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2024-2025 学年江苏省张家港市梁丰高中春海创优部八年级（下）期中
检测数学试卷
一、选择题：本题共 15 小题，每小题 3 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.下列各数中，绝对值最大的是( )
A. B. 0 C. 3 D. 3
2.下列运算正确的是( )
A. 2 × 3 = 6 B. 2 + 3 = 5 C. ( 2 )2 = 4 2 D. 6 ÷ 4 = 2
3.将 612000 用科学记数法表示应为( )
A. 6.12 × 105 B. 0.612 × 107 C. 61.2 × 105 D. 612 × 104
4.如图所示的几何体的俯视图可能是( )
A. B. C. D.
5.如图，在扇形 中，∠ = 90 ，点 是 的中点．过点 作 ⊥ 交 于点 ，过点 作 ⊥ ，
垂足为点 .在扇形内随机选取一点 ，则点 落在阴影部分的概率是( )
A. 1 B. 1 C. 1 D. 24 3 2 3
6.关于 的一元二次方程 1 2 + + 2 1 = 0 的一个根是 0，则 的值是( )
A. 0.5 B. 1 C. 1 或 1 D. 1
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7.如图，一个圆锥的主视图是边长为 3 的等边三角形，则该圆锥的侧面展开图的面积是( )．
A. 92 B.
9 3 C. 9 D. 9 34 4
8.成语“朝三暮四”是源自于《庄子·齐物论》的寓言故事，讲述了一位老翁喂养猴子的故事．老翁每天分
3
早晚两次喂食猴子，早上喂食的粮食重量是晚上喂食的粮食重量的4，猴子们对这个安排很不满意，于是老
翁进行了调整，从晚上喂食的粮食中取出 2 千克放在早上喂食的粮食中，这样早上喂食的粮食重量是晚上
4
喂食的粮食重量的3，猴子们对这样的安排非常满意．设调整前晚上喂食的粮食重量是 千克，由题意可得( )
A. 34 2 =
4 + 2 B. 43 3 + 2 =
3
4 2
C. 3 4 3 44 = 3 2 D. 4 + 2 = 3 2
9.将正比例函数 1 = ≠ 0

与反比例函数 2 = ≠ 0 叠加得到函数 = +

(这样的函数由于其图
象类似两个勾号，所以也称为“对勾函数”或“双勾函数”.对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，
1
一般认为它是反比例函数的一个延伸．)，如图是对勾函数 = + 的图象，下列对该函数性质的说法不正
确的是( )
A.该函数的图象是中心对称图形
B.在每个象限内， 的值随 值的增大而减小
C.当 > 0 时，函数在 = 1 时取得最小值 2
D.函数值 不可能为 1
10.小明参观完洛阳博物馆后，在出口处购买了博物馆文创产品之一的信封．信封正面可看成如图所示的矩
形 (虚线为重叠部分四边形 的轮廓)，其中∠ = 90 ， // ， // ，已知 = 10 , =
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= 12 ，且 = ，则重叠部分四边形 的面积为( )
A. 25 2 B. 194 120 2 2
C. 194 60 2 2 D. 12 5 2 2
11 2 1 < 5.若关于 的不等式组 < + 1 的解集为 < 3，则 的取值范围是( )
A. > 2 B. ≥ 2 C. < 2 D. ≤ 2
12.已知二次函数 = 2 + 2 + 的图象如图所示，则二次函数 = 2 + + 与正比例函数 = 2
的图象大致为( )
A. B. C. D.
13.如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边长为 2 6，点 在 轴的正半轴上，且∠ = 60 ，将菱
形 绕原点 逆时针方向旋转 60 ，得到四边形 ′ ′ ′(点 ′与点 重合)，则点 ′的坐标是( )
A. 3 6, 3 2 B. 3 2, 3 6 C. 3 2, 6 2 D. 6 2, 3 6
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14.抛物线 = 2 + + 与 轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于 1，另一个交点的横坐标小于 1，
则下列结论正确的是( )
A. + > 1 B. = 2 C. 2 + 4 < 0 D. < 0
15.无论 为何值，直线 = 2 + 2 与抛物线 = 2 2 3 总有公共点，则 的取值范围是( )
A. > 0 B. ≤ 23 C. ≤
2 2
3或 > 0 D. ≥ 3
二、填空题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。
16.函数 = 2中，自变量 的取值范围是 ．
17.因式分解： 2 3 = ．
18.如图，正五边形 内接于⊙ ，则∠ = 度．
19.若 = 2，则式子 2 2 4 的值等于 ．
20 3 1.若关于 的方程 2 2 = 1 无解，则 的值为 ．
21.若 ≤ ≤ + 2 时，二次函数 = 2 2 + 4 + 1 的最大值为 31，则 的值为 ．
22.已知关于 的方程 2 + 4 + 4 = 0 ≠ 0 的两实数根为 1、 2，若 2 1 + 2 = 3 1 2，则
= ．
23.如图，△ 为等腰直角三角形，∠ = 90°，过点 作 // ，在 上取一点 ，连接 、 ，
若 = ， = 2，则 = .
24.如图，在矩形 中， 为 边上一点，∠ = 30 ，将 沿 折叠得 ，连接 ， ，若
平分∠ ， = 2，则 的长为 ．
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25.在平面直角坐标系中，⊙ 圆心为 0,2 ，半径为 3，点 在函数 = 2 的图象上，过点 作⊙ 的切
线，切点分别为 、 ，则 × 的最小值为 ．
三、解答题：本题共 8 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
26.(本小题 8 分)
计算：
2
(1) 12 2tan60 12 + 2 3 4 ；
(2) 2 ÷ 1 2 4 2 ．
27.(本小题 8 分)
解下列不等式组或方程：
3 1 ≥ 2 + 1
(1) +2
3 > 2
；
(2)4 2 31 45 = 0．
28.(本小题 9 分)
= 如图，反比例函数 < 0 的图象与矩形 的边相交于 、 两点 5,1 ，且 : = 2: 3，一次
函数经过 、 两点．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)求 的面积．
29.(本小题 10 分)
已知 中， = , ∠ 为锐角， 、 是 的两条高， 与 交于点 ．
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(1)求证： ∽ ；
(2) 如果 = 3，求∠ 的正切值；
(3)如果∠ = 60 , = 6，求 外接圆的面积．
30.(本小题 10 分)

