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2025 年江西省新余市高考数学二模试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { |0 < log2 < 2}， = { |2 < 4}，则 ∩ =( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (0,2) D. (2,4)
2.设复数 满足 (1 2 ) = 3 + (其中 为虚数单位)，则 在复平面上对应的点位于( )
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
3.已知直线( + 1) + 3 + 1 = 0 与直线 4 + + 1 = 0 平行，则 的值为( )
A. 3 B. 4 C. 3 或 4 D. 3 或 4
4.设等比数列{ }的各项均为正数，其 前项和为 ，则“ 19 + 21 > 2 20”是“数列{ }是递增数列”的
( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知抛物线 ：4 2 = 0 恰好经过圆 ：( 1)2 + ( 2)2 = 1 的圆心，则抛物线 的焦点坐标为( )
A. (1,0) B. ( 1 12 , 0) C. (0, 8 ) D. (0,1)
6 1+ .已知函数 ( ) = 1 + ，则关于 的不等式 ( 2) + (
2 4) < 0 的解集是( )
A. ( 3, 2) B. ( 3,2) C. (1,2) D. ( 3, 5)
7.已知球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台的侧面积为 16 ，上、下底面的面积之比为 1：9，则球的
表面积为( )
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
2
8.若对任意的 ∈ ( 1 , )
2
，不等式 +11+ ≥ 0 恒成立，则 的最大值为( )
A. 4 3 B.
4 4 2
2 C. D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某农科院研制出了一种防治玉米病虫害的新药.为了解该药的防治效果，科研人员选用了 100 粒玉米种子
(其中一部分用该药做了处理)进行试验，从中任选 1 粒，发现此粒种子抗病虫害的概率为 0.8.未填写完整的
2 × 2 列联表如下，则( )
抗病虫害 不抗病虫害 合计
种子经过该药处理 60
种子未经过该药处理 14
合计 100
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2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )．
0.1 0.01 0.005 0.001
2.706 6.635 7.879 10.828
A.这 100 粒玉米种子中经过该药处理且不抗病虫害的有 6 粒
B.这 100 粒玉米种子中抗病虫害的有 84 粒
C. 2的观测值约为 13.428
D.根据小概率值 = 0.001 的独立性检验，可以认为该新药有效
10.已知递增数列{ }的各项均为正整数，且其前 项和为 ，则( )
A.存在公差为 1 的等差数列{ }，使得 14 = 2025
B.存在公比为 2 的等比数列{ }，使得 4 = 2025
C.若 10 = 2025，则 4 ≤ 285
D.若 10 = 2025，则 10 ≥ 207
11.已知 ∈ ， ≥ 2， 1， 2， ， ∈ {0,1,2, , 9}，记 = 10 +
1
=1 10 .当 1， 2， ， ，中
含 ( ∈ , ≤ )个 6 时，所有 不同值的个数记为 ( ).下列说法正确的有( )
A.若 = 2，则 (0) = 81
B.若 = 19，则 ( ) > ( + 1)( ∈ , ≤ 18)
C.对于任意奇数 ， (1) + (3) + + ( ) < 5 × 10 1
D.对于任意整数 ， (1) + 2 (2) + + ( ) = 9 × 10 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2
12 .已知点 ( , )是椭圆 ： + 20 0 5 = 1 上的动点，若 (1,0)，则| |的最小值为______．
13 .函数 ( ) = sin( 6 ) 的最小值为 ．
14.已知正四面体 的棱长为 2 2，动点 满足 2 + 2 = 2 + 2，用所有这样的点 构成的平面
截正四面体，则所得截面的面积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话.聊天机
器人的开发主要采用 (人类反馈强化学习)技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的
回答被采纳的概率为 80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为 40%．
(1)在某次测试中输入了 8 个问题，聊天机器人的回答有 5 个被采纳，现从这 8 个问题中抽取 4 个，以
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表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求 的分布列和数学期望；
(2)设输入的问题出现语法错误的概率为 ，若聊天机器人的回答被采纳的概率为 70%，求 的值．
16.(本小题 15 分)
在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 ， 的边长都是 1，且它们所在平面互相垂直，活动
弹子 ， 分别在正方形对角线 和 上移动，且 和 的长度保持相等，记 = = (0 < < 2)，
活动弹子 在 上移动．
(1)求证：直线 //平面 ；
(2) 为线段 上的点，求 与平面 所成角的正弦值的最大值．
17.(本小题 15 分)
2 2
已知点 1， 2分别为双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点，过 1( , 0)的直线 交双曲线 于 ，
两点，当直线 的斜率不存在时，| | = 3 7 7 ．
(1)求双曲线 的离心率；
(2)过双曲线的右焦点向该双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为 ，若△ 2的面积为 3，求该双曲线的
方程；
(3)在(2)的条件下，若点 ， 分别为双曲线 的左、右顶点，直线 与直线 相交于点 ，证明：点 在一
条定直线上．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = + 2．
(1)若 = 1，求 ( )在 = 1 处的切线方程；
(2)设函数 ( ) = ′( )，讨论 ( )在区间(0, + ∞)上的单调性；
(3)若 ( )存在两个极值点 1， 2，且 1 ( 2) +
1
2 ( 1) > 0，证明： 2 < < 0．
19.(本小题 17 分)
如图，已知给定线段 1 1长为 2，以 1 1为底边作顶角为 (0° < ≤ 90°)的等腰三角形 1 1 1，取△ 1 1 1
的腰 1 1的三等分点 2， 2( 2靠近 1)，以 2 2为底边向△ 1 1 1外部作顶角为 的等腰三角形 2 2 2
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依次类推，取△ 1 1 1的腰 1 1的三等分点 ， ( 靠近 1)，以 为底边向
△ 1 1 1外部作顶角为 的等腰三角形 ( ≥ 2)，得到三角形列{ △ }.
(1)用 表示出△ 2 2 2的外接圆半径；
(2)当 = 60°时，证明：{ △ }各顶点均在△ 1 1 1外接圆上或其内部；
(3)若{ △ }各顶点均在△ 1 1 1外接圆上或其内部，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 32
13. 34
14.2
15.解：(1)由题可知 的所有取值为 1，2，3，4，
15
( = 1) = 334 =
5 = 1
8 70 14
，
25
( = 2) = 234 =
30 = 3，
8 70 7
35
( = 3) = 13 304 = 70 =
3
7， 8
4 ( = 4) = 5 = 5 = 1，
48 70 14
故 的分布列为：
1 2 3 4
1 3 3 1
14 7 7 14
则 ( ) = 1 × 1 + 2 × 314 7 + 3 ×
3
7 + 4 ×
1 5
14 = 2；
(2)记“输入的问题没有语法错误”为事件 ，记“输入的问题有语法错误”为事件 ，记“回答被采纳”为
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事件 ，
由已知得， ( ) = 0.7， ( | ) = 0.8， ( | ) = 0.4， ( ) = ， ( ) = 1 ，
所以由全概率公式得 ( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | ) = 0.8(1 ) + 0.4 = 0.8 0.4 = 0.7，
解得 = 0.25．
16.解：(1)证明：在平面 内，过点 作 // ，交 于点 ，连接 ， ，
// 由 ，得 = ，而 = = 2， = = ，
则 = = ， ， = = ，于是 // ，
又 // ，则 // ，而 平面 ， // ， 平面 ，
因此 //平面 ，
同理 //平面 ，又 平面 ， 平面 ， ∩ = ，
则平面 //平面 ，而 平面 ，
所以直线 //平面 ．
(2)由平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， ⊥ ，
平面 ，得 ⊥平面 ，又 ⊥ ，
以点 为坐标原点，直线 ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (0,1,0)， (0,0,1)， (1,1,0)，设 ( , 0,1)，0 ≤ ≤ 1，
= (1,1, 1)， = (0,1,0)， = ( , 0,1)，
设 = ( , , )是平面 的法向量，
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⊥ = = 0
则 ，则 ，
⊥ = + = 0
取 = 1，得 = (1,0, )，
设 与平面 所成的角为 ，

