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7.1.2　全概率公式（同步检测）
一、选择题
1.两批同种规格的产品，第一批占40%，合格品率为95%；第二批占60%，合格品率为96%．将两批产品混合，从混合产品中任取一件．则这件产品是次品的概率为 (　　)
A.95.6% B.42.4%
C.59.6% D.4.4%
2.两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为(　　)
A.0.21 B.0.06
C.0.94 D.0.95
3.设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3，0.5，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6，0.8，则甲正点到达目的地的概率为(　　)
A.0.62 B.0.64
C.0.58 D.0.68
4.袋中有a个白球和b个黑球，不放回摸球两次，问第二次摸出白球的概率为(　　)
A. B.
C. D.
5.某车间使用甲、乙、丙三台车床加工同一型号的零件，车床甲和乙加工此型号零件的优质品率分别为60%，50%，且甲和乙加工的零件数分别占总数的45%，30%．如果将三台车床加工出的零件全部混放在一起，并随机抽出一件，得到优质品的概率是0.54，则车床丙加工此型号零件的优质品率是(　　)
A.48% B.50%
C.52% D.54%
6.第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天等可能地随机选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为(　　)
A.0.75 B.0.7
C.0.56 D.0.38
7.(多选)某社区有甲、乙两队社区服务小组，其中甲队有3位男士、2位女士，乙队有2位男士、3位女士．现从甲队中随机抽取一人派往乙队，分别以事件A1和A2表示从甲队中随机抽取一人抽到的是男士和女士；以事件B表示从乙队(甲队已经抽取一人派往乙队)中随机抽取一人抽到的是男士，则(　　)
A.P(A1A2)＝0 B.P(B|A1)＝
C.P(B)＝ D.P(A2|B)＝
二、填空题
8.天津高考实行“六选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学校分别有75%，60%，60%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为2∶1∶1，现从这三所学校中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为________
9.甲袋中有3个白球，2个黑球，乙袋中有4个白球，4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为________
10.近年来，我国外卖业发展迅猛，某外卖小哥每天来往于4个外卖店(外卖店的编号分别为1，2，3，4)，约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能地前往其余3个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3个外卖店取单，设事件Ak＝{第k次取单恰好是从1号店取单}，P(Ak)是事件Ak发生的概率，显然P(A1)＝1，P(A2)＝0，则P(An)＝________
11.有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球，1个红球，乙袋中有2个红球，1个白球．这6个球手感上不可区别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，此球是红球的概率为________．若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率为________
三、解答题
12.设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为，，.现从这三个地区任选一个地区抽取一个人.
(1)求此人感染此病的概率；
(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．
13.袋子中有5 个大小和质地相同的小球，其中3 个白球，2 个黑球．从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出一个小球．
（1）求第一次摸到白球的概率；（2）求第二次摸到白球的概率；
（3）求两次摸到的小球颜色不同的概率．
14.甲、乙、丙三人同时对飞盘进行射击， 三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞盘被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中， 飞盘必定被击落， 求飞盘被击落的概率．
15.10个乒乓球有7个新球3个旧球．第一次比赛时随机取出2个，用过后放回．现在第二次比赛又取出2个，第二次取到几个新球的概率最大？
参考答案及解析：
一、选择题
1.D 解析：40%×(1－95%)＋60%×(1－96%)＝4.4%．
2.D 3.C
4.A　解析：分别记A，B为第一次、第二次摸到白球，由全概率公式，
P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝·＋·＝．
5.A　解析：设车床丙加工此型号零件的优质品率为x，则0.54＝60%×45%＋50%×30%＋x·(1－45%－30%)，解得x＝48%．故选A．
6.A　解析：设A1＝“第1天去A餐厅用餐”，B1＝“第1天去B餐厅用餐”，A2＝“第2天去A餐厅用餐”，则Ω＝A1∪B1，且A1与B1互斥，根据题意得P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.7，P(A2|B1)＝0.8，则P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.7＋0.5×0.8＝0.75．故选A．
7.ABC　解析：对于A，依题意，事件A1，事件A2不能同时发生，∴P(A1A2)＝0，故A正确；对于B，P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝＝，故B正确；对于C，P(B|A2)＝＝，∴P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝，故C正确；对于D，P(A2|B)＝＝＝，故D错误．故选ABC．
二、填空题
8.答案：　
解析：由全概率公式可知，所求概率p＝75%×＋60%×＋60%×＝＋＝．
9.答案：
解析：设A＝“从乙袋中取出的是白球”，Bi＝“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”，i＝0，1，2，则Ω＝B1∪B2∪B0，且B1，B2，B0两两互斥，由全概率公式，得P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝×＋×＋×＝.
10.答案：＋×　
解析：由全概率公式可得P(An)＝P(An|An－1)·P(An－1)＋P(An|n－1)P(n－1)＝0＋(1－P(An－1))＝－An－1＋，所以P(An)－＝－．又因为P(A1)－＝1－＝，所以数列是首项为，公比为－的等比数列，所以P(An)－＝×，则P(An)＝＋×.
11.答案：，　
解析：设A1＝从甲袋放入乙袋的是白球；A2＝从甲袋放入乙袋的是红球；B＝从乙袋中任取一球是红球；
P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＝×＋×＝，P(A1|B)＝＝＝．
三、解答题
12.解：(1)设Ai＝“此人来自第i个地区”，i＝1，2，3(分别对应甲、乙、丙三个地区)，B＝“感染此病”，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，
∴P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，
∴P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝.
由全概率公式，得P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝×＋×＋×＝.
(2)此人感染此病，则此人来自乙地区的概率P(A2|B)＝＝.
13.解：（1）设第一次摸到白球的事件为A，则P(A)＝，即第一次摸到白球的概率为.
（2）设第二次摸到白球的事件为B，则
P(B)＝P(BA＋B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝，
即第二次摸到白球的概率为.
（3）设两次摸到的小球颜色不同的事件为C，则C＝A＋B，
P(C)＝P(A＋B)＝P(A)P(|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝，
即两次摸到的小球颜色不同的概率为.
14.解：设B＝“飞盘被击落”，Ai＝“飞盘被i人击中”，i＝1，2，3，则B＝A1B＋A2B＋A3B，
依题意，得P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1.
由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)，
设Hi＝“飞盘被第i人击中”，i＝1，2，3，
则P(A1)＝P(H123＋1H23＋12H3)，
P(A2)＝P(H1H23＋H12H3＋1H2H3)，
P(A3)＝P(H1H2H3)，
又P(H1)＝0.4，P(H2)＝0.5，P(H3)＝0.7，
所以P(A1)＝0.36，P(A2)＝0.41，P(A3)＝0.14，
则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458.
故飞盘被击落的概率为0.458.
15.解：设Ai为第一次取到i个新球，i＝0，1，2，Bj为第二次取到j个新球，j＝0，1，2，
P(Ai)＝，i＝0，1，2，P(Bj|Ai)＝，i，j＝0，1，2，
具体计算得P(A0)＝，P(A1)＝，P(A2)＝，
P(B0|A0)＝，P(B0|A1)＝，P(B0|A2)＝，P(B1|A0)＝，P(B1|A1)＝，P(B1|A2)＝，
P(B2|A0)＝，P(B2|A1)＝，P(B2|A2)＝，
由全概率公式，
P(B0)＝×＋×＋×≈0.17，P(B1)＝×＋×＋×≈0.54，
P(B2)＝×＋×＋×≈0.29，
所以第二次取到一个新球的概率最大．

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