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江西省上饶市 2025 届高三第二次高考模拟考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = | 2 4 + 3 < 0 ， = |2 3 > 0 ，则 ∪ =( )
A. 3, 32 B. 3,
3
2 C.
3
2 , + ∞ D. (1, + ∞)
2.已知复数 = 3 2 + ( 2)i( ∈ R)，若 为实数，则| | =( )
A. 2 B. 5 C. 4 D. 1
3.命题“ ≥ 2, 2 ≥ 4”的否定为( )
A.“ ≤ 2, 2 ≥ 4” B.“ 0 < 2, 20 < 4”
C.“ ≥ 2, 2 < 4” D.“ 0 ≥ 2, 20 < 4”
4.已知向量 = (0,1), + = (1, )，若 ⊥ ，则 =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
5.已知 ln > 0 为等差数列， 1 = 3, 6 = 96，则 3 =( )
A. 12 B. 201 995 C. 2 D. 12 2
6.若函数 = ln 12
2 2 在[1,4]上存在单调递增区间，则实数 的取值范围为( )
A. 1, + ∞ B. 1, + ∞ C. ∞, 716 D. ∞,
7
16
7.下列选项中，曲线 = sin ( ∈ R)与 = 2sin3 在 ∈ [0,2π]上的交点个数不一样的是( )
A. = 1 B. = 2 C. = 1 D. = 2
8.若不等式 ( + )ln( + ) ≥ 0 恒成立，则 的取值集合为( )
A. 1 B. (0,1] C. 1e , 1 D. [1, + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若正实数 , 满足 + = 1，则( )
A. + 1 4的最大值是 2 B. + 的最小值是 9
C. (1 + )(1 + ) 9 3的最大值是4 D.
2 + 2 2的最小值是4
10.若( + 2)( 1)8 = 20 + 1( + 1) + 2( + 1) + 3( + 1)3 + + 99( + 1) ，则下列结论正确的是
( )
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A. 1 + 2 + 3 + + 9 = 2
B. 7 = 96
C. 0 + 2 2 31 + 2 2 + 2 3 + + 29 9 = 4
D. 1 + 2 2 + 3 3 + + 9 9 = 15
11.已知曲线 : | | + 2 | | = 2，则下列说法正确的是( )
A. = 2直线 2 与曲线 没有交点
B.已知点 ( 3, 0), ( 3, 0)，则曲线 上存在点 ，使得| | | | = 2 2
C.若过点(0, 2)的直线 与曲线 有三个不同的交点，则直线 6 2的斜率的取值范围是( 2 , 2 )
D.点 是曲线 2上在第四象限内的一点，过点 向直线 = 2 =
2
与直线 2 作垂线，垂足分别为 , ，
则| | | | = 23
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 1.已知数列 满足 1 = 2, +1 = 2 + 2 ∈ + ，则数列 的前 4 项的和为 ．
13.已知曲线 = 2 + 1 2与直线 = + 有两个相异的交点，那么实数 的取值范围是 ．
14.如图，球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做
1
球缺的高，球缺是旋转体，球缺的体积公式是 = π 23 (3 ).已知正方体 1 1 1 1棱长为 1，
则该正方体与以 为球心， 2为半径的球的公共部分的体积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
3sin 的内角 , , 所对的边分别为 , , , = 3 + cos ．
(1)求角 ；
(2)若 = 3， + + = 0，且 = 1，求 的面积．
16.(本小题 15 分)
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如图(1) 2，四边形 中， = = 4 = 2, ∠ = 90
°, ∠ = 105°, ， 分别为 , 的中点，
现以 为折痕把 折起，使点 到达点 ′的位置(如图(2))，且 ′ = 14．
(1)证明：平面 ′ ⊥平面 ；
(2)若 为 π上的一点，平面 与平面 的夹角为3，求点 到平面 的距离．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = (ln( + 1) + 1)
(1)求曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程；
(2) 1证明：当 ≥ π时 ( ) ≤ sin + ln( + 1)成立．
18.(本小题 17 分)
已知双曲线 过点 (3, 2)，其右焦点 到渐近线的距离为 1，过 作与坐标轴都不垂直的直线 交 的右支于
, 两点．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2) ( 0, 0)为双曲线 上一动点，过点 分别作两条渐近线的平行线交渐近线于 , ，四边形 的面积是
否为定值？若是求出该定值，若不是请说明理由；
(3)在 轴上是否存在定点 ，使| | = | | 恒成立，若存在求出定点 的坐标，若不存在
请说明理由．
19.(本小题 17 分)
“三门问题”亦称为蒙提霍尔问题，问题名字来自 1970 年美国的一个电视游戏节目主持人蒙提·霍尔.游戏
中，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门后面有一辆跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选
中后面有车的那扇门可获奖赢得该跑车，主持人知道跑车在哪一扇门.当参赛者选定了一扇门但未去开启它
的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇
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仍然关闭的门.当时大部分的观众和参与者都支持不换门，认为换不换门获奖概率是一样的.然而当时智商最
高的玛丽莲·沃斯·莎凡特给出了正确答案：应该换门．
(1)请用所学概率知识解释玛丽莲·沃斯·莎凡特给出的答案；
(2)证明：当跑车门数不变，山羊门数增加，游戏中的参与者在主持人打开一扇山羊门后，换门都比不换门
中奖概率更高；
(3)如果有 ≥ 3, ∈ 扇门，其中一扇门后有 10 万奖金，其他门后什么都没有，主持人知道哪一扇门
后面有奖金.当参与者选中一扇门后(未打开)，主持人问参与者是否愿意投入 5000 元，帮他在剩余的门中打
开一扇没有奖金的门，并允许参与者换门.问当门数 满足什么条件时，参与者投入 5000 元是值得的？
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.45/0.8
13. 2 2, 3
14.15 8 212 π
15. 3sin 【详解】(1)由正弦定理： = 3 + cos 3sin = 3sin sin + 3sin cos ，
所以 3sin( + ) = 3sin sin + 3sin cos ，
所以 3sin cos + 3cos sin = 3sin sin + 3sin cos ，
得 3cos sin = 3sin sin ．
因为 为三角形内角，所以 sin ≠ 0，所以 tan = 3．
又 ∈ 0, π ，所以 = π3．
(2)如图：
因为 + + = 0，所以 为 的重心．
延长 交 与点 ，则 3为 中点.因为 = 1，所以 = 2．
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1
因为 = 2
+ ，
所以
2
= 1 +
2

