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图形的翻折问题专题提升训练--2025年中考数学提分必刷训练
1．如图，在中，，，点是边上一点，将沿翻折后得到．
(1)如图1，若点落在上，则_____；
(2)如图2，当点落在的下方时，设与相交于点．若，试说明；
(3)若点在边上，将沿直线翻折得到，使射线与射线相交于点，若是轴对称图形，直接写出的度数．
2．菱形中，，点E是内部一点，连接，将线段绕点D逆时针旋转，得线段．
(1)如图1，若三点共线，平分，．求的长；
(2)如图2，三点共线，取的中点M，连接并延长交的延长线于点N，若，猜想线段应满足的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，点H为直线上一动点，连接，将沿直线翻折得到，连接，，若，，当的长度为最小时，请直接写出的最小值．
3．如图1，在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边上分别有两点，连接，点是正方形纸片上一点，过点翻折纸片，使点落在直线上的点处，折痕交于点．
(1)①___________；
②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是__________：
(2)在图1的基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点折出并画出与平行的折痕（折痕左端点记为点，右端点记为点），请简要阐述折叠方法并说明理由；
(3)将图2的纸片展平得到图3，点是线段上一动点（不与点重合），若，，请直接写出的度数．（用、的代数式表示）
4．如图，平行四边形中，点为的中点，连接．
(1)如图1，连接交于点，求的值；
(2)如图2，点在上，连接．若，，，，求的长；
(3)如图3，将沿翻折，得到，连接、，若，，，则的值为________________．
5．如图1，四边形的对角线，相交于点O，．
(1)在图1中，过点A作交于点E，求证：；
(2)如图2，将沿AB翻折得到．
①求证：；
②若，，求的长．
6．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点分别为点，，，，点从点出发沿轴正方向以每秒1个单位移动，运动了秒，连接并延长交轴于点；将沿直线翻折到，延长与轴交于点．
(1)求证：；
(2)当时，求的长；
(3)当时，求点的坐标（用含的式子表示）
7．已知为等边三角形，是边上一点，连接，点为上一点，连．
(1)如图1，延长交于点，若，，求的长；
(2)如图2，将绕点顺时针旋转到，延长至点，使得，连接交于点，求证；
(3)如图3，，点是上一点，且，连接，点是上一点，，连接，，将沿翻折到，连接，当的周长最小时，直接写出的面积．
8．已知长方形纸片，E为线段上一点，射线交线段于点F，将三角形沿翻折，点A落在点M处；射线交边于点G，将三角形沿翻折，点B落在N处．
(1)点E，M，N共线时，如图1，求的度数；
(2)点E，M，N不共线时，如图2，若设，，请写出图2中，满足的数量关系式．并说明理由；
(3)如图3，设运动时间为t秒，若射线从绕点E以每秒顺时针旋转，当时，点F与D重合，射线停止旋转，若射线从绕点E以每秒逆时针旋转，当时，点G与C重合，射线停止旋转；两条射线同时开始旋转，当t为多少时，？
9．已知是等边三角形，点是外一点，连接，，．
(1)如图1，点在的左上方，点是上一点，连接，满足，延长交于点，若，求的度数；
(2)如图2，在（1）的条件下，过点作的垂线交于点，求证：；
(3)如图3，点在的左侧时，，，点为直线上一动点（点与点不重合），连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，点为点的对应点，当以点、点、点为顶点构成等腰三角形时，请直接写出此时的值．
10．如图1，四边形是平行四边形，延长至点，使得，连接和．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，将沿直线翻拆点刚好落在线段的中点处，延长与的延长线相交于点，并且和交于点，试求线段、、之间的数量关系；
(3)如图3，将沿直线翻折，点刚好落在线段上的点处，若，，且，求的面积．
11．在中，，，点D为边上一动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转得到，连接．
(1)如图1，，点D恰好为中点，与交于点G，若，求的长度；
(2)如图2，与交于点F，连接，在延长线上有一点P，，求证：；
(3)如图3，与交于点F，且平分，点M为线段上一点，点N为线段上一点，连接，，点K为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在M，N运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值．
12．在矩形中，，点分别是边和边上的动点，，，连接，
(1)如图1，当的面积为3时，求的值；
(2)在（1）的条件下，求的面积；
(3)当时，求的度数；
(4)如图2，将沿直线翻折，当点的对称点恰好落在边上时，求的值.
