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例谈离数型随机变量概率分布与数学期望
从2008年全国各省市高考数学试题中，概率统计考题，可谓“军书十二卷，卷卷有爷名”，显然它是高考的必考内容，特别是离散型随机变量概率分布与数学期望内容的考题分布极为广泛，确实是一个重要考点，但纵观其解法，可以归纳为定义法、公式法、分析法与变量推理法四种，2009年考生务必对上述四种解题方法引起高度重视，本文就其命题特点，解题规律作专题阐述，以飨读者。
一、定义法求解概率分布与数学期望
定义法即根据随机事件的概率、随机变量、概率分布、数学期望的定义求解概率分布与数学期望的方法。
可使用本法解题的考题，一般以古典离散型概率为特征，它可直接利用排列组合的加法原理与乘法原理写出离散型随机变量概率的计算式，进而求得随机变量各值条件下的概率分布与数学期望。此类题型解题思路明确，利用定义法求解，其方法容易掌握。
例1，（08浙江理）一个袋中装有若干个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．
（1）若袋中共有10个球，（1）若袋中共有10个球，（ⅰ）求白球的个数；（ⅱ）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的数学期望．
（2）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．
分析：本题是以古典概率为题材的高考题，由于从袋中摸球是有回放地摸球，且每次摸球都是互相独立的，系互不影响事件，所发生的概率是等可能的。故可根据概率定义，利用排列组合计算方法求解随机变量各值的概率。
解：袋中共有10个球，且至少得到1个球的概率为，设其中有X个白球，我们将至少得到一个白球的事件为A，则P（A）=，又∵P（A）=，∴，化简后解之得x=5或14（舍去），∴袋中有5个白球。
（2）记从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为的事件为B，则P（Bi）=P(=i) i =0,1,2,3
则P（=o）=，P（=1）=，
P（=2）=，P（=3）=
∴的分布列为：
0
1
2
3
P
数学期望E=O×+1×+2×+3×=
（3）记从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的事件为C，且其中有n个球y个黑色球。
∴由变形得P（c）=
由,
设袋中有个球，其中个黑球，个白球，个红球，由题意得，从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．则，即，化简得（视为已知）解之得
∵是数，则必为5的倍数；取=55，则=22；
∵，又，取，则∴∴∵∴∵∴
所以，，故．
记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，则
．
所以白球的个数比黑球多，白球个数多于，红球的个数少于．
故袋中红球个数最少．
二、公式法求随机变量的概率分布与数学期望
公式法即根据随机事件概率发生的等可能性、互斥性、独立性、对立性等计算公式求随机变量的概率分布与数学期望的方法。
可使用本法求解的离散型随机变量的概率分布与数学期望的高考题，通常会把可能发生的随机事件的基本事件的概率作为已知，考生可用随机事件的可能事件概率公式（），互斥事件公式（），独立事件概率公式（）与对立事件概率公式（）进行计算。
例2：（08湖南理）（湖南理）（16）（本小题满分12分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：
（1）至少有1人面试合格的概率;
（2）签约人数的分布列和数学期望.
分析：本题中每人面试合的概率都是，是本题的基本事件，因为每个人的面试合格事件是相互独立互不影响的，所以可用公式法计算随机事件的概率。若每个人面视合格事件记为A，则其不合格事件为A的对立事件，记为，合格事件概率记为P（A），对立的事件是面试不合格事件的概率是。
解 面试互不影响，甲乙丙三人面试合格事件分别记为A、B、C其不合格事件记为、、，（与合格对立）用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝.
（1）至少有1人面试合格的概率是
（2）三人参加面试合格与不合格都是等可能的所以，的可能取值为0，1，2，3.