如图，在⊙ 中， 是直径， 是弦，点 是 上一点， = ， , 交于点 ，点 为 延长线上一
点，且∠ = ∠ ．
(1)求证： 是⊙ 的切线．
(2)若 = 4, = 2 5，求⊙ 的半径长．
31.(本小题 10 分)
“三汇彩婷会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动、起源于汉代、融数学，力学，锻造，绑扎，
运载于一体，如图 1，在一次展演活动中，某数学综合与实践小组将彩婷抽象成如图 2 的示意图， 是彩
婷的中轴、甲同学站在 处．借助测角仪观察，发现中轴 上的点 的仰角是 30 ，他与彩婷中轴的距离 =
6 米．乙同学在观测点 处借助无人机技术进行测量，测得 平行于水平线 ，中轴 上的点 的仰角
∠ = 45 ，点 、 之间的距离是 4 米，已知彩婷的中轴 = 6.3 米，甲同学的眼睛到地面的距离 = 1.5
米，请根据以上数据，求中轴上 的长度．(结果精确到 0.1 米，参考数据 3 ≈ 1.73， 2 ≈ 1.41)
32.(本小题 10 分)
综合与实践
如图，在 中，点 是斜边 上的动点(点 与点 不重合)，连接 ，以 为直角边在 的右侧构造
，∠ = 90 ，连接 ， = = ．
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(1)特例感知如图 1，当 = 1 时， 与 之间的位置关系是 ，数量关系是 ；
(2)类比迁移如图 2，当 ≠ 1 时，猜想 与 之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
(3)拓展应用
在(1)的条件下，点 与点 关于 对称，连接 ， ， ，如图 3.已知 = 6，设 = ，四边形
的面积为 ．
①求 与 的函数表达式，并求出 的最小值；
②当 = 2 时，请直接写出 的长度．
33.(本小题 10 分)
已知抛物线 = 2 + + 与 轴交于点 1,0 ， 3,0 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图 1，抛物线与 轴交于点 ，点 为线段 上一点(不与端点重合)，直线 ， 分别交抛物线于点 ，
，设 面积为 11， 面积为 2，求 的值；2
(3)如图 2，点 是抛物线对称轴与 轴的交点，过点 的直线(不与对称轴重合)与抛物线交于点 ， ，过抛
物线顶点 作直线 / / 轴，点 是直线 上一动点．求 + 的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16. ≥ 2
17. +
18.36
19. 4
20.4
21. 5 或 1
22.45
/0.8
23.2
24. 2
25.2 15
26.【小题 1】
解：原式= 2 3 2 3 4 + 4 2 3 = 2 3；
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【小题 2】
2 2
原式= +2 2 ÷ 2
2 2
= + 2 2 2
= 1 +2．
27.【小题 1】
3 1 ≥ 2 + 1 ①
解： +2
3 > 2②
由①，得： ≥ 3；
由②，得： < 4；
∴不等式组的解集为：3 ≤ < 4；
【小题 2】
解：4 2 31 45 = 0，
∴ 4 + 5 9 = 0，
∴ 4 + 5 = 0 或 9 = 0，
∴ 1 =
5
4， 2 = 9．
28.【小题 1】