13．综合与探究
在正方形中，，点是边上的动点，连接．
(1)【探索发现】如图1，过点作，求证：；
(2)【类比探究】如图2，过点作于点，连接，当时，的面积等于_____；
(3)【拓展延伸】如图3，过点作于点，连接，将沿翻折得到，交于点，求线段的最小值．
14．如图，长方形中，，，点是射线上一点，连接．将沿翻折至的位置，使点落在处．
(1)若在边上，如图，当点落在边上时，________；
(2)在（）的条件下，求的长；
(3)若在延长线上，利用图探索当为直角三角形时的长，并直接写出结果________．
15．如图，在矩形中，，，点E为边上一定点，且，点F、P分别是、边上的一点，且，将沿直线翻折得到，点E的对应点为，线段与相交于点Q，设，．
(1)当点与点A重合时，求的长；
(2)求的值；
(3)求y与x的函数关系式．
16．在等边中，点D在直线上，连接，过点B作于点H．
(1)如图1，点D在的延长线上，，，求的长度；
(2)如图2，点D在边上，点E在边上，且，与交于点F，若点F恰是的中点，请用等式表示与的数量关系，并证明；
(3)如图3，点D在边上，过点H作．连接、，将沿翻折至，连接，，请直接写出当取得最大值时的值．
17．已知为等腰三角形，，点是边上一点，连接，将沿所在直线翻折，点的对应点为．
(1)如图，当时，求证：四边形为菱形；
(2)连接，直线与直线交于点．
①如图，在（）的条件下，求证：；
②如图，猜想，与之间的数量关系，并加以证明（用含的式子表示）；
③如图，若，当所在直线与所在直线垂直时，请直接写出的值 ．
18．如图，在矩形中，E为射线上一动点，连接．将沿翻折，使点B落在点F处，交于点G．
(1)如图①，当点E在边上，点F在边上时，若，求的值；
(2)如图②，当点E在边上，点F在边上时，若，且时，求的长；
(3)如图③，当点E在线段的延长线上，将沿翻折后，恰好经过点D，当时，求的长．
19．正方形边长为2，点E在边上．将沿翻折至，延长交于点G，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)当点E是中点时．
①如图2，求的值；
②如图3，连接，取中点O，连接并延长交于点M．求的值．
20．在矩形中，，，将其绕点A逆时针旋转得到矩形．
(1)如图1，若点E在上，连接，，交于点O．
①求证：平分．
②求的长．
(2)如图2，若点A，E，C在同一条直线上，直线交于点P，将沿翻折得到，连接，求的长．
(3)如图3，若射线交于点P，将沿，翻折得到，连接，当点P，H，B在同一条直线上时，设与交于点M，直接写出的长．
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参考答案
1．(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，轴对称图形的定义和性质，三角形外角的性质，熟知折叠的性质和轴对称图形的性质是解题的关键．
（1）先求出的度数，再由折叠的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质即可求出答案；
（2）只需要证明即可证明结论；
（3）一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形一定是等腰三角形，据此可知中有两边相等，据此结合折叠的性质讨论求解即可．
【详解】（1）解；∵在中，，，
∴，
由折叠的性质可得，
∴；
（2）证明：同理可得，
∵，即，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由折叠的性质可得，
如图所示，当时，是轴对称图形，
∴由轴对称图形的性质可得，
∵，，
∴，
∴；
如图所示，当时，是轴对称图形，
∴，
∴，
同理可得，
∴，即此种情况不存在；
同理可得时，也不符合题意；
如图所示，当时，是轴对称图形，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或．
2．(1)
(2)；理由见解析
(3)
【分析】（1）由菱形的性质可证，和是等边三角形，即可得出，，根据平分，可得，由旋转的性质可得，，即是等边三角形，，再根据三角函数可得．
（2）作，交于G，根据平行线的性质和是的中点，可证，，，由和是等边三角形，可得，，，进而可得，，，，根据角的和差可得，判定，再根据平行线的性质和等角对等边可得，即可得．
（3）由和是等边三角形，可得，，
再结合四边形是菱形，可得，点在上，故当时，最小，根据等腰三角形的性质可得，，取的中点O，连接，作于G，根据三角函数可得，，，再用勾股定理可得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，即，从而可得当点E在上时，．
【详解】（1）解：∵四边形是菱形，
，，
和是等边三角形，
，，
平分，
，
线段绕点D逆时针旋转，得线段，
，，
是等边三角形，
∴，
又，
，
即．
（2）解：，
理由如下：作，交于G，如图1，
∵，
，，
是的中点，
，
∴，
，，
由知，和是等边三角形，
，，，
，，
，
∴，
，，，
，
，
，
∴
，
，
，
，
，
．
（3）解：由知，和是等边三角形，
，
，
由折叠知，，，
四边形是菱形，
，
，
，
点在上，
当时，最小，
又∵，
，
，
取的中点O，连接，作于G，如图2，
又∵，，
，，
，
，
，
，
，
当点E在上时，．
【点睛】本题主要考查了三角函数，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，等边三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，旋转的性质，等腰三角形的性质，菱形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
3．(1)①；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
(2)折叠方法：过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为，理由见解析
(3)或．
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质和判定，三角形内角和定理应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，注意分类讨论．
