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海南省海口市2025届高三下学期仿真考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B.
C. D.
2.已知双曲线的离心率为，则( )
A. B. C. D.
3.已知角终边过点，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，且与的夹角为，则( )
A. B. C. D.
5.已知变量和变量的一组成对样本数据，其经验回归方程为，若，，新样本数据得到的经验回归方程依然为，则( )
A. B. C. D.
6.在中，，，的角平分线交于，，则( )
A. B. C. D.
7.函数满足，且，若，则可以取到的最大值为( )
A. B. C. D.
8.石墩是常见的维护交通秩序的道路设施．某路口放置的石墩如图，其上部是原球半径为的球缺，下部可看作是上、下底面半径分别为、的圆台，球缺的截面圆与圆台的上底面完全吻合，整个石墩的高为，则石墩的体积为( )
注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高，球缺的体积，其中为原球半径，为球缺的高．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数是奇函数且为增函数的是( )
A. B. C. D.
10.是定义在区间上的函数，其导函数的图象如图所示，则在区间内( )
A. 函数有三个极值点 B. 函数的单调增区间为
C. 函数的最大值可能为 D. 函数的最小值可能为
11.已知曲线，则下列说法正确的是( )
A. 曲线有公共点
B. 曲线关于原点对称
C. 若曲线与圆都没有公共点，则
D. 直线过点交曲线于点，且与直线垂直，垂足为，为原点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，则 ．
13.已知，则 ．
14.从集合中随机取一个数记为，使得关于的不等式在区间内有解的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列，其前项和为，，．
求数列的通项公式及前项和；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点．
证明：平面；
过点作与平面平行的直线，交于点，求与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知点为圆的动点，轴，为垂足，点满足，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线当经过圆与轴的交点时，规定点与点重合．
求曲线的方程；
为曲线上一点，且在第一象限，点，在轴上是否存在一点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
年央视春晚人形机器人展示了科技的飞速发展，随着人工智能和机器学习技术的不断升级，作为人形机器人核心部件的灵巧手在感知能力和操作精准度上大幅度提升，某公司针对代号和的两只灵巧手进行一次操作比赛，比赛结果将影响后续的研发投入．比赛流程如下：和需依次完成三个项目，分别是电路板焊接、精密设备开启和精准打螺丝，完成每个项目的得分依次为分、分、分，未完成项目得分，以三个项目的总分评定胜负，总分高者获胜．两只灵巧手分别对比赛项目进行了次赛前模拟，数据如下：
完成电路板焊接次数 完成精密设备开启次数 完成精准打螺丝次数
若视赛前模拟的频率为概率，且两只灵巧手能否完成每个项目都相互独立．
求比赛中只完成了一个项目的概率；
记在比赛中的总分为，求的分布列；
已知本次比赛获胜，求的总分不低于分的概率．
19.本小题分
已知函数．
求证：曲线在处的切线恒过定点；
判断在上最多有几个零点，并说明理由；
设数列，通项公式，前项和为，求证：当时，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
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9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为数列的前项和为，，，
所以，，即，
所以，数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，，．
因为，则且，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
故．

16.解：在直三棱柱中，，则两两垂直，如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
由，则，
，则，
又，平面，所以平面．
设，平面的一个法向量为，，
由平面，则，得，即，
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，得，
设与平面所成角为，
所以，
所以与平面所成角的正弦值为．
17.解：设点，
因为，则有，
因为点在圆上运动，所以，
化简得，
故曲线的方程为；
假设在轴上存在一点，满足条件．
设直线的程为，在第一象限，则，
代入椭圆方程中，整理得，
所以，即，
设线段中点为，则，
所以线段的中垂线方程为，
因为为等腰直角三角形，所以在线段的中垂线上，且，
令得，则，
则，
所以，
整理得：，解得或舍，
因为，所以，代入得，
所以存在点使得是以为直角顶点的等腰直角三角形．
18.解：由于进行了次赛前模拟，每个项目完成的次数均为次，
则每个项目完成的概率均为，
设完成比赛项目个数为，则，
则，
故比赛中只完成了一个项目的概率为；
记比赛中得分，则的可能取值为，
完成电路板焊接、精密设备开启和精准打螺丝的概率分别为，
所以，
所以的分布列为：
记在比赛中的总分为，的可能取值为，
所以，，
记比赛“获胜”为事件，“的总分不低于分”为事件，
则，
故已知本次比赛获胜，求的总分不低于分的概率为．
19.解：由，，
则，则，
所以曲线在处的切线方程为，
当时，，
则曲线在处的切线恒过定点．
在上最多有个零点，理由如下：
由，，，
则，
设，，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
而，，，
当，即时，，即，
此时函数在上单调递减，又，
则函数在上有个零点；
当，即时，，，
则存在，使得，
当时，，，函数单调递增，
当时，，，函数单调递减，
又，则，又，
所以函数在上也有一个零点，
所以函数在上有个零点；
当，且，即时，
存在，使得，
当时，，，函数单调递减，
当时，，，函数单调递增，
当时，，，函数单调递减，
又，，
此时函数在上可能存在个零点，
取，，，
此时函数在上有个零点．
综上所述，函数在上最多存在个零点．
证明：由知，当时，函数在上单调递减，
则，即，则，
则，
设，，则，
所以函数在上单调递减，则，
则，，
取，则，
所以，
则，
则．

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