则 = |cos , | = | | +1 = ，| || | 3 2+1
当 = 0 时， = 3；3
+1 2+2 +1 2 1 2 1
当 0 < ≤ 1 sin2 = ( )2时， =3 2+1 3( 2+1)
= 3( 2+1) + 3 = +3( +1) 3，
1
而 + 1 ≥ 2
1
= 2，当且仅当 = ，
1 1
即 = 1 时取等号，则 0 < ≤ +1 2，
sin2 = 2 + 1 2 1 1 2因此 2 63( +1) 3
≤ 3 × 2 + 3 = 3，0 < ≤ 3 = ， 3
所以 与平面 所成角的正弦值的最大值为 6．
3
2 2 2
17.解：(1)当 的斜率不存在时，点 ( , ), ( ,
，因此 2 ，
) | | =
因此2
2
=
3 7 ，即 2 7 27 = 3 ，因此 2 7(
2 2) = 3 ，即 2 7 2 3 2 7 2 = 0，
因此 2 7 2 3 2 7 = 0，即( 7 + 2)(2 7) = 0，解得 = 72 ( =
2 7舍去)．
7
(2)根据第一问可得，离心率 = 7， = 2
因此可设 = 2 , = 7 ， > 0，解得 = 3 ，点 2( , 0)，

