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2024-2025 学年江苏省南通市启东市八年级（下）4 月期中考试
数学试卷
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.有两条线段 ， ，且 = 3， = 5，若使线段 与线段 、 构成直角三角形，则线段 的长可能是( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2.在一个三角形地块中分出一块(阴影部分)种植花草，尺寸如图，则 的长度是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.小明用 50 元钱去买单价是 8 元的笔记本，则他剩余的钱 (元)与他买这种笔记本的本数 之间的函数关系
式是( )
A. = 8 B. = 8 50 C. = 8 + 50 D. = 50 8
4.小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，(1)(2)(3)(4)处需要添加条件，则下列条
件添加错误的是( )
A. (1)处可填∠ = 90 B. (2)处可填 =
C. (3)处可填 = D. (4)处可填∠ = 90
5.茶文化是中国对茶认识的一种具体表现，其内涵与茶具设计之间存在着密不可分的联系，如图，是一款
上下细中间粗的茶杯，向该茶杯中匀速注水，下列图象中能大致反映茶杯中水面的高度与注水时间关系是
( )
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A. B. C. D.
6.如图，在平面直角坐标系中，已知点 ( 2,0)， (0,3)，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 轴的正半
轴于点 ，则点 的横坐标为( )
A. 13 2 B. 13 C. 13 + 2 D. 13 + 2
7.如图，在边长为 3 的正方形 中，点 在边 上，以点 为圆心， 长为半径画弧，交线段 于点 .
若 = ，则 的长为( )
A. 2 B. 5 C. 17 D. 92 8 4
8.一次函数 = 2 的函数值 随 的增大而减小，当 = 3 时， 的值可以是( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 3
9.如图，在矩形 中， = 6， = 10， 是射线 上的一动点，连接 ，将 沿 翻折，得到
′ ，连接 ′ ，当 ′ 是直角三角形时， 的长为( )
A. 18 B. 2 C. 3 或 4 D. 2 或 18
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10.定义：平面直角坐标系中，若点 到 轴、 轴的距离和为 2，则称点 为“成双点”.例如：如图，点
1.5,0.5 到 轴、 轴的距离分别为 0.5,1.5，距离和为 2，则点 是“成双点”，点 1,1 , 0.8, 1.2
也是“成双点”.一次函数 = + ≠ 0 的图象 经过点 3, 4 ，且图象 上存在“成双点”，则 的取
值范围为( )
A. 2 ≤ ≤ 2 B. 43 5 ≤ ≤ 2 C.
4
5 ≤ ≤ 4 D.
2
3 ≤ ≤ 4
二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。
11.已知正比例函数 = ≠ 0 的图象过点(2, 8)，则 = ．
12.如图，淇淇由 地沿北偏东 50 方向骑行 8 至 地，然后再沿北偏西 40 方向骑行 6 至 地，则 ，
两地之间的距离为 ．
13.如图所示，在平行四边形 中， = 8， = 5， 平分∠ 交 于点 ，则 = ．
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14.如图，一次函数 = + ≠ 0 的图象经过点 1, 2 和点 2,0 ，一次函数 = 2 的图象过点 ，
则不等式 2 ≤ + 的解集为 ．
15.已知 ， ， 三地的位置及两两之间的距离如图所示．若 地位于 ， 两地的中点处，则 ， 两地之间
的距离是 ．
16.将一张长为 12 ，宽为 8 的长方形纸片按如图对折后剪开，得到的 2 个长方形沿 、 剪开，再将
这 4 个直角三角形拼成如下的大正方形，则此大正方形的面积是 ．
17.已知一次函数 = 1 + 2.若当 1 ≤ ≤ 2 时，函数有最小值 2，则 的值为 ．
18.如图，在菱形 中，∠ = 120 ， = 2 6，点 、 分别是 、 边上的两个动点，连接 , ，
若 平分∠ ，则 的最小值为 ．
三、解答题：本题共 8 小题，共 66 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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19.(本小题 8 分)
如图，一架梯子 斜靠在一竖直的墙 上， 为 2.4 米， 为 0.7 米．
(1)求梯子 的长；
(2)当梯子的顶端 下滑 0.9 米时，求梯子的底端 到点 的距离．
20.(本小题 8 分)
已知：一次函数 = 2 4．
(1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象；
(2)判断一次函数 = 2 4 的图象是否经过点 1,2 ；
(3)利用图象直接写出：当 < 0 时， 的取值范围．
21.(本小题 8 分)
图①所示是某小区倾斜式停车位，图②是车位示意图，工人在绘制时保证 = ，∠ = 60 ，∠ = 120 ．