把点 5,1 ，代入反比例函数 = < 0 ，
∴ 5反比例函数的解析式为： = ，
∵ 反比例函数 = < 0 的图象与矩形的边相交于 ， ，
∴ = 5，
∵ : = 2: 3，
∴ = 23 ，
∴ + = ，
= 3，
= = 5 3 = 2，
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点横坐标为 2，
设 点纵坐标为 ，
5
把点 2, 代入 = ，
= 52，
∴ 2, 52 ，
5
把点 5,1 和点 2, 2 代入 = + ≠ 0 得
5 + = 1
5 ,
2 + = 2
== 1
解得： 2
= 7
,
2
∴ 1一次函数的解析式为： = 2 +
7
2
【小题 2】
由(1)得，
5
∴ = 2
∵ 5,1
∴ = 1
3
∴ = = 2
∵四边形 是矩形，
∴ ∠ = 90
1
∴ = 2
1 3
= 2 × 3 × 2
9
= 4
29.【小题 1】
由 ⊥ , ⊥ 得：∠ = ∠ = 90 ,且∠ = ∠ ，
则由∠ = 180 ∠ ∠ , ∠ = 180 ∠ ∠ ，得：
∠ = ∠ ．
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由 = , ⊥ ，得：∠ = ∠ ．
∴ ∠ = ∠ .又∠ = ∠ ，
∴ ∽ ．
【小题 2】

由 = 3 得 = 3 ，
∵ ∽ (已证)，
∴ = = + = 3 + 4 = ．
∴ 2 = 4 2，
∴ = 2．
∴ tan∠ = = = = 2．
即：∠ 的正切值为 2．
【小题 3】
根据已知条件 = , ∠ = 60 可知 是等边三角形．则 的外接圆如下图所示．
设圆心为点 .则等边 的高、中线、顶角平分线“三线合一”，故 是 、 的交点．
1 1
∴ ∠ = 2∠ = × 60

2 = 30

1
∴ = 2
∵ = ，
∴ = (同圆中弦相等，对应的弦心距相等)．
在 与 中，
∠ = ∠
=
∠ = ∠ = 90
∴ ≌ ，
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∴ = ，
∴ = + = + 1 = 32 2 ．
∵ = 6，
∴ 32 = 6，则 = 4．
即 外接圆的半径为 4，
∴ 外接圆的面积为：4 × 4 × = 16 ．
30.【小题 1】
证明：∵ =

∴ = ,
∴ ∠ = ∠ .
∵ ∠ = ∠ , ∠ + ∠ + ∠ + ∠ = 180 ，
∴ ∠ + ∠ = 90 .
即∠ = 90 ,
∴ ⊥ ．
又∵ 为半径，
∴ 是⊙ 的切线．
【小题 2】
解：连接 ．
∵ = 4
∴ = = 4.
∵ 是直径，
∴ ∠ = 90 ,
∴ ∠ = 90 .
在 中， = 2 2 = 2.