（1）①根据折叠的性质得出，根据，求出，即可得出结论；
②根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进行解答即可；
（2）过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为，根据平行线的判定进行证明即可；
（3）分两种情况进行讨论：当点S在线段上时，当点S在线段上时，分别画出图形，进行求解即可．
【详解】（1）解：①根据折叠可知：，
∵，
∴，
∴；
②除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（2）解：折叠方法：过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为；如图所示：

理由：根据解析（1）可得：，
∵，
∴，
∴；
（3）解：当点S在线段上时，如图所示：

∵正方形纸片中，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴
，
∴
；
当点S在线段上时，如图所示：

∵正方形纸片中，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
；
综上分析可得：或．
4．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意得到，可证明 ，得到，即可得到答案；
（2）在上截取，连接，得到是等边三角形，可证明，得到，即可得到答案；
（3）连接，交于点，延长，交于点，证明四边形是平行四边形，利用勾股定理和解直角三角形的相关知识求解即可．
【详解】（1）解：∵在平行四边形中，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，在上截取，连接，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，连接，交于点，延长，交于点，
关于直线对称，
是的垂直平分线，
，
，
是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
设，
，，
，
，
作于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
或（舍去），
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，折叠的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
5．(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解；
（2）①过点A作交于E，交于F，由题意易得，，则有，然后问题可求证；
②由题意易得四边形是平行四边形，则有，然后可得，进而可得，，最后根据方程进行求解即可．
【详解】（1）证明：如图1，
，
，
，
，
，
，
；
（2）①证明：过点A作交于E，交于F，如图2，
由（1）知，．
，
是翻折得到的，
，
，
，
，
；
②解：，，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，
又，
，
，即，
，
，即，
，
，，
，，
，
解得（负值舍去）．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质与判定、平行线的性质及判定及折叠的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质与判定、平行线的性质及判定及折叠的性质是解题的关键．
6．(1)见解析
(2)或
(3)
【分析】（1）根据题意，易得轴，得到，折叠得到，进而得到，即可得证；
（2）分点在轴负半轴和正半轴两种情况，进行讨论求解即可；
（3）连接交于点，过点作，根据折叠的性质，得到垂直平分，等积法求出的长，进而求出的长，再利用等积法求出的长，勾股定理求出的长，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵，，
∴轴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴；
∴；
（2）∵，，，，
∴轴，，，
①当点在轴负半轴上时，如图，
由（1）知：，
∴设，则：，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
∴；
②当点在轴正半轴上时，如图：
设，则：，
∴，
在中，由勾股定理定理，得：，
解得：，
∴；
综上：或；
（3）连接交于点，过点作，
∵折叠，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴轴，
由题意，得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查坐标与图形，勾股定理，折叠的性质，等角对等边，等积法求线段的长等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
7．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）如图1，过点F作于点P，利用等腰直角三角形的性质求得，再解直角三角形求解即可；
（2）如图2，延长到I，使，连接，过点H作，交于点M，先后证明，，，，利用三角形全等的性质和线段的和差求解即可；
(3) 过点D，H分别作的垂线，分别交于点F，交于点G，作，交于点E，证明可得，，再证明，可得，设，则，可得，得到当的周长最小值时，的值最小，据此求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点F作于点P，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）如图2，延长到I，使，连接，过点H作，交于点M，
为等边三角形，
，，
由旋转的性质得，，，，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
