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陕西省西安市第三十中学2025年普通高中学业水平合格性考试
数学模拟试卷(四)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知，且为第三象限角，则( )
A. B. C. D.
4.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.某厂质检员利用随机数表对生产的个产品进行抽样调查，先将这个产品进行编号：，，，，从中抽取个样本，下图是随机数表的第行到第行，若从随机数表的第行第列开始从左向右读取数据，则得到的第个编号是( )


A. B. C. D.
6.棱长分别为，，的长方体外接球的表面积为，则( )
A. B. C. D.
7.函数的零点所在区间为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知向量，，满足，，，则( )
A.
B. 当时，
C. 当时，
D. 在上的投影向量的坐标为
11.民营经济是推进中国式现代化的生力军为了更好地支持民营企业的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免某机构调查了当地的中小型民营企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是( )
A. 样本数据落在区间内的频率为
B. 若规定年收入在万元以内的民营企业才能享受减免税政策，估计有的当地中小型民营企业能享受到减免税政策
C. 若该调查机构调查了家民营企业，则年收入不少于万元的有家
D. 根据频率分布直方图估计样本的中位数为万元
12.已知函数，且，则下列式子可能成立的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.计算： ．
14.已知事件和独立，，则 ．
15.若命题：“”为假命题，则实数的取值范围为 ．
16.已知函数是上的奇函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则的值为 ．
四、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设锐角的内角，，的对边分别为，，，．
求角的大小；
若，，求．
18.本小题分
如图，在三棱锥中，，，平面，为垂足，为的中点．
证明：平面
若，，求二面角的正弦值．
19.本小题分
已知函数且．
当时，
若，求的值；
当时，用定义证明函数是上的减函数；
若为偶函数，且，求的取值范围．
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：，
由正弦定理可得，则，
又在中，，，
又为锐角三角形，．
在中，，，
由知，，
所以由余弦定理，，
则．

18.解：证明：连接，因为，为的中点，所以；
又因为平面，平面，所以；
又因为，平面，，所以平面，
又平面，所以；
因为，且，均在平面内，所以；
因为平面，平面，所以平面；
如图，过点作于点，连接，
因为平面，平面，
所以，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，所以为二面角的平面角，
因为，，所以，，
所以，所以，
所以二面角的正弦值为

19.解：当时，，
若，则，解得．
当时，，
任取，且，令，
则，
因为是单调递增函数，所以，则，
即，即，
又是上的增函数，则，
，
，
所以是上的减函数．
若为偶函数，则，
即，
所以，即，
，则，
因为在上单调递增，且，
所以由，得，
所以的取值范围为．

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