∵ tan = = ,
4
∴ = ,
2 5 2
∴ = 4 5.
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又 是直径
∴⊙ 的半径长为 2 5.
31.解：如图，过点 作 ⊥ 于点 ，
依题意，四边形 是矩形，∠ = 30 , ∠ = 45
∴ = tan30 = 6 × 3 23 = 2 3， = sin45 = 4 × 2 = 2 2
∴ = +
= 2 2 + 2 3 + 1.5 6.3
= 2 × 1.41 + 2 × 1.73 + 1.5 6.3
≈ 1.5 米
答：中轴上 的长度为 1.5 米．
32.【小题 1】
⊥
=
【小题 2】
与 之间的位置关系是 ⊥ ，数量关系是 = ；理由如下：
∵ ∠ = 90 = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，∠ + ∠ = 90 ，
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∵ = = ，
∴ ∽ ；
∴ = = ，∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 90 ，
∴ ⊥ ，
∴ 与 之间的位置关系是 ⊥ ，数量关系是 = ；
【小题 3】
由(1)得： = ， = ，∠ = 90 = ∠ ，
∴ ， 都为等腰直角三角形；
∵点 与点 关于 对称，
∴ 为等腰直角三角形； = = = ，
∴四边形 为正方形，
如图，过 作 ⊥ 于 ，
∵ = = 6，∠ = 90 ，
∴ = 2 + 2 = 6 2， = = = 3 2，
当 0 < ≤ 3 2时，
∴ = 3 2 ，
2 2 2 2∴ = = 3 2 + 3 2 = 3 2 + 18，
如图，当 3 2 < ≤ 6 2时，
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此时 = 3 2，
2
同理可得： = 2 = 3 2 + 18，
2
∴ 与 的函数表达式为 = 3 2 + 18 0 < ≤ 6 2 ，
当 = 3 2时， 的最小值为 18；
②如图，∵ ⊥ ，正方形 ，记正方形的中心为 ，
∴ ∠ = ∠ = ∠ = 90 ，
连接 ， ， ，
∴ = = = = ，
∴ , , , , 在⊙ 上，且 为直径，
∴ ∠ = 90 ，
过 作 ⊥ 于 ，过 作 ⊥ 于 ，
∴ = 12 = 3， =
1
2 = 1，
∴ = 32 + 12 = 10，
∴ = 2 = 2 10，
1 2∴ 1正方形面积为2 × 2 10 = 2 × 40 = 20，
2
∴ = 2 = 3 2 + 18 = 20，
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解得： 1 = 2 2， 2 = 4 2，经检验都符合题意，
如图，
综上：当 = 2 时， 为 2 2或 4 2．
33.【小题 1】
解：∵抛物线 = 2 + + 与 轴交于点 1,0 ， 3,0 ，
1 + = 0
9 + 3 + = 0，
= 2
解得 = 3 ,
∴抛物线的解析式为 = 2 + 2 + 3；
【小题 2】
设 (0, )，直线 为 = 1 + 1 1 ≠ 0 ，据题意得，
1 + 1 = 0 =
，解得
1 ,
1 = 1 =
∴ = + ，
= +
联立得 = 2 + 2 + 3 ,
= 1 = 3
解得 = 0 或 = 2 + 4 ,
∴ 3 , 2 + 4 ，
设 (0, )，直线 为 = 2 + 2 2 ≠ 0 ，据题意得，
3 2 + 2 = 0 2 =

3
= ，解得 ,2 2 =
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∴ = 3 + ，
= +
联立得 3 ,
= 2 + 2 + 3
3
= 3 = 3
解得 = 0或 2 = + 4
,
9 3
2
∴ 33 ,
+ 4 9 3 ，
2
= 1 4 2 21 = 2 = 2 9 + 3 = 9 3 ，
= 1 2 22 = 2 = 2 + 4 = 2 3 ，
∴ 1 1 = 9；2
【小题 3】
设直线 为 = + ≠ 0 ，由 (1,0)得 + = 0，
∴ = ，
∴ = ，
设 , 2 + 2 + 3 ， , 2 + 2 + 3 ，
=
联立直线 与抛物线 = 2 + 2 + 3 ,
得 2 + ( 2) 3 = 0，
= 2 2 4 3 = 2 + 16 > 0，
根据根与系数的关系可得： + = 2 ， = 3，
作点 关于直线 的对称点 ′，连接 ′，
由题意得直线 : = 4，则 ′ , 2 2 + 5 ，
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∴ + = + ′ ≥ ′，
过 点作 ⊥ ′于 ，则 , 2 + 2 + 3 ．
则 ′ = 2 + 2 2 + + 2 ， = ，
在 ′中，
′2 = 2 + ′ 2 = ( )2 + 2 + 2 2( + ) + 2 2
= ( + )2 4 + ( + )2 2 2( + ) + 2 2
= (2 )2 4( 3) + (2 )2 2( 3) 2(2 ) + 2 2
= 4 + 17 2 + 80 ≥ 80，
即当 = 0 时， ′2 = 80，此时 ′ = 4 5，
故 + 的最小值为 4 5．
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