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上海市金山区2025届高三下学期二模数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则下列结论不恒成立的是( )
A. B.
C. D.
2.某人统计了甲、乙两家零售商店在周一到周五的营业额单位：百元情况，得到了如下的茎叶图其中茎表示十位数，叶表示个位数，关于这天的营业额情况，下列结论正确的是( )
A. 甲、乙两家商店营业额的极差相同
B. 甲、乙两家商店营业额的中位数相同
C. 从营业额超过元的天数所占比例来看，甲商店较高
D. 甲商店营业额的方差小于乙商店营业额的方差
3.已知定义在上的函数，满足以下两个条件：对任意恒成立，且；对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为( )；；函数有最小值．
A. B. C. D.
4.已知点在圆上，点在圆上，且为坐标原点对于以下两个命题，判断正确的是( )
在坐标平面内存在点，使得恒成立；
三角形面积的最小值为．
A. 是真命题，是真命题 B. 是假命题，是真命题
C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是假命题
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.已知集合，则 ．
6.已知复数满足为虚数单位，则 ．
7.已知向量，若，则实数 ．
8.若为第二象限角，且，则 ．
9.在展开式中的系数为，则实数的值为 ．
10.若直线是曲线在处的切线，则的斜率为 ．
11.已知圆锥底面半径为，高为，则过圆锥母线的截面面积的最大值为 ．
12.已知是等差数列，若分别是函数的两个零点，则 ．
13.投篮测试中，每人投次，至少投中次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ．
14.已知函数的图象是折线段，且，则函数的图象与轴围成的图形面积为 ．
15.如图，现对某景区一长，宽的矩形空地进行建设规划在边上分别取点修建人行步道不考虑宽度，且满足点关于步道的对称点在边上在内种植花卉，在内搭建娱乐设施，其余区域规划为露营区，则人行步道的最短距离为 结果精确到
16.设均是正整数，且，则的值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
求的值；
若，求函数的值域．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，．
证明：平面平面；
若，求点到平面的距离．
19.本小题分
为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下：
数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计
每天都整理数学错题人数
不是每天都整理数学错题人数
合计
完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率；
是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？
附：；
从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布和期望．
20.本小题分
已知椭圆，左右焦点分别为，上下顶点分别为，左右顶点分别为，是上异于椭圆顶点的两点．
求的周长；
若点在第一象限且满足的面积比的面积大，求点的横坐标的取值范围；
记点在直线上的投影为，且直线的斜率是直线的斜率的倍，试判断：过点为坐标原点三点的圆是否为定圆？若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由．
21.本小题分
若函数和同时满足下列条件：对任意，都有成立；存在，使得，则称函数为的“函数”，其中称为“点”．
已知图像为一条直线的函数是的“函数”，请求出所有的“点”；
设函数为的“函数”，其“点”组成集合；函数为的“函数”，其“点”组成集合试证明：“函数为的函数”的一个充分必要条件是“”；
记为自然对数的底数，，若为的“函数”，且“点”，求实数的最大值．
参考答案
1.
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10.
11.
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13.
14.
15.
16.
17.因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
所以；
，
令，问题等价于求的值域，
函数图象开口向上，对称轴为直线，
，
函数的值域为．
18.因为平面，平面，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
因为平面，平面，
所以，
在中，，则，
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
故，
设平面的法向量为，
则有，令，则，所以，
所以点到平面的距离为．

19.完善列联表，如下：
数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计
每天都整理数学错题人数
不是每天都整理数学错题人数
合计
每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率为．
由得，
所以有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”．
不是每天都整理数学错题的学生有人，其中数学成绩总评优秀人数为，
的所有可能值为，，，，
，
，
所以的分布列为：
期望．
20.由椭圆，
得，所以，
所以的周长为；
设，
由，得，
所以，即，
又因为，所以，
解得，
即点的横坐标的取值范围为；
，
设直线的方程为，直线的方程为，
联立，消得，
则，所以，所以，
故，
联立，消得，
则，所以，所以，
故，
当，即时，
，
则直线的方程为，
即，过定点，
当，即时，
此时，直线过定点，
设，因为，
所以过点为坐标原点三点的圆即为过点为坐标原点三点的圆，
因为过原点，点，点，
所以过点为坐标原点三点的圆是定圆．
21.取，，
此时，，
故函数是的“函数”，“点”为；
为的“函数”，其“点”组成集合，
故，设，
函数为的“函数”，其“点”组成集合，
故，设，
显然对任意，成立，成立，
充分性，若，
不妨设，此时，成立，
故成立，所以函数为的函数，充分性成立；
必要性，若函数为的函数，
则存在，使得，
由于对任意，成立，故，
故，所以，充分性成立；
故“函数为的函数”的一个充分必要条件是“”；
定义域为，
，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且当时，恒成立，
又，取，，
满足且，
为的“函数”，此时，
当时，取，
故当为在处的切线方程时，才满足要求，
，故切线方程为，
令得，
由于，设，，
所以在上恒成立，
故在上单调递增，
所以，
当时，结合图象，可知单调递减且下凸，
对任意的，无法做到恒成立，
综上，实数的最大值为．

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