，
同理，
，
；
（3）如图3，过点D，H分别作的垂线，分别交于点F，交于点G，作，交于点E，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
，
的周长最小值时，的值最小，
当时，的值最小，此时，
即点K，点G重合，如图4，
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了解直角三角形，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，求二次函数的最值等知识，做出合理的辅助线，学会利用参数构建二次函数解决问题是解题的关键．
8．(1)
(2)，理由见解析
(3)10或
【分析】本题考查了折叠的性质、角的和差、一元一次方程的应用，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
（1）先根据折叠的性质可得，，再根据求解即可得；
（2）结论是，理由：先根据折叠的性质可得，，从而可得，再根据求解即可得；
（3）根据折叠的性质可得，，分两种情况：①与相遇前，②与相遇后，根据平角的定义建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：由折叠的性质得：，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
由折叠的性质得：，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：由题意可知，，，
由折叠的性质得：，，
①与相遇前，
则，
即，
解得；
②与相遇后，
则，
即，
解得，
∴在与相遇后，当时，射线已停止旋转，
∴此时，
∴，
解得，
综上，当为10或时，．
9．(1)
(2)证明见解析
(3)和
【分析】（1）由等边三角形的性质得到，由等边对等角，三角形外角的性质得到，由即可求解；
（2）如图所示，过点作，交延长线于点，则，可得，，，证明，得到，再证，得到，，由此即可求解；
（3）根据题意，分类讨论：第一种情况，如图所示，，是等边三角形即为等腰三角形，分别求出的值即可；第二种情况，如图所示，，是等腰三角形，过点作于点，则点是中点，数形结合分析即可；由含角的直角三角形，折叠的性质，勾股定理，等边三角形的性质，解直角三角形的计算综合运用，数形结合分析即可求解．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，过点作，交延长线于点，则，
由（1）可得，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵是等边三角形，
∴，
设，
∵，，
∴，，
第一种情况，如图所示，，是等边三角形即为等腰三角形，
∴，，
∴点三点共线，
∴，，
∴，
∴，，
∵将沿所在直线翻折至所在平面内得到，点为点的对应点，
∴，
过点作延长线于点，过点作于点，则，
∴，
∴，
∴，
∴点三点共线，
在中，，
∴，，
∴，，
在中，，
∴，
设，
∴，
在中，，
∴，
∴，，
解得，，
∴，
∴；
第二种情况，如图所示，，是等腰三角形，过点作于点，则点是中点，
∵是等边三角形，
∴，即点三点共线，点与点重合，
∴，
在中，，，
∵将沿所在直线翻折至所在平面内得到，点为点的对应点，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，和．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，三角形内角和，外角和定理，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，折叠的性质，解直角三角形的性质等知识的综合运用，掌握等边三角形的性质，折叠的性质，解直角三角形的计算是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据平行四边形性质可得，进而得到，再根据四边形是平行四边形，和翻折性质可得，即可求解
（3）根据平行四边形的性质证明，可得，过点D作，可求，根据，可得，根据条件证明，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵延长至点，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
由翻折性质可得： ，
由（1）得：四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
（3）解：∵四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点D作，如图，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，
由翻折性质可得：，
∴，
由（2）可得：，
∵，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了几何问题，涉及到平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，灵活运用所学知识是关键．
11．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求的长，由旋转的性质可得，，即可求解；
（2）由“”可证，可得，，由“”可得，可得，可得结论；
（3）先证明当点M，点，点D三点共线，且时，有最小值，再证明点Q，点B，点D三点共线，由等腰直角三角形和折叠的性质可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵点D为中点，
∴，
∴，
∵将绕着D点逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴；
（2）证明：如图2，过点D作交于点H，
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵将绕着D点逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图3，在上截取，连接，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当点M，点，点D三点共线，且时，有最小值，