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(1)请判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)若 为 6 米， 为 2.8 米，求停车位 的面积．
22.(本小题 8 分)
已知：如图，四边形 中， // ， = ， 是对角线 上一点，且 = ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)如果 = ，且∠ ：∠ = 2：3，求证：四边形 是正方形．
23.(本小题 8 分)
某校八年级数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，活动记录如下：
课题：测量旗杆的高度
工具：升旗的绳子(比旗杆的高度长)如图 1、皮尺(皮尺的功能是直接测量任意可达到的两点间的距离)
如图 2．
测量及求解：测量过程：测量出绳子垂直落地后还剩余 ，把绳子拉直，绳子末端点 与地面上旗
杆底部点 距离为 ，即 = ，如图 3.求解过程：设旗杆 的高度 .由测量得， = ，
= ， = + ，在 中，∠ = 90 ，∴ 2 + 2 = 2，即
2 + 2 = + 2．∴ =________ ．
阅读数学兴趣小组活动记录，回答下面问题．
(1)数学兴趣小组求得 所用到的几何知识是 定理；
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(2)直接写出数学兴趣小组测量的旗杆高度 (用含 ， 代数式表示)；
(3)小侨同学利用皮尺设计另外一个测量方案：先在旗杆底端的绳子上打一个结，然后举起绳结拉到点 处
( = ).将绳结举至离旗杆 远，此时绳结离地面 远，如图 4.求旗杆 的高度(用含 ， 代数式
表示)．
24.(本小题 8 分)
蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充
满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察
了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量 (千瓦时)和已行驶路程 (千米)的相关数据，用函数图象
表示如下．
(1)用前半部分电量行驶时，平均每千米用电 千瓦时；
(2)求直线 的函数表达式；
(3)根据小明提供的数据，这辆汽车用前半部分电量比用后半部分电量，能多行驶多少千米？
25.(本小题 8 分)
综合与探究
问题情境
如图，在矩形 中， = 8， = 10， 为 边上的一点，连接 .将矩形 沿直线 折叠，点
的对应点为 ．
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(1)问题解决
如图 1，当点 落在 边上时．
①求 的长．
②如图 2，连接 交 于点 ，过点 作 ⊥ 于点 ，交 于点 ，试判断 ， 与 的数量关系，
并说明理由．
(2)深入探究当点 落在 上方时， 交 于点 ， 交 于点 ，连接 .若 为等腰三角形，请直接
写出 的长．
26.(本小题 10 分)
如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 3,0 ，与 轴交于点 ，与直线 相交于点 2,1 ，
点 直线 上运动．
(1)求直线 的解析式．
(2) 1是否存在点 ，使 的面积是 面积的2？若存在，求出此时点 的坐标；若不存在，说明理由．
(3)若点 在 轴上，在坐标平面内是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接
写出 点的坐标；若不存在，说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. 4
12.10
13.3
14. ≤ 1
15.132 /6
1
2/6.5
16.100 2
17.5 或 1
18.3 2
19.【小题 1】
解： = 0.7 米， = 2.4 米， ⊥ ，
根据勾股定理可得： = 2 + 2 = 2.5(米)．
∴梯子的长为 2.5 米；
【小题 2】
如图，由题意可知： = 0.9 米．
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∵ = 2.4 米，
∴ = 1.5 米
∵ = 2.5 米， = 1.5 米， ⊥ ，
根据勾股定理可得： = 2 2 = 2(米)
即梯子的底端 到点 的距离为 2 米．
20.【小题 1】
解：当 = 0 时，2 + 4 = 0，
解得： = 2，
∴点 的坐标为( 2,0)；
当 = 0 时， = 2 × 0 + 4 = 4，
∴点 的坐标为(0,4)，
作出过 、 两点的直线方程，
如图所示．
【小题 2】
当 = 1 时， = 2 × 1 4 = 6 ≠ 2，
∴一次函数 = 2 4 的图象是不经过点 1,2
【小题 3】
解：观察函数图象，可知：当 < 0 时， < 2．
21.【小题 1】
证明：∵ ∠ = 60 ，∠ = 120 ，
∴ ∠ + ∠ = 180 ，
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∴ // ，
∵ = ，
∴四边形 是平行四边形；
【小题 2】
解：过点 作 ⊥ 于点 ，则∠ = 90 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ = = 6，
∵ ∠ = 120 ，
∴ ∠ = 180 120 = 60 ，
∴ ∠ = 90 ∠ = 30 ，
∴ = 12 =
1
2 × 6 = 3，
在 中， = 2 2 = 62 32 = 3 3，
∴ = = 2.8 × 3 3 =
42 3
5 (平方米)，
42 3答：停车位 的面积为 5 平方米．