该双曲线的一条渐近线的方程为 = ，即 = 0，
利用点到直线的距离公式可得| 2| =
| | =
2+ 2
，
又因为| 2| = ，因此| | = , =
1
△ 2 2 = 3
1
，可得2 × 2 × 3 = 3，因此 = 1，
2 2
所以 = 2, = 3, = 7，所以双曲线的方程为 = 1．4 3
(3)证明：根据第二问可知， ( 2,0), (2,0), 1( 7, 0)，设 ( 2, 2)， ( 1, 1)，
2
那么直线 ： 0 = 2 ( 2)，直线 ： 0 =
1
( + 2)，2 1+2
0 = 1 +2 ( + 2),
联立直线 和直线 可得 1
0 = 2 ( 2),2 2
1 = 1 × 2 2 × +2 +2 ( +2)两式相除可得 +2 2，因此 =
2 1
2 ( 2)，1 2 1 2
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当 的斜率为 0 时，不满足题意，因此设 ： = 7，
那么 1 = 1 7, 2 = 2 7，
2( 1+2) = 2( 1+2 7) 1 2+(2 7) 代入可得 2 1( 2 2) 1( 2 2 7)
= 1 2 (2+ 7)
，
1
= 7,
联立 2 2 可得(3 2 4) 2 6 7 + 9 = 0，
4 3 = 1,
+ = 6 7 1 2 2
因此根据韦达定理可得 3 4，
1 =
9
2 3 2 4
因此 3( 1 + 2) = 2 7 1 2，
3 7 11 7
+2
那么 = 2( 1+2)
+(2 )
2 ( 2) =
1 2+(2 7) 2 14 1 14 2
1 2
=
1 2 (2+ 7) 1 ( 2 11 7) +3 714 1 14 2
= 3 7 1+(28 11 7) 2 3 7 4 7 11 28 11 7 (28+11 7) +3 7 ，因为 (28+11 7) = 3 = 3 7 ，1 2
因此 +2 = 4 7 11，解得 = 4 7， 2 3 7
因此点 在直线 = 4 7上．7
18.解：(1)当 = 1 时， ( ) = + 2，
则 ′( ) = + 1 + 2 ，所以 (1) = 1， ′(1) = 3，
所以切线方程为； 1 = 3( 1)，即 = 3 2．
(2)由 ( ) = + 1 + 2 1 1+2 ， ′( ) = + 2 = ，
当 ≥ 0 时， ′( ) > 0， ( )在(0, + ∞)上单调递增；
当 < 0 1时，令 ′( ) = 0 = 2 ，
当 0 < < 12 时， ′( ) > 0， ( )在(0,
1
2 )上单调递增；
1 1
当 > 2 时， ′( ) < 0， ( )在( 2 , + ∞)上单调递减．
综上，当 ≥ 0 时， ( )在(0, + ∞)上单调递增；
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当 < 0 时， ( )在(0, 12 )
1
上单调递增， ( )在( 2 , + ∞)上单调递减．
(3) 1 1证明：由(2)知若 ( )存在两个极值点，则 < 0，且 ( ) = ( 2 ) = ln( 2 ) > 0 0 > >
1
2，
1 1 1 1
由 = 过原点的切线方程为 = ，则 < 2 ，则
2 < ，即 ln 2 < ，
所以 ( 1 1 2 1 2 ) = ln 2 + 1 + < + 1 < 0 (
1 2
， ) = < 0，
所以 ( ) ( 1 1 1 1在 , 2 )和( 2 , 2 )上各有一个零点 1， 2，
且 0 < < 1时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 1 < < 2时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 > 2时， ′( ) < 0， ( )单调递减．
所以 1， 2是 ( )的两个极值点．
( 2)+ ( 1) > 0 + + + > 0 + ( + ) > 0 > 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 + ．2 1 1 2
1 + 1 + 2 且 1
= 0
+ 1 + 2 = 0 1 2 + 2 + 2 ( 1 + ) = 0 =
1 2 2
2
2 2 2( + )
．
1 2

