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贵州省黔南布依族苗族自治州2025届高三第三次模拟考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足：，则复数在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.平面向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.“关于，的方程：表示圆”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.数列满足，若数列单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.在正四棱台中，，，则该正四棱台的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.如图，在圆锥中，为底面圆的直径，过的中点与平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分若，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.设函数，当时，，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量和满足：，且，若的分布列如下表，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
B. 在上有两个极值点
C. 在上单调递增
D. 关于的方程在上有个根
11.经过，两点的曲线如图所示，关于曲线，下列说法正确的是( )
A.
B. 曲线经过的整数点个数为个
C. 的取值范围均为
D. 若点在曲线上，则以为半径的圆的面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记为等差数列的前项和，若，则 ．
13.设抛物线上一点到直线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为 ．
14.有个空置车位排成一排，每个车位只能停放一辆车，现将辆不同的车停放在车位上，若辆车互不相邻与恰有辆车相邻的停车方法数相等，则 用数字作答．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数
讨论函数的单调性；
若有两个零点，求的取值范围．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，若，边的中线长为．
求角
求边的最小值．
17.本小题分
在平面四边形中，，，如图所示现将图中的沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，如图所示．

求证：；
若，二面角的大小为，求的值．
18.本小题分
已知，分别是椭圆的左、右焦点，，分别是椭圆的左、右顶点，点，在椭圆上，且不与两点重合．
当四边形为平行四边形时，请写出点，的位置关系说明理由即可，不需证明．
在的条件下，若，且．
求椭圆的方程；
若点在直线上，且，，求的面积．
19.本小题分
在这个科技飞速发展的时代，机器人和已应用到国防军事方面，在年的珠海航展上，中国“机器狗”升级成“机器狼”闪耀亮相，具备侦察、战斗和综合保障等功能，展现中国四足机器人技术进步，引发国内外关注升级后的“机器狼”相比之前的“机器狗”有一特殊之处，无论是在平地上还是台阶上，“机器狼”的行进速度都相当之快，动作灵敏为了展示“机器狼”上台阶的性能，在一个有步的台阶上，假设“机器狼”每次只能上一步或两步台阶，且每次上一步或两步台阶是随机的；记每次上一步台阶的概率为，上两步台阶的概率为；且每次上一步台阶用时，上两步台阶用时．
假设，“机器狼”上完这个台阶用时最少为多少秒
若“机器狼”走次后从地面到达第步台阶的概率为，当取最大值时，求“机器狼”从地面上到第步台阶用时最少的概率．
若，记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为，其中，证明：数列是等比数列，并求．
参考答案
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15.【详解】解：的定义域为，
因为，
若，则，则在单调递增；
若，则当时，，当时，，
则在单调递减，则单调递增；
由可知，要使有两个零点，则，
则，即，
构造，则，故在上单调递增，
又，故当时，，故由得，
当时，由，则
结合零点存在性知，在存在唯一实数，使得，
构造，，则，
故在单调递减，又，故，即，
则，故，
则，则，又，
结合零点存在性知，在存在唯一实数，使得，
综上，当有两个零点时，．

16.解：因为，
所以，
，
，
，
因为，，，
所以，又，所以．
因为边的中线长为，所以，
所以，，
即，解得，当且仅当时取等号
又，可得．
所以的最小值为．
17.【详解】

取中点，连接，
平面平面，
平面平面，
又，是中点，
，
平面，平面，
，
，，平面，
平面
．
，
，
又，，平面，
平面，
设，
建立如图所示坐标系

则，，，，
，，，，
设平面的法向量，
即
取，则，，
设平面的法向量，
即
取，则，，，
二面角的大小为，
，
化简得：解得：即，

18.【详解】因为四边形为平行四边形，，分别是椭圆的左、右顶点，
则的中点为坐标原点，又点，在椭圆上，
又因为椭圆为中心对称图形，所以点，关于原点对称；
由对称性可知，又，所以，
由椭圆的定义可知，即，所以，
设，则，
因为点在椭圆上，所以，所以，
又，所以，即，所以，
解得，
所以椭圆方程为；
如图，过点作，垂足为，直线与轴交于点，
因为，所以，又，
所以，
所以，所以，又，，，
所以，，
所以，又点在椭圆上，所以，解得，
不妨取，则，所以，
又，
所以
；
由对称性，可得，，或，，
或，，时，同理可得，
综上可得．

19.【详解】“机器狼”上完步台阶的走法有：
当时，用时；
当时，用时；
当时，用时；
所以“机器狼”上完这个台阶用时最少为秒；
依题意，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时取得最大值，
“机器狼”从地面上到第步台阶有，，，共种情况，
则“机器狼”从地面上到第步台阶用时最少的概率；
“机器狼”从地面上到第步台阶，它是由第步台阶上两步到达第步台阶，或由第步台阶上一步到达第步台阶，
记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为，
所以，
所以，
则，
又，，
所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以
，
即．

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