22.【小题 1】
在△ 与△ 中，
=
= ,
=
∴△ ≌△ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ // ，
∴ ∠ = ∠ ，
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∴ ∠ = ∠ ，
∴ = ，
∵ = ，
∴ = ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ = ，
∴四边形 是菱形；
【小题 2】
∵ = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ ：∠ = 2：3，
∴ ∠ = 180° × 22+3+3 = 45°，
∵四边形 是菱形，
∴ ∠ = 45°，
∴ ∠ = 90°，
∴四边形 是正方形．
23.【小题 1】
勾股
【小题 2】
解：由题可知， 2 + 2 = + 2，
∵ + 2 = 2 + 2 + 2，
∴ 2 + 2 = 2 + 2 + 2，
2 2∴ = 2 ，
2 2
答：数学兴趣小组测量的旗杆高度为 2 米．
【小题 3】
解：设 = = ，
由题意得： = ， = ， ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，
∴四边形 是矩形，
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∴ = = ，
∴ = = ，
在 中， 2 + 2 = 2，即 2 + 2 = 2，
2+ 2∴ = 2 ，
2 2
答：旗杆 + 的高度为 2 米．
24.【小题 1】
0.2
【小题 2】
解：设 段的函数解析式为 = + ，
将点 175,35 和 225,10 代入解析式得：
1
175 + = 35 = 2
225 + = 10，解得： , = 2452
∴ 段的函数解析式为 = 1 + 2452 2 175 < ≤ 245 ，
【小题 3】
解：当 = 0 1 245时， 2 + 2 = 0，解得： = 245，
即当汽车电量为 0 时，行驶的路程为 245 千米，
由(2)可知，当汽车剩余电量为 35 千瓦时时，行驶的路程是 175 千米，
即前半部分电量行驶的路程为 175 千米，后半部分电量行驶的路程为 245 175 = 70 千米，
175 70 = 105 千米，
答：这辆汽车用前半部分电量比用后半部分电量，能多行驶 105 千米，
25.【小题 1】
① ∵四边形 为矩形， = 8， = 10，
∴ = = 8， = = 10，∠ = ∠ = 90 ，
由折叠得， = , = = 10，
在 中， = 2 2 = 6，
则 = = 4，
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设 = ，则 = = 8 ，
在 中， 2 = 2 + 2，即 8 2 = 42 + 2，解得 = 3，
则 = 3；
② + = ，理由如下，
∵四边形 为矩形，
∴ // ，∠ = ∠ = 90 ，
∴ ∠ = ∠ ，
由折叠得， = , = ，∠ = ∠ = 90 , ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
则 ≌ ( )，
∴ = ，
∵ ∠ = ∠ = 90 ，
∴ // ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
则 = ，
∴ = ，
则 + = + = = ；
【小题 2】
如图，
∵点 落在 上方，∠ = 90 ，
∴ ∠ > 90 ，
∵ 为等腰三角形，
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∴ = ，
∵ ∠ = ∠ = 90 ，∠ = ∠ ，
∴ ≌ ，
∴ = , = ，
设 = , = ，则 = = , = = ， = 8 ， = = 8 ， = 2 + ， =
10 ，
在 中， 2 = 2 + 2，即 10 2 = 2 + 2 + 82，解得 = 43，
则 = 2 + 43 =
10
3．
26.【小题 1】
解：设直线 的解析式为 = + ，
0 = 3 + = 1
则有： 1 = 2 + ，解得： = 3 ,
∴直线 的解析式为 = + 3
【小题 2】
解：∵直线 的解析式为 = + 3，
∴ 0,3 ， = 3，
∵点 2,1 ，
∴ 1 1 3 = 2 2 = 2 × 3 × 2 = 3，即 = 2，
设 , + 3 ，
∴ = 1 1 3 3 2 = 2 × 3 = 2 = 2，解得： = 1 或 1，
∴ 1,4 或 1,2
【小题 3】
解：存在，
∵直线 的解析式为 = + 3，
∴ 3,0 ， 0,3 ，
∴ = 32 + 32 = 3 2；
①当 是菱形的一条边时，
当点 1与点 关于 轴对称时，则点 1是点 关于 轴的对称点 3,0 ，四边形 1 1是菱形；
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当点 在 轴上方，菱形为 2 2时，则 2 = = 3 2，即点 2 3,3 2 ；
同理：当菱形为 3 3时，点 3 3, 3 2 ；
②当 是菱形的对角线时，
设点 4 0, ，点 4 , ，
∴ 的中点即为 4 4的中点，且 = (即： 24 4 4 = 4 2)，
∴ 0 + = 3 + 0， + = 3， 3 0 2 + 2 = 3 2，
∴ = 3， = 3, = 0,
∴ 4 3,3 ；
综上，点 的坐标为 1 3,3 2 ， 2 3, 3 2 ， 3 3,3 ， 4 3,0
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