如图4，
∵，，
∴，
由折叠的性质得，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴点B，点Q，点D三点共线，
由折叠的性质得，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
12．(1)
(2)8
(3)
(4)
【分析】（1）根据三角形的面积公式代入即可求得答案；
（2）由（1）可得：，再根据，分别代入即可得到答案；
（3）当时，分别求出，，的长，再分别利用勾股定理分别求出，，的长，再由勾股定理的逆定理即可得到答案；
（4）过点作，易证得，从而可求得，在中，由勾股定理可得：，即可求得求值．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
（2）解：由（1）可得：，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
．
（3）解：由题可得，当时，
∴，，
∵，
∴，，
在中，由勾股定理可得：，
在中，由勾股定理可得：，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴．
（4）解：过点作，交于，
∵， ，，由折叠的性质可得：
∴，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用正方形的性质，结合相似三角形的判定即可证明；
（2）如图，作于点H，证明，得出，，设，则，，在 中，根据勾股定理得出关于a的方程，解方程求出a的值，则可求出、，然后根据三角形的面积公式求解即可；
（3）连接交于点K，交于点L，由翻折的性质得，，，得出是的垂直平分线，同理（2）的方法证出，，得到，，，，设，利用相似三角形的性质表示出的长，进而得出，结合的范围即可求出线段的最小值．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
又，
．
（2）解：如图，作于点H，
，，
，，
，
由①中的结论得，，
又，
，
，，
设，则，
，
在 中，，
，
解得：，
，
，
故答案为：；
（3）解：如图，连接交于点K，交于点L，
由翻折的性质得，，，
是的垂直平分线，
，，
，
同理（2）的方法可得，，，
，，，，
设，则，，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
当时，有最大值20，此时有最小值，
线段的最小值为．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理与翻折问题、全等三角形的性质与判定、二次函数的性质，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
14．(1)
(2)
(3)或
【分析】（）由折叠得，再利用勾股定理解答即可求解；
（）由（）得，再根据折叠得，设，则，在中由勾股定理得，据此即可求解；
（）分和两种情况，分别画出图形解答即可；
本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由折叠可得，，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵四边形是长方形，
∴，，，
∵，
∴，
由折叠得，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴的长为；
（3）解：当时，如图，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
由折叠得，， ，
∴，，
∴点三点共线，
∴；
当时，如图，
∵四边形是长方形，
∴，
又∵，
∴点三点共线，
由折叠得，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得；
综上，的长为或，
故答案为：或．
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，可知，，在中，，由此列出方程即可求解；
（2）过点作，交于，则四边形是矩形，，由题意可知，进而可知，证得，得，再根据即可求解；
（3）过点作，与直线交于点，过点作于点，由（2）可知，则，，同（2）可证，得，由翻折可得：，得，则，进而可知，则，即，求得，，再证，得，列出等式即可求解．
【详解】（1）解：∵点与点A重合
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，，即，
解得：，即；
（2）过点作，交于，则四边形是矩形，
∴，
由题意可知，
∴，则，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）过点作，与直线交于点，过点作于点，
由（2）可知，则，，
同（2）可证，
∴，
由翻折可得：，
∴，则，
∴，则，
即，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查折叠问题，勾股定理，相似三角形的判定及性质，矩形的性质，解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形和相似三角形是解决问题的关键．
16．(1)
(2)；证明见解析
(3)
【分析】（1）过点A作于点E，根据等边三角形的性质得出，，解直角三角形得出，求出，设，则，根据勾股定理得出，求出，最后得出答案即可；
（2）过点E作于点G，证明，得出，，设，则，，求出，证明，得出，设，则，求出，根据，求出，得出，求出，即可得出答案；
（3）延长，交于点G，证明四边形为平行四边形，得出，，证明，得出，说明点N在以为直径的圆上运动，取的中点O，以点O为圆心为半径作圆，连接并延长，交于点N，此时最大，设，则，解直角三角形，求出，，最后根据，代入求出结果即可．
【详解】（1）解：过点A作于点E，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，负值舍去，
∴．
（2）解：，理由如下：
过点E作于点G，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵∵，
