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2024-2025学年江苏省苏州市立达中学七年级（下）期中
数学试卷
一、选择题：本题共 8小题，每小题 3分，共 24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图
形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是( )
A. ( + 2)(2 + ) B. ( + )( ) C. (2 + )( 2 ) D. ( )( )
3.下列各项是二元一次方程的是( )
A. 5 + 2 = 0 B. 2 + = 1 C. + 1 = 2 D. 2 1 = 5
4.若2 +2 + +2 = 28，则 =( )
8 个2
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5.从边长为 的大正方形纸板正中央挖去一个边长为 的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的
四边形(如图 1)，然后拼成一个平行四边形(如图 2)，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成
立的等式为( )
A. 2 2 = 2 B. + 2 = 2 + 2 + 2
C. 2 = 2 2 + 2 D. 2 2 = +
6.如图，将 绕点 顺时针旋转 0 < < 180 得到 .若∠ = 30 ，∠ = 100 ，则 的值
为( )
A. 100 B. 70
C. 60 D. 40
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= 1 + = 2
7.已知 = 2是方程组 + = 3的解，则 + + 的值是( )
= 3 + = 7
A. 3 B. 2 C. 1 D.无法确定
8.对 、 定义一种新运算 ，规定： , = + 2(其中 、 均为非零常数)，这里等式右边是通常
的四则运算，例如： 1,0 = × 1 × 0 + × 0 2 = 2，若 2,1 = 5, 1,2 = 0，则结论正确的个数
为( )
① = 2, = 3；②若 , = 1 = 1 = 2 = 0 = 3， 、 取整数，则 = 3 或 = 3 或 = 1 或 = 1；
③若 , = , 对任意有理数 , 都成立(这里 , 和 , 均有意义)，则 = 0．
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
二、填空题：本题共 8小题，每小题 2分，共 16分。
9.“白日不到处，青春怡自来；苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首《苔》，苔花的花粉直
径约为 0.000048 米，则数据 0.000048 用科学记数法表示为 ．
10.已知：4 = 7，8 = 3，22 3 的值为 ．
11 1
0 2
.计算： 3 +
1
3 = ．
12.若 + 1 2 + 2 + 7 = 0，则 2 =_____ _______．
13.如果 2 10 + 是一个完全平方式，那么 的值是 ．
14.如图，在 中，∠ > 90 ， 的垂直平分线交 于点 ， 的垂直平分线交 于点 ，连接 , ，
若 = 15，则 的周长是 ．
15.如图，将直角三角形 沿 方向平移，得到直角三角形 ， 交 于点 ，若 = 10， = 3，
平移距离为 4，则图中阴影部分的面积为
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16.如图所示，在△ 中，∠ = 70°，∠ = 90°，点 关于 的对称点是 ′，点 关于 的对称点是 ′，
1
点 关于 的对称点是 ′，若△ 的面积是3，则△ ′ ′ ′的面积是 ．
三、解答题：本题共 72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 4 分)
计算题：
(1) + 2 2
(2) 3 4 2 3 4 10 ÷ 2．
18.(本小题 4 分)
解方程：
= 2
(1) 3 + 2 = 8
2 + 3 = 8
(2) 6 5 = 4
19.(本小题 4 分)
先化简，再求值： 2 + 2 + 4 3 8 2 2 ÷ 4 ，其中 = 2， = 1．
20.(本小题 4 分)
3 + 2 = 2
若关于 、 的二元一次方程组 2 + = 18的解 、 互为相反数，求 的值．
21.(本小题 5 分)
如图，网格中每个小正方形的边长都为 1，三角形 的顶点都在格点上(每个小正方形的顶点叫格点)．
(1)平移三角形 ，使点 平移到点 (点 平移到点 ，点 平移到点 )，画出平移后的三角形 ；
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(2)连接 ， ，请直接写出三角形 的面积是 ．
22.(本小题 6 分)
如图，在直角三角形 中，∠ = 90 , ∠ = 33 ，将三角形 沿 方向平移得到三角形 ．
(1)求∠ 的度数．
(2)若 = 9 , = 2 ，求 的长．
23.(本小题 6 分)
如图，正方形 的边长为 ，点 在 边上，四边形 也是正方形，它的边长为 > ，连接 、
、 ．
(1)用含 、 的代数式表示 = ；
(2)若两个正方形的面积之和为 60，且 = 20，求图中线段 的长；
(3)记 的面积为 ，则 = (用字母表示)．
24.(本小题 6 分)
如图，在 中，∠ = 22 ，∠ = 45 ， = 6 ， 逆时针旋转一定角度后与 重合，且
点 恰好成为 的中点．
(1)指出旋转中心，并求出旋转的度数；
(2)求 的长．
25.(本小题 6 分)
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如图，直线 1 ⊥ 2，垂足为 ，点 1与点 关于直线 1对称，点 2与点 关于直线 2对称．点 1与点 2有怎样
的对称关系？你能说明理由吗？
26.(本小题 7 分)
我们定义：如果两个多项式 与 的和为常数，则称 与 互为“组合多项式”，这个常数称为它们的“组
合数”.如 = 4 2 2 + 6 与 = 4 2 + 2 3， + = 3，则 与 互为“组合多项式”，它们的“组
合数”为 3．
(1)下列各组多项式中，互为“组合多项式”的是 (填序号)；①3 2 2 与 3 2 + 2；② 9 与 + 8；
③ 5 2 + 2 + 2 与 5 2 2 ．