＝
＝

=
=


所以， 的分布列是
0
1
2
3
P
的期望
三、分析法求离散型随机变量的概率分布
分析法即根据离散型随机变量在实际生产生活中的作用与地位，并对其进行综合分析选取随机变量值，进而求得离散型随机变量的概率分布的方法。
可本法求解的离散型概率分布与数学期望的高考题，通常与现实生活紧密相关，具有很强的综合性，需要考生在认真分析题意的基顾上对随机变量的选取与各随机变量的概率进行综合分析，是目前高考命题中较难理解的综合性题型，解这类问题时，考生通常应注意完成问题解答的分类与分步，同时还要注意前后联系，准确分析各变量条件下的概率值。
例3、（江西理）18．（本小题满分12分）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第一年与第二年相互独立，令表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．
（1）写出ξ1、ξ2的分布列；
（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大?
（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大?
分析：由于本题的两种方案均系通过两步完成的，且第二年的恢复还都分两年
所以总倍数与总概率均需按分步的乘法原理与分类的加法原理求得。即第
一步是第一年恢复的倍数（）与概率（），第二步是第二年恢复的倍数（）
与概率（），则两年恢复的总倍数（）与概率（），于是得到如下解答过程：
解：（1）方案1
第一年
(第一步)
第二年(第二步)
第一类
第二类
倍数
概率
倍数
概率
倍数
概率
1
0.8
0.4
2
0.9
0.3
3
1.0
0.3
ξ1的分布列为
ξ1
0.8
0.9
1
1.125
1.25
P1
0.2
0.15
0.35
0.15
0.15
（1）方案2
第一年
(第一步)
第二年(第二步)
第一类
第二类
倍数
概率
倍数
概率
倍数
概率
1
0.8
0.5
2
1.0
0.3
3
1.2
0.2
ξ2的分布列为
ξ2
0.8
0.96
1
1.2
1.44
P2
0.3
0.2
0.18
0.24
0.08
（2）由（1）可得P1＞1的概率P（P1＞1）= 0.15 + 0.15 = 0.3，
P2＞1的概率P（P2＞1）= 0.24 + 0.08 = 0.32，
可见，P（P2＞1）＞P（P1＞1）
∴实施方案2，两年后产量超过灾前概率更大。
（3）设实施方案1、2的平均利润分别为利润1、利润2，根据题意
利润1 = （0.2 +0.15）×10 + 0.35×15 + （0.15 + 0.15）×20
= 14.75（万元）
利润2 = （0.3 + 0.2）×10 + 0.18×15 + （0.24 + 0.08）×20
= 14.1（万元）
∴利润1＞利润2，
∴实施方案1平均利润更大。
四、变量推理法解离散型随机变量的概率分布问题
变量推理法即根据随机变量之间的关系等式推理离散型随机变量的概率分布问题的方法。
可本法求解的离散型概率分布与数学期望的高考题，通常有两种形式，
一是题目能直接或间接地已知某离散型随机变量的概率分布或数学期望的高考题（如例题4），考生可根据已知的随机变量分布列或数学期望，利用变量之间的关系式推理出另一随机变量量的分布列与数学期望，进而求得其方差，再用方差灵活地建立函数关系，综合条件求解并回答题目问题。
二是根据题目条件先求出该随机变量概率分布与数学期望，然后根据所求得的随机变量的分布列与数学期望，进而求得方差，再灵活地建立函数关系，利用函数性质求解（如例题3的2、3小题），也是综合性较大的考题，考生应引起足够的重视。
例4．（海南宁夏理）（19）．（本小题满分12分）两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2．根据市场分析，X1和X2的分布列分别为
 X1
5％
10％
P
0.8
0.2
（1）在两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1，DY2；
（2）将万元投资A项目，万元投资B项目，表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求的最小值，并指出x为何值时，取到最小值．（注：）
分析：本题所已知的利润率随机变量Ｘ１与Ｘ２分布列，实际上是已知利润Ｙ１和Ｙ２为随机变量概率的分布列，因为在两个项目上各投资100万元后，由于利润＝成本利润率，所以，从而可求利润随机变量Ｙ１和Ｙ２的方差。
解：（1）由题设可知和的分布列分别为
Y1
5
10
P
0.8
0.2
，
，
，
．
（2）
，
当时，为最小值．

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