2
+
2
4
+ 2 = 9，即 2 + 2 + = 9①
在 中，由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 cos 2 + 2 = 3②
由①②得： = 3．
1 1
所以 = 2 sin = 2 × 3 ×
3 = 3 32 4 ．
16.【详解】(1)在 中，由 = = 2, ∠ = 90°，得∠ = 45 , = 2，
在 ′ 中，∠ ′ = ∠ = 105 45 = 60 ，而 ′ = = 4，
2 2
由余弦定理，得 ′ 2 = ′ + 2 2 ′ cos60 = 12，则 2 + ′ 2 = ′ ，
2
即 ⊥ ′ ，由 ′ = 14，得 ′ = 2 + ′ 2，则 ⊥ ′ ，
又 ∩ = , , 平面 ，因此 ′ ⊥平面 ，而 ′ 平面 ′ ，
所以平面 ′ ⊥平面 ．
(2)连接 ，由 , 分别为 , ′的中点，得 // ′ ，由(1)得 ⊥平面 ，
由 = = 2，得 ⊥ ，则直线 , , 两两垂直，
以点 为原点，直线 , , 分别为 , , 轴建立空间直角坐标系，
则 (0,0,0), (1,0,0), ( 1,0,0), (0,1,0), (0,0, 3)， = (2,0,0)，
由点 在 上，令 = + (1 ) = (0, , 3 3 ), 0 ≤ ≤ 1，

设平面 = 2 = 0的法向量 = ( , , )，则 ，取 = ，得 = (0, 3 3, )， = + ( 3 3 ) = 0
= (0,0,1) |cos , | = | | 1 1而平面 的法向量 ，则 | || | = = ，解得 = ， 2+3( 1)2 2 2