所以 1
2 2 1 2 2
2( + ) > + 1 2 > 2 1 2 > ，1 2 1 2
而 1 2 = 2 ( 2 1)，
1
所以 = 2 12 2
，
1
2
令 ( ) = 1 1 2 1 2 ( > 1)，则 ′( ) = 1 + 2 = (
2
1) > 0，
所以 ( )在(1, + ∞)上单调递增，故 ( ) > (1) = 0，
2 1 > 2 = 所以 ，令
2
> 1，1
2 1 可得 > ln 2，即 2 1 > 2

1，即
2 1
2 1 1 2 2
> 1 2，
1
1
所以 12 > 1 2 >
1
，所以 2 < < 0．
19.解：(1)设△ 2 2 2的外接圆半径为 2，
1
由题意知， 1 11 1 = = ， 2 2 =
1
3 1 1 =
1
，
2 2 sin2 3

2
1
又 = ，故 2 = 2 22 2 sin = ，3 sin 2
故△ 12 2 2的外接圆半径为 2 = ．6 sin 2
(2)证明：设△ 的外心为 ，外接圆半径为 ， 的中点为 ， = ，
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1
则 = 2 ， = ， = 2 +1 3
= ，
2 6

2
注意到 1 1的中点也为 ，故 A 1 1的中垂线与 中垂线重合，
由题意知 ， ， 1均在 的中垂线上，
而 1 =
1 1 1 1
1 tan 2 = 2 tan 2 = = ，4 2 32
= = 1 1 tan 2 = = ，12 2tan 6 3
故 1 = 1 + =
2 1
3 3．
另一方面， 1
1 1 1 2 1
= 2 2 = 2 (1 ) = = ，6 3 3 12
故△ 的外接圆内切于△ 1 1 1的外接圆，
从而△ 的外接圆各点位于△ 1 1 1的外接圆上或其内部．①
反复使用结论①可得，△ 的外接圆位于△ 1 1 1外接圆上或其内部，
故△ 各顶点均在△ 1 1 1外接圆上或其内部，
(3)若满足题意，则 2位于在△ 1 1 1外接圆上或其内部，
故 A 2 1 ≤ 1，
由(2)知 1 2 = 1 2 tan
= 1 12 2 tan

2 =
1 ，
4 2
cos cos
2
2 1 2 1
2 = = 2 ， =
1 2
2 12 2 1 2
2 + 1 2 = 4 ( + )，
2 2 cos2 3
2
2
1 cos

由题意， 2 1 ≤ 1，即 14 (
2
+ 2 ) ≤
1 ，
cos2 3 2 2
1
解得2 ≤ sin

2 ≤ 1，
故 60° ≤ ≤ 90°，
当 60° ≤ ≤ 90°，同上可得 1 ≤ 1，
由(2)知 ， ， 1共线，故 A + 1 ≤ 1，即 + 1 ≤ 1
故 1 ≤ 1 ，故△ 的外接圆位于△ 1 1 1外接圆上或其内部，
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故△ 各顶点均在△ 1 1 1外接圆上或其内部，
故 1的范围为[0, 2 ]．
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