∴，
∴，
∴，
∵点F为的中点，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：延长，交于点G，如图所示：
根据折叠可知：，，，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
，
∴，
∵等边中，
∴，
∴，
∴点N在以为直径的圆上运动，
取的中点O，以点O为圆心为半径作圆，连接并延长，交于点N，此时最大，
设，则，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图，过点D作于点K，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，折叠的性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，确定圆的条件，等边三角形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关判定和性质．
17．(1)见解析
(2)①见解析；②，证明见解析；③
【分析】（1）根据折叠得，，，由，得，进而证明，即可得证；
（2）①先证明，再证明，，从而得，即可得证；②延长到点，使，连接，过点作于点，由①得，，证明．得，，．进而得，在中，由，即可得解；③由折叠可得，，，先证明，得，求得，，证明，即可得解．
【详解】（1）证明：由题意，得，
，，，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：①∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，
∵，
∴．
∴；
②延长到点，使，连接，过点作于点，
由①得，，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴，，．
∵，
∴．
∴，
∵，，，
，
∵，，
∴，
在中，，
∴；
③如图，由折叠可得，，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
由②可得，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定及性质，折叠的性质，三角形的内角和定理，菱形的判定，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质，折叠的性质是解题的关键．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）根据矩形的性质可得，根据折叠的性质可得，然后代入计算即可；
（2）由折叠的性质可得是线段的垂直平分线，再结合已知条件可得；再根据矩形的性质证明，利用相似三角形的性质可得，进而得到、，再证明可得，进而完成解答；
（3）根据矩形的性质和折叠的性质可证可得，进而得到、、；再证明，根据相似三角形的性质列比例式求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
由翻折知：，
∴．
（2）解：由折叠的性质得：，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得 (舍弃负值)，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
∴．
（3）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，即，解得．
19．(1)见解析
(2)①的值为；②
【分析】（1）由正方形的性质及折叠的性质证明，即可得结论；
（2）①先求出，，设设，在中，由勾股定理得：，求出，再利用正切定义即可求解；
②接，过点F作直线，分别交、于P、Q.证明得，由①得：，从而，设，利用勾股定理求出，得到，进而可求出的值．
【详解】（1）证明：由正方形得：，，
由翻折得：，，
，，
∵，
，
；
（2）解：①由（1）得：，
∴，
∵点E是中点，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：
，
，
，
，
即的值为；
②连接，过点F作直线，分别交、于P、Q
∵，
∴，
∴，
∵点E是中点, 点O是中点，
∴,，
∴，
∴，
由①得：，
，
设，，
，
，
，
，
，
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，翻折的性质，勾股定理，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．
20．(1)①证明见解析 ②
(2)
(3)
【分析】（1）①根据旋转的性质，得到等腰三角形，结合等腰三角形的等边对等角性质，矩形的性质，平行线的性质证明平分．
②过点作于点，连接，利用矩形的性质，勾股定理求的长即可．
（2）如图2，过点作于点．利用三角形相似的判定和性质，勾股定理，计算的长即可．
（3）根据旋转的性质，翻折的性质，勾股定理，设未知数解方程求的的长即可．
【详解】（1）解：①证明：由旋转可得，
∴．
∵四边形是矩形，
∴
∴，
∴，
∴平分．
②解：如图1，过点作于点，连接．
∵四边形是矩形，
∴．
由①得平分，
∴．
∵四边形是矩形，
．
，
．
四边形是平行四边形．
．
在中，．
由勾股定理，得．
在中，，
由勾股定理，得
．
（2）解：如图2，过点作于点．
根据题意，得．
四边形是矩形，
．
在中，由勾股定理，得．
由翻折可知，．
．
．
，
即．
由勾股定理，得．
．
．
，
．
．
由勾股定理，得．
在中，由勾股定理，得．
（3）．
由旋转可知，．
．
由翻折可知，
．
在中，由勾股定理，得．
，
．
设，则．
在中，由勾股定理，得．
，
解得
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转性质，翻折性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解方程，熟练掌握相关性质，勾股定理和三角形相似的判定是解题的关键．

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