于是 = (0, 32 ,
1
2 )，而
= (0,0, 3)，则点 | | 3到平面 的距离 = | | = 2 ，
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3
所以点 到平面 的距离为 2 ．
17.【详解】(1)函数 ( ) = ln( + 1) 2 + ，求导得 ′( ) = ln( + 1) + +1 2 + 1，
则 ′(0) = 1，而 (0) = 0，所以所求切线方程为 = ．
(2)函数 ( ) = ln( + 1) 2 + 的定义域为( 1, + ∞)，
不等式 ( ) ≤ sin + ln( + 1) 2 + sin ≥ 0 ≥ 1，当 π时，
2 ≥ 1π
2，
则 2 + sin ≥ 1π
2 + sin ，令函数 ( ) = 1 2π + sin ，
当 ∈ ( 1,0]时， ( ) ≥ + sin ，令函数 ( ) = + sin ，
求导得 ′( ) = 1 + cos ≤ 0，函数 ( )在( 1,0]上单调递减， ( ) ≥ (0) = 0， ( ) ≥ 0；
当 ∈ (0, π) 2 2时， ′( ) = π 1 + cos ，令 ( ) =
′( ) = π 1 + cos ，
′( ) = 2 ′ π π求导得 π sin ，函数 ( )在(0, 2 )上单调递减，在( 2 , π)上单调递增，
而 ′(0) = 2π > 0,
′( π 2 ′2 ) = π 1 < 0, (π) =
2 π π ′
π > 0，则存在 1 ∈ (0, 2 ), 2 ∈ ( 2 , π)，使得 ( 1) =
′( 2) = 0，
当 0 < < 1或 ′2 < < π时， ( ) > 0；当 1 < < 2时， ′( ) < 0，
函数 ′( )在(0, 1), ( 2, π)
π
上单调递增，在( 1, 2)上单调递减， ′(0) = ′( ′2 ) = (π) = 0，
∈ (0, π则当 )时， ′2 ( ) > 0
π
；当 ∈ ( ′2 , π)时 ( ) < 0，
函数 ( )在(0, π2 )
π
上单调递增，在( 2 , π)上单调递减，又 (0) = (π) = 0，则 ( ) > 0；
当 ∈ [π, + ∞) 2时， ′( ) = π 1 + cos ≥ 2 1 + cos = 1 + cos ≥ 0，
函数 ( )在[π, + ∞)上单调递增， ( ) ≥ (π) = 0，
因此 ∈ ( 1, + ∞)， ( ) ≥ 0，则 2 + sin ≥ 0，
1
所以当 ≥ π时， ( ) ≤ sin + ln( + 1)成立．
2 2
18.【详解】(1) 设双曲线 的标准方程为 2 2 = 1( > 0, > 0)，右焦点 ( , 0)，

双曲线 的渐近线 ± = 0，点 到渐近线的距离 = = 1，
2+ 2
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9 2又 = 1，解得 2 2 2 = 3，
2
所以双曲线 的标准方程为 23 = 1．
2
(2)双曲线 ： 3
2 = 1 的渐近线为 ± 3 = 0，
2
由 ( 0, 0)

在双曲线 上，得 0 23 0 = 1，即
2
0 3 20 = 3，
过点 ( 0, 0)与直线 + 3 = 0 平行的直线方程为 0 + 3( 0) = 0，
0+ 3 0
3 = 0 =
由 ，解得 2 ，得交点 ( 0+ 3 0 0+ 3 0
+ 3( ) = 0 = 0+ 3 0 2
, 2 3 )，
0 0
2 3
依题意，四边形 3是平行四边形，| | = 3 | 0 + 3 0|，
| 3 |
点 到直线 3 = 0 的距离 = 0 02 ，
所以四边形 的面积 = | | = 3 | 2 3 26 0 0| =
3
2 为定值．
(3)假设存在点 ( , 0)，
由(1)知， (2,0)，由直线 不垂直于坐标轴，设直线 的方程为 = ( 2), ≠ 0，
= ( 2)
由 2 3 2 = 3消去 得(3
2 1) 2 12 2 + 3(4 2 + 1) = 0，设 ( 1, 1), ( 2, 2)，
3 2 1 ≠ 0
= 144 4 12(3 2 1)(4 2 + 1) > 0
2 3
+ = 12 > 0，解得 < 3 或 >
3
3 ，1 2 3 2 1
12 2 +31 2 = 3 2 1 > 0
由| | = | |
| | | |
，得 = ，而 = ， | | | |
| | | |
于是| | = | |，则 平分∠ ，因此直线 , 的斜率互为相反数，
1 + 2 = [( 1 2)( 2 )+( 2 2)( 1 )] = [2 1 2 (2+ )( + )+4 ]即 1 2 1 2 ( 1 )( ) ( )( )
= 0，
2 1 2
2 2
2 1 2 (2 + )( + ) + 4 = 2
12 +3
1 2 3 2 1 (2 + )
12 6 4 3
3 2 1 + 4 = 3 2 1 = 0，解得 = 2，
( 3所以在 轴上存在定点 2 , 0)，使| | = | | 恒成立．
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19.【详解】(1) 1如果不换门，则中奖的概率为3．
1 2 2
如果换门，则中奖的概率为：3 × 0 + 3 × 1 = 3．
所以换门中奖的概率大，故：应该换门．
(2) 1假设山羊门数为 ( > 2)，如果不换门，则中奖的概率为：1+ ．
1 1
如果换门，中奖的概率为：1+ × 0+ 1+ × 1 = 2 1．
1 1
因为 2 1 +1 = 2 1 > 0，
所以换门比不换门中奖概率更高．
(3) 1 1 1 1不换门中奖的概率为 ，换门中奖的概率为： × 2 = ( 2)．
要想投入 5000 元时值得的，须有：100000 × 1 ≤ 100000 ×
1
( 2) 5000．
整理得： 2 2 20 ≤ 0．
结合 ≥ 3， ∈ N，可得 3 ≤ ≤ 5．
即当 3 ≤ ≤ 5 时，参与者投入 5000 元是值得的．
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