∠ = 60 ，则有 Rt ≌ Rt ，
所以 = = 3, = = 1，又 Rt ≌ Rt ，所以 = ，
因为 ⊥ , ⊥ ， ∩ = , 平面 ， 平面 ，
所以 A ⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以 ⊥ ，同理 ⊥ ，
所以 Rt ≌ ，
又∠ = 90 ，所以∠ = ∠ = 45 ，
所以 = = 1，且 = 2，过点 做 ⊥平面 ，
如图所示，以 为坐标原点， , , 所在直线为 轴， 轴， 轴，
如图建立空间直角坐标系 ，由题知 (0,0,0), (0,1,0), (1,0,0)，
1,1, 2 ，
所以 = (0,1,0), = 1,1, 2 , = (1,0,0)，
设平面 的法向量为 = , , ，则 = 0
1 = 0
1 1 1 ，所以 , = 0 1 + 1 + 2 1 = 0
可取 = 2, 0,1 ；
设平面 的法向量为 = , , ，则 = 0
2 = 0
2 2 2 ，所以 , = 0 2 + 2 + 2 2 = 0
可取 = 0, 2, 1 ，
1 1
设平面 与平面 的夹角为 ，所以 cos = cos , = = 3× 3 = 3，
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1
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为3．
18.解：(1)在[0,20)指标内的有 0.00250 × 20 × 200 = 10 块，
同理：[20,40)内的有 25 块，[40,60)内的有 35 块，[60,80)内的有 100 块，
[80,100]内的有 30 块，
指标值< 60 指标值≥ 60
产生肥力 50 110
未产生肥力 20 20
2 = 200×(50×20 20×110)
2
160×40×70×130 ≈ 4.945 < 6.635，
所以根据列联表及 = 0.01 的独立性检验，不能认为播撒肥料试验田产生肥力与指标值不小于 60 有关．
(2)由题意，第一次播撒后产生肥力的频数为 160，
第一次播撒有机肥后没有产生肥力的试验田进行第二次播撒后产生肥力的频数为 20，
160+20
则一块试验田播撒 2 次有机肥料产生肥力的频率为 200 =
9
10，以频率估计概率，这块试验田播撒 2 次有
9
机肥料产生肥力的概率为10．
19.解：(1)因为 (1,1) = 1，由②得 (1,2) = (1,1) + 2 = 3， (1,3) = (1,2) + 2 = 5
由①得 (2,3) = (1,3) + 6 = 11， (3,3) = (2,3) + 6 = 11 + 6 = 17．
(2)由①得： (2,1) (1,1) = 2， (3,1) (2,1) = 2， ( , 1) ( 1,1) = 2，
将上述等式相加，可得 ( , 1) (1,1) = 2( 1)，
所以 ( , 1) = (1,1) + 2( 1) = 2 1， (1,1) = 1 也满足此式，故 ( , 1) = 2 1．
由②得， ( , 2) ( , 1) = 2 ， ( , 3) ( , 2) = 2 ， ( , ) ( , 1) = 2 ，
将上述等式相加，可得 ( , ) ( , 1) = 2 ( 1)，
所以 ( , ) = ( , 1) + 2 ( 1) = 2 1+ 2 2 = 2 1．
而 ( , 1) = 2 1 也满足此式，故 ( , ) = 2 1．
(3)由(2)知 = (1, ) = 2 1，
= sin 1 + sin 2 + sin 3 + + sin =
sin sin3 sin5 sin(2 1)
1 2 3 1
+ 3 + 5 + + 2 1 ，
2
(2sin ) = 2sin + 2sin sin3 + 2sin sin5 + + 2sin sin(2 1) 所以 1 3 5 2 1
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1 cos2 cos2 cos4 cos4 cos6 cos(2 2) cos2
= 1 + 3 + 5 + + 2 1
1 1 1 1 1 cos2
= 1 1 3 cos2 3 5 cos4 2 3 2 1 cos(2 2) 2 1
≥ 1 1 1 1 1 1 1 13 3 5 2 3 2 1 2 1 = 0，
当且仅当 = π时，cos2 = 1( = 1,2, , )，上式取得等号，
即当 ≠ π时，均有(2sin ) > 0，
所以当 0 < < π时， > 0；
当 = π时， = 0；
当π < < 2π时， < 0．
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