(2)多项式 = ( )2与 = 2 + 4 + ( , 为常数)互为“组合多项式”，求它们的“组合数”；
(3)关于 的多项式 = 2 6 + 7 与 = ( 1)( + )的“组合数”能为 0 吗？若能，请求出 ，
的值；若不能，请说明理由．
27.(本小题 8 分)
【阅读材料】
对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．如图 1 1，边长为
的大正方形切去一个边长为 的小正方形，剩余部分的面积为 2 2，如图 1 2，把剩余部分按如图所示
的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方形(或正方形)，则甲的面积为 2，乙的面积为 ，丙的
面积为 ，所以 2 2 = 2 + 2 = + 2 =
2 2 = + ，
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【尝试应用】
(1)利用材料中得到的因式分解等式计算：992 12 = ；
(2)通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图 2 1，棱长为 的实
心大正方体切除一个棱长为 的小正方体，剩余部分的体积按如图 2 2 所示的方式继续切割为甲、乙、丙
三个长方体，类比第(1)题，求可得到的因式分解等式为 3 3 = ；
3 3
(3)【拓广探索】若 = 2 ， = 1，且 > 0， > 0.求 3+ 3的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.4.8 × 10 5
10.73 /2
1
3
11.10
12. 8
13.25
14.15
15.34
16.1
17.【小题 1】
解： + 2 2 = + + + +
= 2 2
= 4 ；
【小题 2】
解： 3 4 2 3 4 10 ÷ 2
= 9 8 8 8
= 7 8．
18.【小题 1】
= 2 ①
解： ,
3 + 2 = 8②
将①代入②，得 6 + 2 = 8，
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解得 = 1，
将 = 1 代入①，得 = 2，
∴ = 1原方程组的解为 = 2；
【小题 2】
2 + 3 = 8①
解： ,
6 5 = 4②
① × 3 ②，得 14 = 28，
解得 = 2，
将 = 2 代入②，得 6 10 = 4，
解得 = 1，
∴ = 1原方程组的解为 = 2．
19.解： 2 + 2 + 4 3 8 2 2 ÷ 4
= 4 2 2 + 2 2
= 4 2 2 ，
当 = 2， = 1 时，
原式= 4 × 2 2 2 × 2 × 1 = 16 + 4 = 20．
20.解：由已知得： + = 0，
+ = 0 = 2
则 3 + 2 = 2，解得： = 2 ,
∴ 2 × 2 2 = 18，
∴ = 20．
21.【小题 1】
解：由题意得，三角形向左平移 4 个单位长度，向上平移 2 个单位长度得到三角形．
如图，三角形 即为所求．
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【小题 2】
4
22.【小题 1】
解：∵在 中，∠ = 90 ，∠ = 33 ，
∴ ∠ = 180 90 33 = 57 ，
由平移得，∠ = ∠ = 57 ；
【小题 2】
解：由平移得， = = ，
∵ = 9 ， = 2 ，
∴ = = 12 × =
1
2 × 9 2 = 3.5 ，
∴ = 3.5 ．
23.【小题 1】
+
【小题 2】
解：∵两个正方形的面积之和为 60，
∴ 2 + 2 = 60，
∵ ( + )2 = 2 + 2 + 2 = 60 + 20 × 2 = 100，
∴ + = 10，
∴ = 10；
【小题 3】
1
2
2
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24.【小题 1】
解：在 中，∠ = 22 ，∠ = 45 ， = 6 ，
∴ ∠ + ∠ = 67 ，
∴ ∠ = 180 67 = 113 ，
∵当 逆时针旋转一定角度后与 重合，
∴旋转中心为点 ，旋转角的度数为 113 ；
【小题 2】
解：由旋转得， = = 6 ， = ，
∵ 为 的中点，
∴ = 12 = 3 ，
∴ = = 3 ．
25.解：如图，点 1与点 2关于点 成中心对称，理由如下：
如图，
∵点 1与点 关于直线 1对称，
∴ = 1，∠ 1 = 2∠1，
∵点 2与点 关于直线 2对称，
∴ = 2，∠ 2 = 2∠2，
∴ 1 = 2，
∴ ∠ 1 + ∠ 2 = 2 ∠1 + ∠2 = 2 × 90 = 180 ，
即点 1、 2的连线经过点 ，且 1 = 2，
∴点 1与点 2关于点 成中心对称．
26.【小题 1】
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②③
【小题 2】
( )2 + 2 + 4 +
= 2 2 + 2 + 2 + 4 + ，
= 1+ 2 + 4 2 + 2 + ，
∵ = ( )2与 = 2 + 4 + ( , 为常数)互为“组合多项式”，
∴ 1 + = 0，4 2 = 0， 2 + 为常数，
解得： = 1， = 2，
∴ 2 + = 3，
它们的“组合数”为 3；
【小题 3】
能为 0，理由如下：
∵ = 2 6 + 7 ， = ( 1)( + )，
∴ + = 2 6 + 7 + ( 1)( + )
= 2 6 + 7 + ( 2 + )
= 2 6 + 7 + 2 + ，
= 6+ + 7
若 和 的“组合数”能为 0，
∴ 6 + = 07 = 0
= 1
解得： = 7 ．
27.【小题 1】
9800
【小题 2】
2 + + 2
【小题 3】
∵ = 2, = 1，
∴ 2 = 2 2 + 2 = 4，
∴ 2 + 2 = 4 + 2 = 4 + 2 × 1 = 6，
∵ + 2 = 2 + 2 + 2 = 2 + 2 + 2 = 6 + 2 × 1 = 8， > 0, > 0，
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∴ + > 0， + = 2 2，
根据(2)的计算得到 3 3 = 2 + + 2 ，
同理， 3 + 3 = + 2 + 2 ，
3 3
∴ =
2+ + 2 2× 6+1 7 2
3+ 3 + 2 + 2 = 2 2× 6 1 = 10 ．
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